книги из ГПНТБ / Знаменский М.А. Измерительные работы на местности пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов

как треугольники АВС и BCD — равнобедренные. Обозначим углы при основании равнобедренного треугольника АВС через а и углы при основании равнобедренного треугольника BCD через р. Тог­ да из треугольника ABD имеем: 2«4- 2 = 180°, т. е. « + р — 90°.

Вторая задача — провести перпендикуляр к прямой через точку, не лежащую на этой прямой (опустить перпендикуляр), решается несколько сложнее. Берут веревку несколько больше величины опу­ скаемого перпендикуляра. Одна петля надевается на веху (черт. 32), установленную в точке F вне прямой, через которую должен

быть проведен перпендикуляр. Вторая петля надевается на вторую ве­ ху, и в натянутом положении вторая веха устанавливается на прямой АВ, например, в точке D, что проверяется наблюдателем, стоящим за одним из концов отрезка АВ. Точно так же устанавливается вторая веха в точке Е. Сгибанием веревки по длине, равной DE, пополам находится середина отрезка. Прямая FC1.AB.

Применив прием восставления перпендикуляра и понятие сим­ метрии, можно предложить другой способ, интересный с точки зре­ ния приложения геометрических знаний учащихся.

Пусть (черт. 34) из точки М надо опустить перпендикуляр на прямую АВ. Из произвольной точки С заданной прямой восстав­ ляем перпендикуляр CD и продолжаем по другую сторону прямой на расстояние СЕ = CD. Находим точку F пересечения прямых АВ

и прямая M.N будет перпендикулярна АВ. Действительно, &CDF— = A\CEF, и отсюда ^DFC = ^EFC. Тогда Д MKF =/\NKF

и, следовательно, углы при точке К равны.

6) Построение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

Это построение может быть выполнено, используя свойства медиан и средней линии треугольника. Пусть (черт. 35) через

39

точку М требуется провести прямую, параллельную АВ. Откла­ дываем АС — CD и AM — ME. В треугольнике ADE находим пересечение двух медиан ЕС и MD в точке F. Третья медиана опре­ деляется точками А и F и ее пересечение с третьей стороной в точке И даст середину этой стороны. МН является средней ли­ нией треугольника и параллельна АВ.

Приведенные примеры можно значительно разнообразить. По­ кажем, что применяя прием натягивания веревки можно решить задачу деления произвольного угла на три равные части, которая, как известно, не решается при помощи циркуля и линейки.

Пусть на поверхности земли дан угол BAD своей вершиной А и направлением двух сторон (черт. 36). Берем веревку с тремя пет-

Черт. 36

лями, на концах и посередине. Накидывая среднюю петлю на веху в вершине А и вытягивая концы веревки по сторонам угла, уста­ навливаем вехи в точках В и D. Затем, снимая среднюю петлю с точки А и оставляя две другие петли в точках В и D, оттягивают середину веревки в точку С, где устанавливается веха. Далее сни­ мают веху с точки D и вытягивают веревку по продолжению пря­ мой ВС с крайней петлей в точке Е. После этого один наблюдатель удерживает правую петлю вехой на продолжении отрезка ВС, мед­

40

ленно двигаясь в направлении точки С, второй с вехой в средней петле держит веревку в натянутом положении, а третий, стоя за вехой А, контролирует движение первых двух наблюдателей, улав­ ливая момент, когда все три вехи в точках А, М и F окажутся на одной прямой. Доказательство видно из чертежа:

^ВАМ = ^ВМА = 2^BFM = 2^MAD.

7) Съемка плана при помощи измерения одних длин.

Съемка плана не вызывает никаких затруднений тогда, когда участок имеет форму прямоугольника или сочетания прямоугольни­ ков. С этих случаев в первые годы обучения, очевидно, и надо на­ чинать работу.

На практике часто приходится иметь дело с фигурами не пря­

Откладывая от точки А по линиям АВ и АС произвольным радиусом расстояния AD и АЕ и измеряя хорду DE, мы можем построить треугольник ADE и таким образом получить графически угол ВАС.

В случае, если наносимый на план угол — тупой (черт. 39), целе­ сообразнее продолжить одну из сторон назад и построить угол, смежный углу ВАС.

При производстве съемки по этому способу работа ведется по сторонам многоугольника, или, как говорят, обходом по погранич­ ным линиям. Из каждой вершины многоугольника откладываются произвольные радиусы, на сторонах угла измеряются хорды и стро­ ятся образованные таким образом треугольники. Получив на чер­ теже угол многоугольника, откладывают на его стороне длину со­

41

Глава III

ЭККЕР И РАБОТА С НИМ

§ 9. Конструкция эккера

Простейшим инструментом для съемки является эккер (понемецки die Ecke значит угол). При помощи эккера на поверхности земли строятся прямые углы, а также углы в 45° и 135°. Изготов­ ление самодельного эккера не представляет затруднений и может быть осуществлено силами учащихся школы. Кон­

При этом условии для учащихся будет совершенно естественно для наметки прямоугольника на земле положить в вер­

шине на землю чертежный треугольник больших размеров (класс­ ный) и натянуть вдоль его катетов веревку. Затем учащиеся могут попробовать, не натягивая веревки, визировать по ребрам тре­ угольника и выставить по этим направлениям вехи. Почувствовав

43

неудобство такого визирования по треугольнику, лежащему на земле, учащиеся легко придут к мысли о необходимости поднять треугольник от поверхности земли и закрепить на палке.

2) Квадратная доска с двумя взаимно перпендикулярными ли­ ниями (черт. 41). Для изготовления этой конструкции эккера бе­ рется квадратная доска со стороной в 25—30 см и прикрепляется посредством гвоздя или винта к колышку, соответствующему по своей длине росту учащихся. Более удобное крепление доски с ко­ лышком получится, если снизу к доске прибить гвоздями или при­ крепить винтами брусок 20—25 мм толщиной, с круглым отвер­ стием, равным диаметру верхушки кола. Тогда доска может свободно

Черт. 41

надеваться на кол, воткнутый в землю. Для более точного получе­ ния двух взаимно перпендикулярных линий удобно взять квадрат­ ный лист бумаги и, вычертив на нем эти линии при помощи циркуля и линейки, прикрепить лист бумаги к доске кнопками или приклеить клеем. Вместо вычерчивания двух взаимно перпендикулярных ли­ ний при помощи циркуля и линейки они могут быть получены сги­ банием листа бумаги вчетверо. Для удобного визирования на кон­ цах взаимно перпендикулярных линий вкалываются булавки или тоненькие гвоздики. При закреплении булавок необходимо поза­ ботиться, чтобы они находились на равном расстоянии от точки пересечения взаимно перпендикулярных линий. В этом случае, как видно будет дальше, эккер может быть использован также для построения угла в 45° и 135°.

3) Эккер в форме крестовины, закрепленной на палке. Эта наи­ более употребительная конструкция эккера ясна из чертежа 42. Изготовление ее учащимися вполне возможно в тёх школах, где учащиеся работают в столярной мастерской. Главное внимание и

44

здесь должно быть обращено на точность проведения двух взаимно перпендикулярных линий. И в этом случае в центре крестовины

торчащие булавки или гвоздики. Они постоянно гнутся, теряются, и учащиеся могут легко ими себя поранить. В книге С. Орлова «Первые работы по измерению земли» дана конструкция эккера, устраняющая этот недостаток.

Эккер Орлова представляет собой квадратную коробку с про­ светами между верхней и нижней крышками и визирами в виде ме­ таллических проволочек или булавок между ними (черт. 43 и 44).

При наличии столярной мастер­ ской и эта конструкция может быть изготовлена без особого труда.

крепляющейся при помощи металлической трубки на палке. В каж­ дой грани имеются вертикальные щели с волосками. Такая кон­ струкция дает углы в 90°, 45° и 135° (черт. 45).

6) Зеркальный эккер. Устройство его следующее. Два неболь­ ших зеркала закреплены в оправе под углом в 45°. В таком случае падающий и отраженный лучи будут направлены.друг к другу под углом в 90° (черт. 46).

Зеркальный эккер также может быть изготовлен в столярной мастерской. На две деревянные планки 80 ммх20мм х 5 мм при помощи универсального клея БФ наклеиваются зеркальные пла­ стинки 15 мм X 60 мм. Деревянные пластинки скрепляются двумя винтами, позволяющими регулировать наклон одной пластинки к другой, чтобы получить угол в 45°.

Ход лучей в эккере с двумя зеркалами под углом в 45° виден из чертежа 47. Если луч из точки А (где ставится веха) падает на ближнее к наблюдателю зеркало под углом а, то под этим же углом он отразится от этого зеркала и попадает во второе зеркало под углом р. Отразившись под этим же углом от второго зеркала, луч попадает к наблюдателю в точке В. Перпендикулярность лучей АР и ВМ следует из того, что; ^ANM = 2(а р), из ДЛ4СР имеем:

45

90° — a + 90э — p -f- 45° = 180°, или a + p = 45°, и, следователь­ но, 2(a -f- P) = 90°.

Для того чтобы наметить два взаимно перпендикулярных на­ правления при помощи зеркального эккера, поступают следующим образом. Наблюдатель с зеркальным эккером в руках становится в той точке прямой, через которую к прямой должен быть проведен перпендикуляр. Зеркальный эккер поворачивается таким образом, чтобы веха, установленная на этой прямой (в схеме хода лучей на чертеже 47 в точке А), отразившись в ближнем к наблюдателю зеркале, могла быть им рассматриваема во втором зеркале. Посы­ лая по этому направлению помощника с вехой, наблюдатель улав­ ливает момент, когда веха в руках помощника будет покрывать

изображение первой вехи в зер­ кале. Тогда помощник втыкает свою веху, а наблюдатель по от­ весу или на глаз устанавливает веху в вершине прямого угла.

Зеркальный эккер удобен своей портативностью.

Все эккеры, кроме зеркаль­ ных, закрепляются на колышке , на уровне глаза. В этом есть не­ удобство, так как эккер на ко­ лышке не может быть достаточно устойчив. Кроме того, укрепле­ ние колышка в твердом грунте представляет затруднение. В этих случаях нужно брать с собой на работу коротенький колышек из крепкого дерева

(лучше железный). Тогда, пробив отверстие в земле этим малень­ ким колышком, можно вставить плотно кол от эккера нажимом руки. Еще лучше иметь для эккера штатив в виде треноги. При изготовлении подобного штатива удобно его сделать таким обра­ зом, чтобы он мог быть использован не только дляэккера, но и для других инструментов. Удобно использовать легкие фотографиче­ ские штативы.

Прежде чем пользоваться эккером любой конструкции, его не­ обходимо проверить,

Для проверки эккера используется определение прямого угла, как угла, равного смежному углу. На прямой, определенной по­ ложением двух вех: А и В, выбирается точка С, в которой устанав­ ливается эккер (см. черт. 48). Крестовина эккера поворачивается таким образом, чтобы два штифта эккера находились в створе уста­ новленных вех. По направлению двух других штифтов помощником ставится третья веха D. Прямая, определяемая колом эккера и третьей вехой, должна быть перпендикулярна к первой прямой. Для проверки этого крестовину эккера поворачивают на 90° около вер­

46

тикальной оси так, чтобы пары штифтов поменялись своими ме­ стами. Если и в этом случае визирные линии штифтов опять совпа­ дут — одна пара с направлением прямой и другая пара с напра­ влением перпендикуляра на третью веху, эккер правилен. В противном случае надо исправить положение одной из визирных линий и сделать новую проверку

Кроме проверки эккера, проводимой учащимися под руковод­ ством преподавателя, желательно, чтобы преподаватель сам опре­ делил погрешность в угле, допускаемую данной конструкцией эк­ кера. Это может быть сделано измерением угла, построенного при помощи эккера, более точным угломерным инструментом (см. опи­ сание теодолита в гл. 5, § 20) или вычислением углов треугольника,

Черт. 47

в котором один угол построен эккером и все стороны измерены по нескольку раз с максимальной возможной точностью. В старших классах к этой работе могут быть привлечены учащиеся. Тогда преподаватель, зная погрешность эккера в градусах, всегда может определить боковое отклонение при построении перпендикуляра определенной длины.

§ 10. Основные приемы работы с эккером

Прежде чем начинать работу с эккером в полевой обстановке, необходимо, чтобы учащиеся в классе ознакомились с инструмен­ том, его поверкой и основными приемами работы. Для этой цели полезно иметь один экземпляр эккера на штативе или эккер на ко­ лышке устанавливать на крестовине, как это было указано в пре­ дыдущей главе для вех.

Для иллюстрации работы с эккером на искусственном полигоне следует сделать модель эккера высотой 10—12 см, закрепленного на катущке из-под ниток или крестовине так же, как закреплялись вехи при работе на классном полигоне (см. черт. 21).

47

Основных приемов работы с эккером два: 1) восставить перпен­ дикуляр из данной точки прямой, 2) из точки вне данной прямой опустить на нее перпендикуляр.

Для первой работы эккер устанавливается в данной точке, ле­ жащей на прямой линии, отмеченной по крайней мере двумя веха­ ми (черт. 48). Затем проверяется правильность установки эккера на линии АВ. Сначала это можно сделать по наблюдению положения колышка, на котором поставлен эккер (или отвеса, опущенного под центральной точкой крестовины, если эккер установлен на штати­ ве), причем наблюдатель становится левее точки А или правее точ­ ки В. Затем проверяется правильность установки самой крестови­

дIС __________ эккера, смотрит на веху в

помощнику, где поставить третью веху в точке D так, чтобы вторая пара булавок эккера покрывала эту веху.

Для опускания перпендикуляра из данной точки на данную прямую сначала выбирают искомую точку — основание перпенди­ куляра — на глаз.

Выбрав основание перпендикуляра на глаз, становятся на пря­ мой АВ так, чтобы корпус наблюдателя был расположен в плоско­ сти вех в точках А и В лицом к точке, в которой стоит веха С. Бо­ лее аккуратно достигнуть этого положения можно, вытянув руки горизонтально по направлению А и В и поворачивая слегка го­ лову, посмотреть на вехи А и В. Если после этого взглянуть прямо перед собой, то взгляд должен упасть на веху в точке С. Ес­ ли этого не будет, точка стояния выбрана неудачно и надо подви­ нуться по прямой вправо или влево.

Затем устанавливают эккер на данной линии визированием в оба конца и смотрят по второму визиру, окажется ли третья веха в этом направлении. В случае если этого не будет, эккер придется продвинуть по данной линии вперед или назад и снова произвести проверку. Так поступают до тех пор, пока визирные линии не ока­ жутся совпадающими с направлением данной линии и направле­ нием на данную точку. Проведение параллельных линий сводится к аналогичным операциям.

48