книги из ГПНТБ / Андронов И.К. Основной курс тригонометрии, развиваемый на целесообразных задачах пособие для учителей

Доказательство. Пусть z — произвольное дей­ ствительное число. На числовой окружности этому числу соответствует некоторая точка Л4(г) (рис. 20). Строим пря­ моугольные координаты этой точки: х=0Р и у=РМ. По определению синуса и косинуса (гл. II, § 6) при 7? = 1 имеем:

737H=sin z, OP=cos z.

Но по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

ОРМ1

|РЛ4|2+|О?|2=|ОМ|2,

откуда, учитывая предыдущие равенства и то, что ОМ — \, находим:

|sin z|2 +|cos z|2= 1.

А так как при возвышении в четную степень знак абсо­ лютной величины можно опустить, то будем иметь:

sin2 z~P cos2 z=l.

Все пять формул (9, 23, 24, 25, 26) выражают алгебраи­ ческие соотношения между круговыми функциями одного аргумента. Чтобы легче это усмотреть, обозначим каждую функцию одной буквой: sin z=y, cos z=x, tg z=t, ctg z=u, sec z—v, cosec z=w, получим систему из пяти уравнений с шестью неизвестными:

т. е. ни одно из них не может быть получено как следствие из остальных четырех. Чтобы убедиться в этом, выразим все неизвестные, входящие в уравнения, через одно, на­ пример через х, получим систему уравнений, эквивалент­

и В', то треугольника ОРМ не получится, однако в этом случае

<

(И)

Если отбросить какое-либо из уравнений этой системы, то отбросится одно из неизвестных и его неоткуда будет находить. Следовательно, система (II), а значит и система

(I) составлены из алгебраически независимых уравнений. Существуют и другие алгебраические соотношения между круговыми функциями с одним аргументом, но они являют­ ся следствиями из пяти рассмотренных выше соотношений. Так,- например, исключив неизвестное t из первых

двух уравнений системы (I):

It=±

\х

IU*/= 1 ,

м

x-v=\

у2-рх2=1,

и разделить последнее из них на х2, то получится система уравнений:

1

90

и= у-т — 1 и у2Ц-х2=1

системы (I) получаем систему уравнений:

1 + Ш2 = ’

нибудь соотношение между круговыми функциями с одним аргументом, независимое от тех пяти, которые выражены формулами (23—27) или системой (I)?

Оказывается, такого соотношения не может быть, что доказывается от противного.

В самом деле, допустим, что существует такое шестое независимое алгебраическое соотношение между круго­

нению F(x)=O некоторой n-й степени. Решив это уравне­ ние, найдем п корней: х=а1,а2,...,а„.

Но x=cos z, следовательно, cos z=ar, az,...,a.n , т. е. cos z имеет лишь конечное множество различных значений (не больше п). А этого не может быть, так как при измене­ нии z от 0 до тс косинус принимает бесконечное множество значений.

Полученное противоречие показывает, что допущение о существовании шестого независимого соотношения между шестью круговыми функциями с одним аргументом невоз­ можно.

Пять тождеств (23, 24, 25, 26, 9) выражают так назы­ ваемые основные алгебраические зависимости между кру-

92 9

говыми функциями с одним и тем же аргументом. Содер­ жание этих тождеств можно истолковать и графически.

Так, на рисунке 45 наглядно передана последователь­ ность операций над графиками функций sin х и cos х, приводящая к тождеству

sin2 л'4-cos2 х=1.

На рисунке 46 иллюстрирован переход от графиков sin х и cos х к графику tg х, соответствующий тождеству:

С помощью выведенных формул (23—26 и 9) можно выра­ жать все круговые функции через одну из них.

Так из формулы (26) выражаем sin z через cos z:

sin г=±]Л1—cos2 z ,

*

Как видим, данному значению косинуса (в общем слу­ чае) соответствуют два значения каждой из остальных кру­ говых функций, отличающиеся знаком. Но косинус в этом отношении не является исключением; двойственность зна­ ков в формулах, выражающих круговые функции через

Отметим на числовой окружности данное значение коси­ нуса ОР=—-|-=cos z (рис. 47) и будем искать точку, в ко­

торой изображается z. Если об аргументе z ничего неизвест-

но (кроме того, что его косинус равен—g-)-, то можно с равным

правом полагать, что он находится в любой из тех четвер­ тей, где косинус принимает отрицательные значения, т. е. либо во II, либо в III четверти, а потому sin z, а также tg z и ctg z могут быть как_положительными, так и отри­ цательными.

Если же в условии будет дополнительно сказано, что z изображается, например, во II четверти окружности, тогда ясно, что sin z положительный, a tg z и ctg z отри­ цательные, и поэтому, применяя в данном случае те же фор­ мулы, оставляют в них только по одному знаку, соответ­ ствующему дополнительному условию.

94

Пример. Дано: tg г=—^-<z<ir. Находим осталь­

ные круговые функции z:

ct§2= t~г=~-5

Из формул (28 и 9,6) находим:

этому из двух значений берем отрицательное:

функции через одну алгебраическими операциями показывает, что можно было бы вообще определить и изучать только одну какуюнибудь из круговых функций, например синус, и с ее помощью выражать законы различных периодических процессов. Однако практически оказалось более удобным и целесообразным (в смысле экономии времени и сил) определять и изучать все шесть круговых функций и для каждой из них иметь отдельную таблицу; правда, в последнее время все реже и реже употребляют таблицу sec z и esc z, так как современные вычислительные средства дают воз­

Упражнения.

1. Найти все круговые функции аргумента z, если известно,

95

3. Существует ли такое число г, для которого:

1' ,

a)sin z =‘з"> a cos z = — ?

6) sin 2 , a cos z

§ 20. Тождества и тождественные тригонометрические преобразования

Тождеством называют равенство двух функций, спра­ ведливое при всех допустимых значениях аргументов.

Примерами тождеств могут служить равенства:

Л-2 _ у* = (х _ у) (х + у),

1 -ф Igx = 1g 10* (х>0), sin (г 4-у) == cos г,

sin2 г + cos2 z = 1.

Если в состав тождества входят только круговые функ­ ции, то' его называют тригонометрическим тождеством. К простейшим тригонометрическим тожде­ ствам можно отнести формулы сведения, а также фор­ мулы, выражающие алгебраические зависимости между круговыми функциями.

При доказательстве некоторых теорем и исследовании функций, а также в процессе решения задач и уравнений приходится часто производить тождественные преобразо­ вания одних тригонометрических выражений в другие. При таких преобразованиях широко используются не толь­ ко определения круговых функций, но и зависимости между ними.

Покажем это на примерах.

Пример 1. Доказать, что функция /(г) =cosV—(г

) не может принимать отрицательных значений.

Доказательство. Используя формулы (9,27), подвергаем данную функцию тождественным преобра­ зованиям:

96

Ho tg2 z>0, 1 — cos z>0 и 1 — sin z >0, следовательно, f(z)>0.

Пример 2. Определить площадь прямоугольного тре­ угольника, если известна гипотенуза с и сумма синусов

острых углов:

sin а-|- sin $ — q.

Решение. Пусть АВС — данный прямоугольный

откуда, принимая во внимание тождество sin2 a -|-cos2 a== 1,

находим:

02 — 1 sin a cos a=2~2—•

Следовательно, S=-|-c2 (q2—1). Как видим, задача имеет

97

Решение. Возведем в квадрат, а затем в куб тож­ дество: sin2 л'4-cos2 х=1, будем иметь:

sin4 x4~2sin2x cos2 х4-cos4 х=1;

sin6 х+3 sin4x cos2 x4-3 sin2x cos4 x4-cos6xs= 1.

Из первого равенства находим:

sin4x-|-cos4x=l—2sin2x cos2 x.

Из второго равенства находим:

sin6x 4~cosex= 1—3 sin2x cos2x(sin2x4-cos2x) s 1 —3 sin2x cos2x.

Таким образом, данное выражение можно записать так:

у =1—3 sin2x cos2x4-P(l—2 sin2x cos2x) = l +p—(34- 4-2p)sin2x cos2x.

Замечаем, что при 34-2p=0, т. e. p=—у, будем иметь:

3 1

у=14-р=1—2'=— y^const, следовательно, данное выра-

з

жение не зависит от х при р= — у.

Пример 5. Доказать тождество:

Решение. Преобразуем левую часть так:

так как 1 4-sin x>0.

98