книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

Г л а в а 4

ПЕРЕДАЧА НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ ПО КАНАЛАМ СВЯЗИ

§ 12. ОТЛИЧИТЕЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТЕОРИИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИИ

Наряду с дискретными сообщениями в современной технике не меньшую, если не большую, роль играют непрерывные сообще­ ния. Примерами таких сообщений являются телефонные радио­ сигналы, телевизионные сигналы, сигналы датчиков непрерывных физических величин в телеметрии, сигналы станций телеуправле­ ния и т. п.

В этом разделе мы рассмотрим основные положения теории информации для непрерывных сообщений как шредельного слу­ чая теории дискретных сообщений, хотя между этими двумя слу­ чаями имеются существенные различия.

Сравним дискретный и непрерывный сигналы, представленные на рис. 3.

а)

На любом отрезке конечной длины дискретный сигнал содер­ жит конечное число символов^ взятых из конечного алфавита. Непрерывный сигнал на любом отрезке конечной длины содержит бесконечное множество точек, каждая из которых характеризует­ ся ординатой сигнала. Причем различных ординат может быть бео-

62

конечное множество. В связи с этим может показаться, что непре­ рывный сигнал конечной длины обладает свойствами бесконечной последовательности символов, избираемых из бесконечного алфа­ вита. В соответствии с выводами теории дискретных сообщений ' это должно было бы означать, что непрерывный сигнал конечной

длины содержит бесконечное количество информации.

На самом деле это не так. На практике мы всегда имеем дело с сигналами, спектр которых ограничен, т. е. с функциями, спектральное разложение которых не содержит частот выше некоторой граничной частоты Fг гц. Эта граничная частота определяется либо свойствами приемника информации, либо ограничивается со­ знательно. Но, согласно известной теореме Котельникова, доказа­ тельств? которой мы приведем ниже, функции с ограниченным спектром однозначно определяются конечным числом своих зна­ чений на протяжении конечного интервала времени. А раз так, то передача непрерывной функции.с ограниченным спектром сводится в конечном счете к передаче последовательности дискретных ве­ личин.

Далее, на всякий реальный сигнал всегда накладывается шум, в силу чего количество различимых уровней сигнала становится конечным и, следовательно, совокупность значений непрерывного сигнала при наличии шума эквивалентна конечному алфавиту.

Заметим попутно, что теории информации для непрерывных со­ общений в отсутствии шумов не существует.

При рассмотрении непрерывных сигналов необходимо ввести одно определение, которое отсутствовало в теории дискретных сообщений. Это определение квадратичного эффекта или связан­ ных с ним понятий мощности и энергии сигнала.

Рассмотрим некоторую функцию f(t). Будем называть м г н о ­

63

Интеграл по времени от мгновенного квадратичного значения

важное значение. Как мы увидим ниже, мощность сигнала, или, точнее, отношение сигнал/шум определяет объем алфавита непре­ рывных сообщений.

Наконец, важной отличительной особенностью теории непре­ рывных сообщений является возможность использования такого мощного математического аппарата как частотный анализ.

§ 13. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

Рассмотрим непрерывный сигнал, прошедший через систему с ограниченной полосой пропускания частот. Для этого типа сигна­ лов докажем следующую теорему.

Если функция не содержит составляющих с частотой вы­ ше F r гц, то она полностью определяется последователь-

1

ностыо ее значении в точках, отстоящих на расстоянии

секунд друг от друга.

Сформулированное положение есть теорема В. А. Котельни­ кова. Она утверждает невозможность независимых значений функции, отделенных друг от друга временными интервалами

меньше чем секунд. Доказательство теоремы основано на

разложении функции f(t) с ограниченным спектром в особого рода ряд. Для ограниченного опектра имеем

На-конечном интервале (— сог <ог) функция 5(«) может быть представлена рядом Фурье

]Ък •

s и = 2

где 2 о)г — период по частоте.

Коэффициенты разложения Dk определяются по обычной фор­ муле

64

Но = д t и интеграл выражает не что иное, как умноженное

на 2п значение f(— kAl). Таким образом

S(in) = Д * 2 f ( - k M ) е ^ \ . '

Выражая функцию f(t) через ее спектр 5(ш), получим

где знак при k изменен на том основании, что суммирование про­ изводится по всем как положительным, так и отрицательнымзна­ чениям k.

Изменим порядок действий, тогда

Следовательно, функция с ограниченным спектром вполне определяется своими мгновенными значениями f ( k отсчитан­

Наиболее важный вывод из этой теоремы, о котором мы уже упоминали выше, состоит в том, что передача непрерывного сооб­ щения, когда сигнал может быть .представлен функцией с ограни­ ченным спектром, сводится к точно такой же ситуации, как и пере­ дача дискретного сообщения.

Вернемся к формуле (83). Каждое слагаемое этой суммы по физическому смыслу представляет отклик идеального фильтра нижних частот с граничной частотой «>г на весьма короткий им­ пульс, возникающий в момент t = k&t и имеющий площадь, рав­ ную мгновенному значению функции f(t) в тот же момент. Этим

и определяется принципиальнаявозможность и весь механизм дискретной передачи непрерывного сигнала с ограниченным спект­ ром по каналу связи (рис. 5).

На рис. 5,о представлена исходная функция сигнала f(t). Через равные интервалы Дt берутся отсчеты мгновенных значений функ­ ции и в канал посылаются короткие импульсы, площади которых (например, высоты при неизменной длительности) пропорциональ­ ны соответствующим отсчетам (рис. 5,6).

На приемном конце канала эти импульсы пропускаются через фильтр нижних частот. Отклик фильтра на каждый из импульсов представлен рядом кривых (рис. 5,е). В сумме же на выходе фильтра получается исходная функция f(t) (рис. 5,г). Следова­ тельно, для передачи непрерывного сигнала нет необходимости передавать его целиком, достаточно передать лишь дискретный ряд его значений в точках отсчета и сигнал будет точно восста­ новлен на приемной стороне канала. Этот удивительный результат является фундаментальной предпосылкой теории непрерывных сообщений.

Отметим одно интересное свойство суммы (83). В моменты k&t значение суммы, т. е. значение f(t), определяется только одним из

66

слагаемых, так как все остальные слагаемые в этот момент обра­ щаются в нуль. Действительно:

при любых целых значениях к и /, так как

<»р( j M — kbt) — (у — к) югДt, — (у — к) ъ.

Таким образом, хотя выходные импульсы (отклики) и перекры­ ваются, но в моменты отсчета значение функции определяется только одним из них.

Теперь заметим, что в действительности мы обычно имеем дело с сигналами, представляющими собой функции, ограничен­ ные не только по частоте, но и во времени. Точнее, функции, квад­ ратичный эффект (энергия) которых почти весь сосредоточен в конечных интервалах времени и полосы частот. Для таких функ­ ций справедливо следующее утверждение.

Если длительность функции приближенно составляет Т, а спектр ее приближенно ограничен частотой Fr и если 2TFr ^> 1 , то функция с высокой степенью точности опреде­ ляется ее значениями в 2TFr точках отсчета, отделенных друг

К аналогичным результатам по числу точек отсчета можно прийти, если представить функцию /(/) на интервале Т конечным тригонометрическим полиномом

Действительно, так как каждая из п комплексных амплитуд Ск определяется двумя числами (как комплексная величина), то функция /(/) на интервале Т Определяется всего 2п = 2TFr .чис­ лами.

Таким образом, получается, что функция с ограниченным спектром Fr и конечной длительностью Т определяется 2TFr числами независимо от того, что представляют собой эти числа — мгновенные ли значения функции, отсчитанные через М, или спектральные коэффициенты разложения в ряд Фурье.

67