книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Далее следует рассмотреть отдельные случаи, когда cos х>0 и cos х<0.

Упражнения.

1.Вычислить значение выражения

если известно, что tg a— ctg я.

5.Доказать тождества:

6) sin (у—x) cos (y+x) ctg (-3+x)+tg (re+x) ctg (y —x) =

= sin5 (x—3-).

6. Дано: f(x)=tg2x, g (x)=sin2 x. Доказать, что

ft*)—g(*)=f(x)-g(x).

7.При каких значениях аргумента x функции/(x)=cos2 x и g(x)=

99

ГЛАВА I

Обобщенные круговые функции

§21. Гармонические колебательные движения

инеобходимость обобщения понятий круговых функций

В§ 5 второй главы рассматривался механизм преобразования кругового движения в прямолинейное колебательное, называемое простым гармоническим движением

Опростых гармонических процес­ сов. Получить такое общее выра­

(рис. 49). Для этого, как и прежде, достаточно рассмотреть движение проекции точки М на ось Оу, но в предположе­ нии, что в начале движения точка М занимает положение, отличное от А.

В самом деле, пусть До—исходное положение точки М. За t секунд она опишет дугу A0M=wt радиан. Обозначив проекции точки М на оси координат через Q и Р, а дугу

100

AM через ср, будем иметь (по определению синуса и косинуса дуги ср):

+о/И=<р0 -}—а>/ и предыдущие равенства перепишутся так:

OQ—7?sin (w/+?0) 1

OP—Rcos (о)/-|-<£>о). J

Этими функциями выражаются величины отклонения проекций Р и Q от их среднего положения О в любой мо­ мент движения точки М.

Каждая из величин, входящих в данные функции, имеет свой физический смысл и в соответствии с этим оп­ ределенное название.

Величину ср=wt +ср0, определяющую положение дви­ жущейся точки М, называют переменной фазой колебания, а постоянную величину ср0 — начальной фазой колебания. Последнее название объясняется тем, что в начале движе­ ния, т. е. при t=Q фаза ср = ср0.

Величину R называют размахом или амплитудой ко­ лебания; она выражает наибольшие отклонения проекций Q и Р от их среднего положения О. Действительно, с из­ менением ср синус и косинус изменяются от —1 до 4-1,- следовательно, величины OQ=/?sincp и OP=/?cos ср изме­ няются от —R до 4- R.

Величину Т=^- сек. называют периодом колебания;

она равна тому промежутку времени, в Течение которого точка М описывает полную окружность, а ее проекции Р и Q совершают свои полные колебания, т. е. каждая из них проходит из своего исходного положения (первая из Ро, а вторая из Qo) до конца диаметра, а затем в обратном на­ правлении до другого конца диаметра и, наконец, возвра­ щается снова в свое исходное положение.

Легко убедиться в том, что период колебания Т явля­ ется периодом функций 7?sin(coZ -|-ср0) и /?соз(<о/4-?о) •

Действительно, <вТ=2*, поэтому

A?sin [ш(/ 4-Т) +<ро] =/?si'n [wf4-2* 4-?о] —

=7?sin [(ш/-фсро)-}-2к] = /?sin(<p-|-2*)==/?sincp =

101

Остается показать, что никакое положительное число, меньшее Т, не может служить периодом этой функции. Для этого заметим (как это мы делали при отыскании пе­ риода синуса, стр. 72), что в точке В данная функция при­ нимает свое наибольшее значение -(J?; для повторения это­

Наконец, отметим, что функции (*) являются обобще­ ниями рассмотренных нами ранее круговых функций. Действительно, если /?=1 и точка Ао совпадает с А, то cpo=^AAo=0, cp=o)Z, OQ=7?sin <»/ и OP—Rcos wt. В част­ ности, когда скорость движения точки М будет о> = 1 рад/сек и 7?=1, будем иметь: OQ=sin t, OP=cosl.

Надо заметить, что с обобщенной синусоидой z/=Asin х в виде шаблона для выкройки приходится иметь дело,на­ пример, мастеру по жести, портному и другим практикам.

В самом деле, возьмем прямой круговой цилиндр (на­ пример, для наглядности круглый стакан, у которого бо­ ковая поверхность покрыта листом бумаги) и пересечем его боковую поверхность наклонной плоскостью относительно образующих цилиндра (как показано на рисунке 50,а). Развернем боковую поверхность на плоскость, тогда окружность сечения АРВК развернется по прямой ADBKAy. (рис. 50,6), а кривая сечения AMNBNtA развернется в кривую АМВАг. Покажем, что кривая AMBAj представ­ ляет одну волну обобщенной синусоиды.

102

Подставляя найденное значение UE в предшествующее

б)

Рис. 51.

Итак, развертка наклонного сечения прямого кругово­ го цилиндра имеет границу синусоидальную пли точнее является обобщенной синусоидой.

103

Допустим, что мастеру надо сделать цилиндрическую трубу с коленом, как показано на рисунке 51,а). Для это­ го он берет прямоугольный лист жести шириной /=2лД, где R — радиус перпендикулярного сечения трубы, и на его основании строит синусоиду y=Hsinx (рис. 51,6); если обе части колена одного радиуса, то а=45°, а потому //=/?=■ 1 и z/=sin х, т. е. получается обыкновенная сину­ соида; если же а^45°, например а=60°, то y=7?tg6O°sinx«

— 1,735 sin х и шаблоны имеют вид, показанный на рисун­ ке 52.

Рис. 52.

Аналогично создается выкройка для портного, которо­ му надо сшивать верхнюю часть рукава с вырезом в пле­ че для рукава.

101

в) весь путь от одного своего крайнего положения до другого? г) изменятся ли ответы, если взять уравнение у=А sin (ш/+<р)?

Указание к вопросу б). Первая половина пути равна-^-Л;

гармонического колебания точки вдоль оси Оу. Теперь ос­ тановимся более подробно на выяснении влияния каждо­ го из этих параметров на график данной функции.

1.Преобразование периода

Впредыдущем параграфе было показано, что периодом

2-г

функции 7?sin (а>£-ф<ро) является число Т = —. Как видим,

это число Т не зависит от параметров R и <р0> но находит­ ся в обратной пропорциональной зависимости от величины коэффициента о> при аргументе t. С возрастанием этого коэффициента период функции убывает, что хорошо про­ следить в следующей таблице:

105

Дадим параметрам /? и <р0 в функции /?sin (wt -j-<p0)

ответственно три функции: yx=sin/, y2=sin2/ и y3=sin-^-/,

выражающие законы трех различных гармонических ко­ лебаний с периодами Т1=2тгсек., Т2=~сек. и 7’3=4к сек. Такие колебания совершают проекции (на ось ординат)

начали свое движение одновременно из одного и того же положения А (рис. 53).

Действительно, за/сек., протекших от начала движе­ ния, точки Мъ М2 и 7И3 опишут соответственно дуги AM1=t

радиан, Д/И2=2/ радиан и Д/И3=у t радиан. По опреде­

лению синуса дуг будем иметь:

Построим графики данных функций (на одном чертеже) в промежутке 0</<2тг известным нам геометрическим спо­ собом.

106

Графиком функции yx=sin t является обыкновенная синусоида, с которой мы хорошо знакомы; на отрезке оси At, равном указанному промежутку 0<7<2тг, уложится полная волна синусоиды, так как за время £—2- сек. точка опишет полную окружность и придет в свое ис­ ходное положение А, а ее проекция Qx совершит полное колебание.

За то же время /=2я сек. точка М2 успеет дважды опи­ сать числовую окружность, так как ее скорость движе­ ния в два раза больше скорости точки Л41; поэтому на том же отрезке оси At от 0 до 2к уложится две полных волны графика функции y2=sin 2/.

Скорость движения третьей точки М3 меньше, чем у точки Л41; в два раза, поэтому она за те же 2к секунд успеет описать только верхнюю половину числовой окружности, и, следовательно, на отрезке оси At от 0 до 2~ уложится лишь

половина волны графика функции y3=>sin ~ t. Полная вол­

на графика этой функции заняла бы отрезок 0<^<4тг, соответствующий ее периоду, т. е. времени, за которое точка М3 описывает всю окружность, а ее проекция Q3 совершает полное колебание.

Наблюдая мысленно за движением точек Мг, М2 и М3 и их проекций на ось Оу, а также сопоставляя построенные нами графики функций z/1=sin /, y2=sin 2t и y3=sin-^-/,

приходим к выводу:

1. Гармонические колебания, выраженные функциями sin t, sin 2t и sin-^-/, имеют одну и ту же амплитуду (раз­

мах) 7?=1 и одну и ту же начальную фазу <ро=О, но раз­ личные периоды: 7'1=2ir, Т2=- и 7'3=4тс, обусловленные различными скоростями движения точек М1г М2 и М3.

2. Функции sin t, sin 2t и siny t при своем изменении

проходят через одни и те же значения промежутка [—1; 1 ], но одинаковые значения принимают при различных значениях аргумента t.

3. Графики функций sin 2t и sin—t представляют со­

бой деформированные синусоиды, а именно: первый из них есть синусоида, сжатая вдоль оси абсцисс в два раза (уменьшение периода вдвое повлекло за собой уменьшение

107

длины волны графика также в два раза); второй график есть синусоида, растянутая вдоль оси абсцисс вдвое (увеличение периода в два раза вызвало увеличение дли­ ны волны графика также в два раза).

Все сказанное об изменении периода функции Z?sin

4-<ро) и влиянии такого изменения на график остается в силе и при других конкретных значениях коэффициента со, а именно: график функции sin <»t получается сжатием (при ш>1) или растяжением (при 0<ш<1) обыкновенной синусоиды вдоль оси абсцисс в отношении о>:1.

Упражнение. Построить графики функций: //1=sin z, y2=sin 3z,

j/3=sin-g-z.

2. Преобразование амплитуды

Сравним две функции y=sinoi^ и y1=/?sinto^, выражаю­ щие законы гармонических колебаний с равными перио­ дами, но различными амплитудами. Заметив, что при вся­

ком значении аргумента t имеет место соотношение уг= =Ry, приходим к заключению, что график функции уг— =7?sin wt можно получить изменением в отношении 7?:1 ординат всех точек графика функции z/=sin wt, т. е. де­ формацией этого графика в отношении /?:1 вдоль оси ор­ динат1, причем при Л?>1 «растяжением», а при 0<7?<1 «сжатием».

1 Если коэффициент R отрицательный, то, кроме указанной операции «растяжения» графика, будет иметь место еще симметрич­ ное отражение графика относительно оси абсцисс.

108