книги из ГПНТБ / Начертательная геометрия и машиностроительное черчение учебное пособие для слушателей факультетов № 4 и № 7 (инженерная специальность)

проекций, следовательно, горизонтальная проекция его изобразит­ ся в истинную величину.

На рис. 27 изображен треугольник, перпендикулярный к фрон­

тальной плоскости проекций. Признаком такого положения тре­

угольника на чертеже будет то, что фронтальная проекция его изо,-

і

Рис. 27

бражается в виде прямой, наклоненной к оси XX. Чтобы опреде­

лить истинную величину этого треугольника, надо его спроектиро­

вать на новую горизонтальную плоскость проекций, которую рас­

угольника, который будет проектироваться в истинную величину.

Если плоскость не ограничена линиями и располагается перпен­ дикулярно к какой-либо плоскости проекций, то ее можно изобра­

зить на чертеже в виде прямой линии. Эта прямая является про­ екцией заданной плоскости.

Плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проек­ ций, называется фронтально-проектирующей и проектируется на фронтальную плоскость проекций в виде прямой линии.

Если плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости

проекций, то она называется горизонтально-проектирующей и гори­

зонтальная проекция ее изображается прямой линией.

На рис. 26 и 27 изображены треугольники, расположенные пер­ пендикулярно к фронтальной плоскости проекций, следовательно,

они лежат в фронтально-проектирующих плоскостях, и их фрон­ тальные проекции изображаются прямыми линиями.

§ 9. Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая относительно плоскости может занимать различные по­ ложения:

1) совпадать с плоскостью;

20

2)быть параллельной плоскости;

3)пересекать плоскость;

4)быть перпендикулярной плоскости.

1)Прямая лежат в плоскости, если две точки ее лежат в пло­

скости.

На рис. 29 прямая EF лежит в плоскости треугольника АВС,

точка М, принадлежащая прямой EF, лежит на стороне АС, а точ­

ка N— на стороне ВС.

Среди прямых, принадлежащих плоскости, особое место зани­

мают горизонтали и фронтали плоскости.

1 оризонталь плоскости — это линия, лежащая в плоскости и па­

раллельная горизонтальной плоскости проекций (рис. 30).

Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси проекций;

,линия AN — горизонталь.

Фронталъ плоскости — это линия, лежащая в плоскости и парал­

лельная фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проек­

ция фронтали будет параллельна оси проекций XX; линия MC — 'фронталь.

2)Прямая параллельна плоскости, если она будет параллельна

какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. На рис. 31 изобра­ жена прямая EF, которая параллельна прямой MN, лежащей в пло­

скости треугольника АВС, следовательно, прямая EF параллельна

треугольнику АВС.

3)Прямая пересекает плоскость, если заданная прямая не ле­

жит в плоскости и не параллельна ей.

4)Прямая перпендикулярна плоскости, если она будет перпен­

дикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой

!ПЛОСКОСТИ.

На рис. 32 прямая EA перпендикулярна к плоскости треугольни­

ка АВС, так как эта прямая перпендикулярна к горизонтали AN и фронтали AM, принадлежащим треугольнику АВС:

21

/

§ ю. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут быть параллельными или пересекающими­ ся, а в частном положении они могут быть взаимно-перпендикуляр­

нон плоскости проекций закроет сторону MK, показанную невиди­ мой линией.

Для определения видимости сторон на фронтальной плоскости

проекций взята точка пересечения фронтальных проекций сторон

BC и NK— точки 6', 7'. Отмечаем положения этих точек на гори­

зонтальных проекциях сторон. Так, точка 6 принадлежит стороне

ВС, а точка 7 — стороне KN. По положению горизонтальных проек­

ций этих точек видно, что точка 6, принадлежащая стороне ВС,

будет расположена ближе к зрителю, чем точка 7, принадлежащая

стороне NK; следовательно, на фронтальной плоскости проекций

часть стороны NK будет закрыта треугольником ABC и показы­

вается невидимой линией.

§ 11. Определение истинной величины плоской фигуры

При определении истинной величины плоской фигуры, занимаю­

щей общее положение, необходимо произвести двойную замену

плоскостей проекций. В качестве примера за плоскую фигуру при­

нимаем треугольник.

Перзую замену делают, проводя новую плоскость проекций пер­ пендикулярно к плоскости треугольника для того, чтобы треуголь­

ник спроектировался на эту плоскость в прямую линию, т. е. стал

проектирующим.

При второй замене новую плоскость проекции ставят в поло­

жение, параллельное плоскости треугольника, тогда на эту плос­

кость проекций треугольник спроектируется в истинную величину.

На рис. 35 найдена истинная величина треугольника АВС, при определении которой был проведен следующий порядок построе-

ния:

1)в треугольнике построена горизонталь А — 1;

2)перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали

проведена новая ось проекции ΛιΛ ; в новой системе на линиях

24

связи от оси XіXі отложены высоты (координаты Z) вершин тре­

угольника;'на плоскость Izі треугольник спроектируется в прямую

линию c a'↑b ;

3) при второй замене новую плоскость проекций H↑ ставят па­

раллельно плоскости треугольника, располагая новую ось Х^Х^ па­

раллельно прямой c'↑a'χb' ∙, на новых линиях связи, перпендикуляр­

ных к оси ХъХь от этой оси откладываются координаты игреков вершин треугольника (расстояния от горизонтальной проекции до

оси XjXi).

Треугольник (i b↑Cχ — истинная величина треугольника АВС.

§ 12. Нахождение точки пересечения прямой с плоской фигурой

При определении точки пересечения прямой с плоскостью необ­ ходимо провести три последовательных построения:

—прямую заключить в плоскость (проектирующую);

—найти линию пересечения двух плоскостей (плоскости тре­

угольника и проектирующей плоскости);

—в точке пересечения заданной прямой с линией пересечения и

будет находиться точка пересечения прямей с плоскостью треуголь­ ника.

На рис. 36 прямая MN заключена в горизонтально-проектирую-

шую плоскость Р. Плоскость P пересечет треугольник ABC по ли­

нии /—2.

25

В точке F, где заданная прямая пересечется с линией пересече­

ния двух плоскостей, будет находиться точка пересечения прямой

ΛLV с треугольником АВС.

Поставленную задачу можно решить и иначе, используя способ

замены плоскостей проекции. Ла рис. 37 проведено решение этим

угольник спроектируется в прямую линию, и точка пересечения за­

данной прямой с плоскостью будет являться точкой пересечения

прямой с плоскостью треугольника.

§ 13. Об углах между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями

Углом между прямой и плоскостью называется угол, образован­

ный прямой и ее проекцией на данную плоскость. Этот угол будет

проектироваться на чертеже в истинную величину в том случае, если заданная плоскость будет расположена перпендикулярно к

одной из плоскостей проекций, а прямая будет параллельна этой же плоскости проекций.

На рис. 38 треугольник BDC перпендикулярен к горизонтальной

плоскости проекций, так как на эту плоскость треугольник спроек-

тировался в виде прямой линии. Прямая AB параллельна той же плоскости проекций; следовательно, угол между прямой AB и тре-

26

угольником BDC на горизонтальной плоскости проекций спроекти­

руется4 в истинную величину.

. IIa рис. 39 разобран пример на определение угла наклона пря­ мой AB к плоскости треугольника BDC, параллельного к горизон­

тальной плоскости проекций.

X

Рис. 38

Для решения поставленной задачи произведена замена фрон­ тальной плоскости проекций новой плоскостью, располагаемой па­

//1 поставлена параллельно плоскости треугольника. На эту плос­

кость проекций треугольник BCD спроектируется в истинную вели­ чину (bιCγd↑).

Третья замена. Вторая (новая) фронтальная плоскость, проекций V2 ставится параллельно прямой AB (линия axb↑). На эту плоскость треугольник BCD спроектируется в прямую линию b'2d'2c'2, так как он будет перпендикулярен к этой плоскости проек-

27

иии, а прямая AB будет параллельна этой же плоскости проекции.

Следовательно, угол между прямой AB и треугольником BCD на плоскость проекции V2 будет проектироваться в истинную вели­

чину.

Линия BM, проведенная в плоскости треугольника, является

проекцией прямой AB на плоскость треугольника. Она перенесена со второй замененной плоскости. На этой плоскости проекций пря­

мая AB и ее проекция на плоскость треугольника совпадают. На

чертеже взята точка m↑ на стороне d↑ci и возвращена в первона­

чальное положение. Таким образом, угол между прямой и ее про­

екцией изображается на чертеже углом ABM.

d'

Рис. 40 Рис. 41

Угол, образованный двумя плоскостями, измеряется линейным

углом, лежащим в плоскости, перпендикулярной к ребру двугран­

ного угла.

Двугранный угол будет проектироваться в истинную величину

на какую-либо плоскость проекций, если ребро этого угла распо­ ложено перпендикулярно к этой плоскости.

На рис. 41 дано решение задачи на определение истинной вели­

чины двугранного утла, образованного двумя гранями ACD и BCD.

Линия CD является ребром двугранного угла.

28