книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия и машиностроительное черчение учебное пособие для слушателей факультетов № 4 и № 7 (инженерная специальность)

ГЛАВА III

КРИВЫЕ ЛИНИИ И КРИВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ТЕЛА

§ 14. Кривые ЛИНИИ

Кривая линия — это траектория движущейся точки.

Кривые линии делятся на плоские кривые, все точки которых

лежат в одной плоскости, например, окружность, эллипс, парабола,

гипербола и т. д. и кривые двоякой кривизны, точки которых не

лежат в одной плоскости; такие кривые называются пространст­ венными.

На чертеже всякая кривая линия определяется рядом точек,

представляющих различные положения движущейся точки. Ряд то­

чек, при помощи которых воспроизводится кривая, называется

«рядом определяющих точек».

Кривизна отрезка кривой определяется величиной угла а, обра­

зуемого касательными в крайних точках отрезка кривой (рис. 42).

Средняя кривизна равна --ʃ- (где I — длина отрезка кривой).

Длина отрезка кривой / определяется измерением и суммиро­

ванием длин ее отрезков очень малой величины.

Кривая, в каждой точке которой можно провести только одну касательную линию, является непрерывной кривой.

Плавной кривой называется непрерывная кривая, которая имеет

только один радиус кривизны в каждой точке и кривизна которой

изменяется постепенно по всей ее длине. В противном случае кри­

вая не будет плавной.

На рис. 43 показаны две дуги радиуса R↑ и Т?2, которые явля­ ются радиусами кривизны кривой; в точке P плавность кривой на­

рушается, так как радиусы кривизны в ней не одинаковы, хотя кри­ вая и является непрерывной.

Следовательно, когда нужно при помощи лекала провести плав­

ную кривую через заданные точки, следует прикладывать лекало так, чтобы контуры одного и другого положения лекала на отрезке некоторой величины совпадали.

30

На чертеже проекции кривой, как плоской, так и пространствен­

ной, будут непрерывные и плавные, если сама кривая непрерывная и плавная.

При изображении плоскую кривую следует располагать парал­

лельно какой-либо плоскости проекций, иа которую она будет про­

ектироваться в истинную величину. Е:сли же потребуется вычертить плоскую кривую, не лежащую в плоскости, параллельной плоскости проекций, то для построения ее, пользуясь заменой плоскостей про­ екций, плоскость, в которой лежит кривая, ставят в положение,

параллельное новой плоскости проекции; проекция этой кривой изобразится без искажения.

і

і '

Из пространственных кривых наибольшее применение в технике

имеют цилиндрические и конические винтовые линии.

Цилиндрической винтовой линией называется такая линия, ко­

торая образована вращением точки вокруг оси, одновременно со­

вершающей поступательное движение, параллельное этой оси; при этом поступательное движение точки пропорционально угловым

перемещениям (рис. 44).

На развернутой поверхности цилиндра винтовая линия изобра­ зится в виде наклонной прямой.

Продольное перемещение точки вдоль оси за один полный обо­

рот называется ходом винтовой линии.

Между ходом и углом наклона в винтовой линии существует за­ висимость:

31

Винтовые линии делятся на правые и левые. Если смотреть

вдоль оси правой винтовой линии, то при движении винтовой линии

по часовой стрелке, точки винтовой линии будут удаляться от гла­ за наблюдателя.

§ 15. Кривые поверхности

Коивые поверхности образуются рядом последовательных по­

ложений линии. Эти линии называются образующими.

Если образующей является прямая линия, то такая поверхность

называется линейчатой (цилиндр, конус и т. д.). Если же образую­

щая является кривой линией, то поверхность называется нелиней­ чатой (сфера, тор и т. д.).

Те линейчатые поверхности, которые могут быть развернуты в

плоскость, называются развертываемыми, в противном случае по­ верхности будут неразвертываемыми или косыми.

Цилиндрическая поверхность получается при движении обра­

зующей прямой AB по направляющей кривой ВС. При перемеще­

нии образующие сохраняют параллельность (рис. 45).

Если в сечении цилиндрической поверхности плоскостью, пер­ пендикулярной к образующим, получается окружность, то поверх­

ность будет круговой цилиндрической, если же в сечении получится

эллипс, то поверхность будет эллиптической цилиндрической.

Коническая поверхность получается при движении образующей

прямой по направляющей кривой, проходящей во всех положениях

через одну неподвижную точку (рис. 46).

Поверхностью вращения называется поверхность, полученная вращением какой-либо образующей вокруг оси. Если рассечь по-

32

DepxHOCTb вращения плоскостью, перпендикулярной к оси враще­

ния, то в сечении получится окружность,

При вращении окружности вокруг диаметра образуется поверх­

ность сферы.

При вращении окружности вокруг оси, лежащей в плоскости

окружности и не проходящей через центр, получается поверхность тора. Разновидностью тора будет круговое кольцо, образованное

вращением окружности вокруг оси, расположенной в плоскости

окружности, но не пересекающей ее.

При вращении прямой, скрещивающейся с осью вращения, об­

разуется поверхность однополостного гиперболойда вращения.

Кривую поверхность, которая получается при движении обра­

зующей прямой по двум направляющим (одна из которых винто­

вая линия, а другая — ось), в том случае, если образующие этой поверхности пересекают ось под прямым углом, называют прямым

винтовым коноидом.

Если прямой винтовой коноид ограничен цилиндром меньшего диаметра, при пересечении с которым также получится винтовая

линия (рис. 47), то поверхность, заключенная между обеими вин­

товыми линиями, называется' кольцевым винтовым коноидом. Эта

поверхность неразвертываемая, так как соседние смежные обра­

зующие находятся в скрещивающемся положении.

На чертеже (рис. 48) выполнена винтовая поверхность, которая

получена при движении образующей прямой по двум направляю­

щим, одна из которых винтовая линия, а другая — ось. Образую­

щая этой поверхности пересекает ось под одним и тем же углом,

отличным от прямого; такая поверхность называется косым винто­ вым коноидом.

При сечении этой поверхности плоскостью, перпендикулярной к оси коноида, получится спираль Архимеда. Прямая и косая вин­

товые поверхности встречаются в винтах и гайках различных про­

филей.

Если две скрещивающиеся прямые AB и CD (рис. 49) являются

направляющими, а прямая AC — образующей, которая переме­

шается по направляющим, сохраняя параллельность какой-либо

плоскости, то такая поверхность называется гиперболическим пара­

болоидом или косой плоскостью.

34

нии контура ¡многогранника изображаются всегда видимыми ли­

ниями. Чтобы выяснить видимость проекции скрещивающихся ре­ бер AD и СВ, руководствуются следующим: на фронтальной проек­ ции видимым будет то ребро, которое при виде спереди ближе к

зрителю. Для этого на фронтальной проекции необходимо взять

точку пересечения проекции — точки 1' на линии AD и точки 2, на

линии СВ. На горизонтальной проекции точка 1, принадлежащая ребру AD, удалена дальше от оси XX, чем точка 2, принадлежащая

ребру СВ; следовательно, при виде спереди ближнее к зрителю реб­

ро AD будет видимое.

Рис. 52

При определении видимости ребер AD и CB на горизонтальной

проекции берут точку пересечения проекций 3 и 4. По расположе­

нию их на фронтальной проекции видно, что точка 3', принадлежа­

щая линии AD, расположена выше, чем точка 4', принадлежащая

СВ. Следовательно, при виде сверху линия AD будет видимой, а

CB — невидимой.

§ 17. Пересечение многогранников плоскостью

При определении проекций фигуры сечения многогранников плоскостью необходимо последовательно находить точки пересече­ ния ребер многогранника с этой плоскостью; соединив последова­ тельно найденные точки, получим проекции фигуры сечения. На

рис. 53 изображена трехгранная призма, которая рассечена плос7

костью Р. Заменой плоскостей проекций найдена истинная величи­

на сечения.

На этом же чертеже выполнена развертка поверхности отсечен­ ной части призмы. При построении развертки боковой поверхности

на горизонтальной линии откладывается ширина каждой грани са, ob и Ьс, которые проектируются на горизонтальную плоскость

36

проекций в истинную величину. Перпендикулярно к этой линии от­

кладываются высоты ребер с учетом отсеченной части. Полученные

точки С, А, В и C соединяют.

Рис. 53

На рис. 54 произведена развертка поверхности наклонной приз-

діы. Для получения ширины каждой грани призму необходимо рас­

сечь плоскостью Pf перпендикулярной к ребрам. Треугольник

/ДД| является истинной величиной перпендикулярного сечения и получен заменой плоскости проекций. На горизонтальную линию на носятся стороны треугольника 1↑2 3 ∏ из полученных точек 1, 2,

37

З щ/ вверх откладываются верхние части отсеченных ребер,, a∙ вниз — нижние части ребер. В данном примере ребра призмы рас­ положены параллельно фронтальной плоскости проекции *. Еслиг

же призма будет находиться в каком-либо другом положении, то,

пользуясь заменой плоскостей проекций, можно новую плоскость,

поставить в положение, параллельное ребрам призмы.

На рис. 55 выполнено сечение трехгранной пирамиды плоско­

стью Pf найдена истинная величина сечения методом замены плос­

костей проекций и произведена развертка боковой поверхности..

На развертке каждая грань пира­ миды является треугольником, а так

как на чертеже изображена правиль­

ная трехгранная пирамида, то каждая грань является равнобедренным тре­ угольником со стороной, равной s"nf .

которая проектируется на профильную

плоскость проекций в истинную вели­

чину. Основаниями треугольников, по­ лученных на развертке, будут стороны

* На эту плоскость они проектируются в истинную величину.

38

i-арительно снося их на ребро s"ιι", спроектированное в истинную

величину.

При определении проекций какой-либо точки, взятой на по­ верхности пирамиды, если дана только одна проекция этой точки, поступают следующим'образом: через заданную точку а' проводят

секущую плоскость параллельно основанию пирамиды (рис. 56).

В результате получится треугольник, подобный основанию, на ко­

тором и лежит горизонтальная проекция точки А.

§ 18. Сечение тел вращения плоскостью

Телом вращения называется такое тело, которое ограничено

поверхностью, получаемой при вращении прямой или кривой ли­ нии вокруг оси. ∏p и-сечении такого тела плоскостью, перпендику­

лярной к оси вращения, получается круг.

Такие тела часто встречаются в машиностроении. Рассмотрим

наиболее часто встречающиеся тела вращения.

Цилиндр. На рис. 57 изображен цилиндр, рассеченный наклон­

ной плоскостью.

В сечении образуется плоскость, ограниченная эллипсом. Боль­

шой осью эллипса является линия a'br, а малой — размер диаметра

цилиндра. Поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник

с основанием, равным длине окружности πd; высотой его является высота цилиндра. Для построения развертки окружность основа­ ния делят на равное число частей, на это же число делится основа­ ние прямоугольника. Из точек деления восстанавливаются перпен­

дикулярные прямые, которые являются образующими цилиндра; на

них откладываются размеры отсеченных частей образующих. Со­

через фронтальную проекцию точки проведена горизонтальная

плоскость, рассекающая конус по окружности, на которой и будет

расположена горизонтальная проекция точки.

Для получения развертки конуса строится сектор. Радиусом сектора является образующая конуса, которая проектируется на фронтальную плоскость в истинную величину. На дуге сектора от­

кладывается длина окружности основания конуса.

39