
книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия и машиностроительное черчение учебное пособие для слушателей факультетов № 4 и № 7 (инженерная специальность)
..pdfВ качестве вспомогательных плоскостей взяты фронтальные
плоскости P и Ph Эти плоскости будут рассекать цилиндр по обра
зующим прямым, а круговое кольцо — ио окружностям; общими точками будут точки, принадлежащие линии пересечения.
Некоторые задачи по нахождению линии пересечения тел вра
щения можно решать способом сечения обоих тел вспомогатель
ными сферическими поверхностя
ми. Применение этого способа требует соблюдения следующих
условий: 1) оба тела должны быть телами вращения; 2) оси рассмат
риваемых тел должны пересекать
ся; 3) пересекающиеся оси долж
ны .лежать в плоскости, парал лельной одной из плоскостей про екций.
Сущность этого метода заклю чается в том, что если цилиндр
или конус вращения, или шар,
оси которых будут параллельны
какой-либо плоскости проекций,
рассечь сферической поверхно
стью, центр которой находится на
оси взятого тела (рис. 74 а, б, в),
то получатся окружности, кото
рые на фронтальной проекции бу
дут изображаться в виде прямых
линий, так как они находятся з
50
в плоскостях, перпендикулярных к фронтальной плоскости проек ции.
Указанное общее свойство используется при получении линии
пересечения тел вращения.
IIa рис. 75 показано пересечение двух конусов вращения. Для
решения задачи нельзя подобрать вспомогательную плоскость,
лающую простые фигуры сечения, а поэтому при построении линии
пересечения используют сечение тел сферическими поверхностями
•с центром в точке пересечения осей рассматриваемых тел.
4- |
51 |
Сферическая поверхность пересечет оба конуса по четырем ок
ружностям, которые на фронтальной плоскости проекции будут изображаться в виде прямых линий.
Точки пересечения получаемых прямых будут общими для двух
конусов.
Взяв ряд вспомогательных сферических поверхностей, получим,
точки, при соединении которых образуется линия пересечения кону
сов.
При определении размеров радиусов вспомогательных сфер* пользуются следующим соображением: самым большим радиусом
будет расстояние от центра сфер до самой удаленной точки пере
сечения образующих, а самым маленьким радиусом будет радиус сферы, поверхность которой будет касаться одного конуса и пере секать другой. Вспомогательные сферы промежуточного радиуса
будут давать общие точки, принадлежащие линии пересечения.
Пересечение многогранников
При пересечении многогранников пользуются способом опреде
ления точек |
пересечения ребер одного |
многогранника |
с |
гранями |
|||||||||||||
другого. На |
|||||||||||||||||
|
рис. 76 трехгранная призма пересекается с трехгран |
||||||||||||||||
|
ной пирамидой. Грани призмы рас |
||||||||||||||||
|
положены перпендикулярно к фрон |
||||||||||||||||
|
тальной плоскости проекции, сле |
||||||||||||||||
|
довательно, они являются фронталь- |
||||||||||||||||
|
но-проектирующими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
В заданном примере для построе |
||||||||||||||||
|
ния |
|
линий |
|
пересечения |
сначала: |
|||||||||||
|
определены точки пересечения ребер |
||||||||||||||||
|
пирамиды |
|
с |
гранью |
|
призмы |
DE. |
||||||||||
|
Эта |
грань |
|
пересекает |
пирамиду |
|
πo |
||||||||||
|
треугольнику |
1, 2, |
3, |
а |
грань |
DF — |
|||||||||||
|
по треугольнику |
4, |
5, |
6. |
Полученные |
||||||||||||
|
треугольники |
в |
|
пределах |
|
гранен |
|||||||||||
|
призмы образуют линии пересече |
||||||||||||||||
|
ния заданных тел. При |
проектиро |
|||||||||||||||
|
вании |
2 |
и |
6 |
точек со среднего ребра |
||||||||||||
|
пирамиды на горизонтальную плос |
||||||||||||||||
|
кость проекции взяты2вспомогатель |
||||||||||||||||
|
ные горизонтальные плоскости, про |
||||||||||||||||
|
ходящие через точки |
|
и |
6. |
Эти пло |
||||||||||||
|
скости рассекут пирамиду по тре |
||||||||||||||||
|
угольникам, подобным основанию, |
||||||||||||||||
|
на которых и будут расположены го |
||||||||||||||||
|
ризонтальные проекции точек |
|
2 |
и |
6. |
||||||||||||
На рис. 77 показано построение линии пересечения трехгранной |
|||||||||||||||||
пирамиды с |
трехгранной призмой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
Для определения линии пересечения каждое ребро заключено
в фронтально-проектирующую плоскость. Найдена горизонтальная
•проекция сечения этой плоскостью другого'тела. В плоскости этого
-сечения находится ребро, которое заключено в плоскость. Общими
точками фигуры сечения и ребра будут точки пересечения ребра с
гранями другого тела. Таких построений надо делать столько,
«сколько ребер в обоих телах. В данном примере их шесть.
После того, как получены все точки пересечения ребер призмы
и пирамиды, их соединяют в строгой последовательности.
Для правильного соединения точек рекомендуется строить сет ку (см. рис. 77). На горизонтальных линиях сетки отмечаются реб
ра одного тела, а на вертикальных — ребра другого. На этих ли
ниях отмечаются точки пересечения ребер одного тела с гранями другого, которые получились в процессе построения. На сетку циф
рами |
1 |
и |
2 |
нанесены точки пересечения |
ребра |
А |
пирамиды с граня |
||||||||||||||||||
ми призмы; |
так, |
ребро |
А |
пересекло грань |
FD |
в точке |
1 |
и |
грань |
FE |
|||||||||||||||
в точке |
2; |
ребро |
В — |
грань |
ED |
в точке |
3 |
и |
грань |
EF |
в точке |
4; |
реб |
||||||||||||
ро |
C — |
грань |
FD |
в точке |
5 |
и грань |
FE |
в точке |
6, |
а ребро |
D |
призмы |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
53
пересекло грань пирамиды AB в точке 7 и грань BC в точке 8. Реб ра F и E призмы не пересекают пирамиды. В сетке можно соеди
нять только те точки, которые находятся в одной клетке, її в такой же последовательности необходимо соединять точки на проекциях.
Для определения видимости соединяемых линии на сетку нано
сятся знаки (÷), соответствующие видимым граням, и знаки ( — ),
соответствующие невидимым граням. Для фронтальной проекции
они будут сверху и слева, |
а |
для горизонтальной — снизу и |
справа. |
|||||||||||||||||
I ак, на |
фронтальной проекции грани |
AB |
и |
BC |
пирамиды видимые, |
|||||||||||||||
грань |
CA |
невидимая, грани |
DE |
и |
EF |
видимые, а |
грань |
FD |
невиди |
|||||||||||
мая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
види |
||||||
|
|
|
BC |
|
|
|
|
|
|
|
|
FD |
|
EF |
и |
|
|
|||
На горизонтальной проекции |
грани пирамиды |
AB |
CA |
|||||||||||||||||
мые, а |
грань |
|
невидимая; грани |
призмы |
|
|
и |
|
видимые, а |
|||||||||||
грань |
DE |
невидимая. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
При последовательном соединении точек на чертеже видимой |
||||||||||||||||||||
линией |
будут соединяться |
только те |
из |
них, |
|
которые |
на |
соответ |
ствующей плоскости в сетке будут иметь для данной клетки зна
ки ( + ). |
|
Так1, |
на фронтальной проекции видимыми линиями будут |
||||||||||||||||
соединены точки |
7 с |
3; |
3 |
с |
8; |
2 |
с |
4 |
и |
4 |
с б; а |
на горизонтальной — |
|||||||
точки |
1 |
с |
5; |
с |
7; |
2 |
с |
4 |
и |
6 |
с |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 21. Построение винта и гайки
Винг образуется снятием с цилиндра канавок различных профи
лей. В практике машиностроения чаще всего встречаются следую
щие профили резьб: треугольный с углом 60° при вершине (метри ческая резьба), трапецевидный (в червячных передачах), прямо угольный (в ходовых винтах станков) и т. д.
По количеству канавок, приходящихся на один ход резьбы, вин
ты делятся на однозаходные, двухзаходные и т. д.
Расстояние между одинаковыми точками двух соседних витков^
измеренное параллельно оси винта, называется шагом резьбы. Так,
в однозаходном винте ход равен шагу, а в двухзаходном — двум
шагам и т. д.
В зависимости от направления линии резьбы винты делятся на
правые и левые. Если при вращении по часовой стрелке винт уда
ляется от зрителя, то он имеет правую резьбу.
Пример построения винта и гайки приведен на рис. 78. Профиль резьбы — прямоугольная трапеция; резьба—двухзаходная, правая.
Для построения винта на чертеже вычерчены два цилиндра с
диаметрами, равными наружному и внутреннему диаметрам резь
бы. Окружности основания цилиндров делят на столько же частей,,
на сколько частей будет разделен ход резьбы.
Строится профиль резьбы, и из вершин трапеций проводятся винтовые линии. В заданном примере будут построены четыре вин
товые линии по наружному диаметру и четыре — по внутреннему.
Для построения горизонтальной проекции разреза винта плос
костью А—А радиально проводят ряд секущих горизонтально-
51
P.ιc 78
55
проектирующих плоскостей и находят вертикальные проекции се
чений. Точки пересечения полученных сечений с плоскостью А—А
проектируются на горизонтальную плоскость проекций. Получен
ные таким образом точки соединяют линией.
Построение гайки ничем не отличается от построения винта. На рис. 78 гайка разрезана фронтальной плоскостью.
Видимые винтовые линии на гайке, если смотреть слева напра
во, идут вниз, а на винте — вверх. Это различие является следст
вием того, что на фронтальной проекции винта видимой будет пе
редняя часть, в гайке же —задняя, так как передняя его часть от брошена при разрезе.
ГЛАВА IV
АКСОНОМЕТРИЯ
Аксонометрией называется метод параллельного проектирова
ния на одну плоскость, при котором оси координат не проектиру
ются в точку, и координатные плоскости не проектируются в линию.
Аксонометрией пользуются при получении наглядных изобра
жении.
Аксонометрия делится на прямоугольную и косоугольную в за
висимости от направления проектирующих лучей. Если проекти
рующие лучи расположены перпендикулярно к аксонометрической
плоскости, то эта проекция называется прямоугольной; если же
проектирующие лучи расположены под каким-либо другим углом
к этой плоскости, |
то проекция называется косоугольной. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
§ |
22. |
|
Прямоугольная |
аксонометрия |
|
|
|
|||||
|
При прямоугольном проектировании аксонометрическая плос |
||||||||||||||||
кость |
P |
пересекает оси координат |
X, |
У и |
Z |
(рис. 79). |
|
|
|
||||||||
|
Опустив |
перпендикуляр из начала координат на плоскость |
Р, |
||||||||||||||
получим |
точку Op, |
|
которая будет прямоугольной проекцией точ |
||||||||||||||
ки |
О |
на |
плоскость |
Р. |
Соединив |
точку Op |
с точками пересечения |
||||||||||
плоскости |
P |
с осями координат, |
|
получим проекции осей |
X, У |
и |
Z |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на плоскость Р.
Величина проекции каждой из осей координат зависит от угла наклона аксонометрической плоскости к осям координат.
При рассмотрении прямоугольных треугольников можно выве
сти следующие соотношения:
— cos а;
Обозначим cos а через tn, cos β через п, cos 7 через /г. Эти отно
шения показывают, как искажаются оси координат, а следователь-
57
но, и координаты любой точки пространства при проектировании их на аксонометрическую плоскость Р. Такие соотношения называют
коэффициентами искажения по осям координат.
Если известны направления проекций осей координат на аксо-
, нометрическую плоскость, совпадающую с плоскостью чертежа,
и коэффициенты искажения по ним, то нетрудно построить аксоно метрическую проекцию точек, прямых и тел.
9
Для определения коэффициентов искажения по осям координат
необходимо выявить зависимость их между собой.
Из аналитической геометрии известно, чю
или |
|
cos2 ɑɪ -L cos2S1 4“ cos2 γ1 |
= 1 |
|
|
|
||||||
|
' |
Sin2Sc-Lsin21S-Esin2V=I. |
|
|
|
|||||||
Зная, что |
|
sin2 а |
cos2 |
7. |
|
1, |
|
|
|
|
||
и заменяя синусы углов через косинусы, |
получим: |
|
|
|
||||||||
откуда |
1 — cos2 |
7. 4- 1 — cos2,3 |
+ 1 |
- cos2 7 = 1; |
|
|
||||||
cos2 а -L cos2 β 4* |
cos2 V = 2 |
|
|
|
||||||||
или |
|
|
ni1 ÷ іг |
-L- |
k2 |
= 2, |
|
по |
|
коорди |
||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
сумма |
квадратов коэффициентов искажения |
|
осям |
|
||||||||
|
|
|
нат равна двум.
В зависимости от положения аксонометрической плоскости по отношению к осям координат будет меняться направление располо-
58
женпых тіа ней проекций осей координат, а следовательно, и коэф фициенты искажения. Так, если т — ιι = k, т. е. коэффициенты ис кажения для всех координат будут одинаковы, то получится изо
бражение, называемое изометрией. Такое |
соотношение |
коэффи |
циентов может получиться тогда, когда |
углы наклона |
аксоно |
метрической плоскости к координатным |
плоскостям будут рав |
ны, а следовательно, проекции осей координат на аксонометриче
скую плоскость расположатся под углом 120° (рис. 80). Тогда из
основного уравнения зависимости коэффициентов искажения т2
і- /?2 + k2 = 2 получим: 3 т2 = 2 или
При вычерчивании предмета в изометрии следует величины пря
мых, расположенных параллельно осям координат, умножать на
коэффициент искажения 0,82 и откладывать их по направлениям,
параллельным проекциям соответствующих осей X, У и Z.
Чтобы избежать вычислений, обычно принимают т = п = k =
•— 1. Изображение в этом случае получится увеличенным во столько
раз, во сколько 1 больше 0,82, |
т. |
е. |
1 : |
0,82 = 1,22. |
|
Следовательно, изображение |
будет увеличенным в 1,22 раза. |
Это увеличение не отражается на наглядности изображения, но об
легчает его построение.
59