,Приложение 5
Преобразование Лапласа
Пусть имеется функция х(1), удовлетворяющая условиям:
1) |
х(1) = 0 при t < 0; |
2) |
можно подобрать такое с0, что при с > с0 |
I*| л (^) | e~ct dt < оо,
о
величина с0 называется абсциссой сходимости. Так, для случая
|
x(t) |
— 1 и x(t) |
=> sin at |
с0 = 0, так как |
|
|
|
j |
е~с[ dt < со и j |
| sin со11e~cl dt < |
oo |
|
|
о |
|
0 |
|
|
|
|
для |
всех значений с > |
0. |
|
|
|
|
|
Функция е? |
не имеет абсциссы сходимости, так как |
|
|
|
Iim e,3e~cl = |
lim et(t~c) — оо |
|
|
|
|
t -*■ оо |
t |
►м |
|
|
|
для всех вещественных значений с. |
* |
|
|
условиям |
1 и 2, то к ,x(t) |
|
Если функция x(t) |
удовлетворяет |
|
применимо преобразование Лапласа. |
|
|
|
|
|
1) |
|
л (() |
dt i |
|
|
где |
|
|
|
C-f-jco |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
= Щ |
I |
* (P) £pt dp . |
( 1) |
|
|
|
|
|
C—J® |
|
|
Функция x(p) комплексного переменного p называется преобразо ванием Лапласа.
Формула (1) называется формулой обращения для функции
х(р).
Формулй (1) в сокращенном виде записываются:
x{p) = L [л-(0];
x(t) = L~' [л* (/>)], или x{p)-^>x{t),
х(р) — называют изображением функции; х(() — называют оригиналом.
Преобразование Лапласа для простейших функций
1. Е д и н и ч н а я с т у п е н ч а т а я ф у- п к ц п я |
|
|
x(t) — 0 для I < 0, |
x(l) |
= I |
для t > 0 или х(() |
= [I]. |
Согласно формуле |
(66) ее изображение |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
<?-р‘ |
|
|
|
* < / » = ! |
dt = |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
П о к а з а т е л ь н а я ф у и к ц и я |
|
x(t) |
= e±al, где а > 0 — положительное вещественное число, тогда |
|
х (р ) = j e±al ■e~pl dt — j' e_(p+a)t dt = |
|
|
|
о |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
g - (p t-«)t |
|
|
1 |
|
|
|
|
P ~r ® |
|
p + a |
|
3. Т р и г о н о м е т р и ч е с к и e ф у н к ц и и |
|
|
x(t) — sin cot |
и |
x(t) = |
cosod. |
|
Представим их в виде показательной функции, для этого напи |
шем формулы Эйлера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g jr n t |
g — ju it |
cos <ot = |
g j i u t I g —j<ut |
, |
|
sin mt — ----- —----- ; |
------- ~------ |
тогда |
|
2J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A ' {p) ■ |
sin uite~p‘ |
dt = |
, |
g jlu t |
p —ju il |
|
|
l |
----- —----- g-p' dt = |
|
|
|
|
|
|
|
2/ |
|
|
|
g-(p-j<u)t |
|
g-(p+j™ )t |
2 |
< |
|
2/ |
|
yu |
|
|
|
|
|
|
eo |
|
|
|
eo |
gju,t |
I g - j« t |
|
|
x (p) = J |
cos iote~p‘ |
dt — J |
|
|
---- —------ e~Pl dt = |
|
о |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
e -(p-ju>)t |
|
g - |
(P |
l jiu)t |
|
|
|
|
p —jm |
|
P + h |
p2+ ш2 |
|
т. е.
— |
о) |
. . , |
р |
, |
;--- - |
—>Sin шГ, —^ |
---- |
-> COS cor . |
Р“ |
ИГ |
р- |
-|- Ш' |
|
4. П о к а з а т е л ь н а я ф у н к ц и я
* М = Т\е±Л-
Найдем для k = 1, т. е.
х( р ) = I teiale-Pl clt—— te
р+ а
t — u
|
1 |
е-(рт«)1 dt-- |
1 |
|
р + а |
{Р + «)3 |
|
|
|
d t — du |
|
|
e-(p+a;t d t = d v |
g - ( p + a )t |
v — -------—— , |
t . e. |
p + a |
|
1 |
-'> teLal . |
- (p + a)2 |
Проделав аналогичное интегрирование для степени k, |
получим |
|
|
1 |
• |
*k |
|
|
(р + a)k+‘ |
* |
k \ e ' ' |
|
|
|
Некоторые теоремы |
|
1. |
П р а в и л о д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я . |
|
Необходимо доказать, |
что |
|
|
|
' |
, |
Г d*x |
|
■ркх{р) |
( 2) |
|
L |
I F |
|
|
|
|
|
при нулевых начальных данных, т. е. |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
л-(0 = Ж |
|
|
"Р" С = 0 |
|
Согласно определению получим
|
|
|
|
|
ГО |
х(р) |
|
L | |'л' cit\ = j (Ц- dt) e~v{ dt — — е—^~ jx dt |
|
р |
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g-p‘ dt — dt |
e-pt |
|
|
|
|
|
v = -------- |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
ix dt = и |
х dt = da |
|
|
Повторным интегрированием получим (5). |
|
|
3. Т е о р е м а |
о |
ко н е ч и о м з и а ч е п и и о р и г и н ала. |
|
Теорема гласит: поведение оригинала па бесконечности опре |
|
деляется поведешием изображения в пуле, т. е. |
|
|
|
|
|
Иглх (t)— |
limрх {р}. |
|
|
|
|
|
t->oo |
р-Ч) |
|
|
Действительно, согласно формулам дифференцирования можно |
|
написать |
|
|
|
|
|
|
|
limГоо^ е - ? 1dt— |
\im[px(p) — х(0)], |
|
|
|
р —»о |
I |
|
р —►О |
|
|
но |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
со |
t |
|
|
f |
ш е~г' м = |
\ |
о |
°>!- |
|
о |
. < |
|
о |
|
|
Сравнивая оба выражения, полудим |
|
|
|
|
|
limx(£)= lim/?x(/>). |
|
|
|
|
|
t “+ со |
р —►О |
|
|
4. |
Т е о р е м а о н а ч а л ь н о м з н а ч е н и и о р и г и н а л а . |
|
Теорема гласит: поведение оригинала в нуле определяется по |
|
ведением изображения на бесконечности, т. е. |
|
|
|
|
|
lim х (t) — Мтрх (р) |
|
|
|
|
|
t-*0 |
р - * о о |
|
Согласно тем же формулам дифференцирования
lim I |
~~ е-Р‘ dt = 1im [рх (р) - |
х (0) | , |
р-*оо |
|
|
|
|
но |
|
|
|
|
lim |
dx |
e-pt eft — 0 п |
л" (0) = |
lim х (t). |
Р —►со |
dt |
|
|
t — о |
Подставляя оба эти значения, получим теорему
Пт л: (t) = Пт рх (р).
5. Т е о р е м а з а п а з д ы в а н и я . Согласно теореме
L [л-(£ — т)] — е-'Рх(р), где т = const.
По определению изображения
L [х (t — т)] = |
J х (t — т) е_Р' dt = |
^x{T)e~V+^vdt = |
|
о |
|
|
|
Т — t — т, |
d t — dT |
|
оо |
|
|
= |
е—* f л* (t) е-р‘ dt = |
е-'Рх (р). |
|
о |
|
|
6. Т е о р е м а р а з л о ж е н и я
Предположим, что изображение, соответствующее искомому оригиналу x(t), представляет собой дробнорациональную функ цию
х{р)
А(р) D ( р )'
причем степень А(р) по крайней мере на единицу меньше степени полинома D{p).
1-й случай. Пусть уравнение D(p) = 0 не содержит кратных корней. Тогда х(р) можно разложить на простейшие дроби.
Пусть |
D{p) = ( p —p x) . |
. . ( р —р а) |
|
|
|
|
|
х(р) |
|
|
y i |
' |
( 6) |
р - р |
. + Р - Р п |
Р — РЪ |
Оригинал |
изображения будет |
к=1 |
|
|
|
|
|
|
х (t) = |
2^квРк1, |
|
|
|
|
к=1 |
|
|
|
где рк — корни уравнения D{p) = 0 , |
называемого характеристиче |
ским, если считать р как обычную переменную. Для нахождения
коэффициентов |
ск умножим уравнение (71) на {р — р к), тогда |
( Н |
р |
- |
н ы, ) = У -)М |
7) р>)= с Ар |
р ~р ур ' } + |
• • • |
х р |
|
р |
р£ ) ( ^ |
|
— |
|
|
|
|
Ск (Р — Рк) |
• . • + |
Сп (Р~Рк) |
|
|
|
Р ~ Р к |
|
Р ~ Р п |
|
Положив теперь р —рк, найдем |
|
|
|
|
|
|
|
Л {р ){ р— Рк) |
|
Ск=[х{р) {Р~Рк)\Р = Р к = |
D(P) |
jp=pk |
Окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X(t) = |
^ \ Х(Р){Р-Рк)\P=PkgPk‘ |
(7) |
|
|
|
|
k=l |
|
|
|
2-й случай. Пусть теперь |
уравнение D(p) = 0 |
содержит крат |
ные корни, т. е. |
|
|
|
|
|
|
_. |
_ |
|
А (р)______ ■ |
(8) |
|
Л{р’ ~ (p -P iY ip —Р2 ) • • |
|
|
А р —рп -д ' |
Разложим выражение (8) на простейшие дроби |
|
|
|
|
|
'12 |
|
С1 х |
х(р) = ( p - P i Y + ( р— р i) ~1 + • • • + i p ^ P i ) + |
|
|
|
, |
Со |
|
Сп—х |
(9) |
|
|
|
Л р — Рз) + |
(р — />„-*) |
Коэффициенты с2, с3........ |
находятся |
как |
и |
для |
случая |
некратных корней. Коэффициенты с1Ь с)2........ . |
сц |
определяются |
следующим |
образом: умножая обе части |
выражения |
(9) |
на |
(Р — Pi)* п |
полагая затем р = Рь получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (Р) (Р — Р\У |
|
|
|
|
(Ю) |
|
|
D(p) |
|
|
|
|
|
|
р = р . |
|
|
|
|
|
Для нахождения Що умножим обе части (9) па |
(р — Pi)* |
и |
возьмем производную по р |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
A jp ) j p — piY |
сvi + |
2с,3(р —Pi) |
I- • |
• |
• |
|
|
dp |
D(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
, |
|
СО |
|
+ • |
• • |
|
|
|
|
|
р - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп—г
+
P — P n - X
и при p = pi все члены, за исключением С[2, обратятся в нуль, т. е.
|
С12 — |
|
|
iP ~ Рi)x |
p=pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналогично можно получить, что |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
1- |
|
§ p = ; x iP ) iP - P x Y |
|
|
( г - 1 )! |
|
|
|
|
Jp=Pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
\ |
L~l ' |
1 |
|
р - 1 |
ер»4 |
|
|
(p—PiY |
( i - l ) ! |
|
|
|
окончательно получим. |
|
|
|
|
|
|
|
dk~l |
|
^-к |
еР‘‘ + |
|
к~\ |
фк— х ( р ) ( Р - р 1У |
p=pi (Г=1)Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
^ [х (А)]р=ркеРк ' |
|
(11) |
|
|
к = 2 |
|
|
|
|
П р и м е р ы. 1. Пусть дано уравнение
d'x |
. d2x |
. |
_ dx |
W |
* т |
+ |
5 Ж |
при нулевых начальных условиях. Переходя к изображениям, найдем
(Ря+ 4р2 + 5р) х (р ) — — ,
откуда
|
|
|
|
Л ^ ~ р - {р- + 4р + 5) |
|
|
|
Корни |
характеристического |
уравнения будут |
р {= 0; Р2,з — |
= — 2 ± у. |
|
|
|
|
|
|
(11), найдем |
|
|
Воспользовавшись формулой |
|
|
x(t) |
|
1 |
25 |
|
зу |
4_j:jyg-(2+j)t_ |
|
|
|
|
|
|
50 |
|
50 |
|
|
Приведя к синусно-косинусному решению, окончательно полу |
чим |
|
x(t) = |
0,2t - |
|
0,16 + |
0,16 cos t -|- 0,12 sin t. |
|
|
|
|
|
2. Рассмотрим влияние синусоидального сигнала на динамиче |
скую систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
, dnx . |
|
. |
, |
dx |
. |
, |
dmy . |
. |
dy |
■ |
* 0 w 7 F + - |
• |
• + |
b |
n - i |
+ |
Ь п Х — |
Яо^ГрйГ + • |
• • + |
й ш - 1 ^ - + |
А т У , |
dtn |
|
|
|
|
|
|
'dta |
|
|
|
(*)
где
■A nsin шt.
Решение уравнения x{t) складывается из суммы двух решений: 1) общее решение однородного уравнения, характеризующее сво бодное движение системы, или, как его называют, переходный процесс; 2) частное решение неоднородного уравнения, которое характеризует установившееся вынужденное движение системы, т. е. движенше при t -» со
X ( t ) — X (^)пер \~ |
(^)устэ |
х (£)„ер— общее решение однородного'уравнения; Л"(0уст— частное решение неоднородного уравнения.
Для устойчивых систем л'(/)пСр->0 |
переходный процесс за- |
t—'*■(»
тухает.
Найдем установившееся движение системы. Переходя к изо бражениям в уравнении (*) получим
А (р) Л0<о
х{р) =
D (/О (Р1+ 1|)')
где
D(p) = b0p* + . . . + Ь п]
Л (р) = а0рт4- . ... + ат.
Применяя теорему разложения, найдем
п + 2
|
|
А ( р) А0ш ( р — рк) |
|
ерк‘ |
|
|
|
D{p)(p* + **) |
|
|
к=1 |
|
|
р=рк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделив решение, |
получим |
|
|
x(t) |
|
' А (р) Л0и>(р ■А)' |
+ |
Цк |
[ : |
D (р) (р- + и»2) |
|
|
Jp = p k |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
п + 2 |
А ( Р ) А 0а>(р—р к) |
|
|
|
|
|
Рк‘ _ |
|
|
D (р) {р- + ®2) |
|
|
к=п+1 |
|
|
|
|
|
|
|
Корни уравнения |
р2 + со2 = 0 будут |
|
рп+1 = /о>, р п+2= — /V |
Переходный процесс определяется корнями характеристического уравнения системы р i, р2, . . . . р„. Вынужденное движение систе мы определяется корнями характеристического уравнения вынуж дающей функции, т. е. ± /ш. Тогда
|
х (t)у СТ Ао |
А С/со) gjmt |
л (~ УШ) g-juit |
|
2У D (у'ш) |
0 ( - у ш) |
Обозначим |
|
|
Л (Уш) |
= и (ш) + j v |
(о>), тогда |
Л (—У">) |
D (У«а) |
|
|
D (—Уш) = « (“») -У® Н , |
