Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

11.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3936 37 38 39 > Следующая >>>

Необходимо определить наличие и параметры автоколебаний, а по последним уже можно определить и качественные показатели системы. I

Для объекта регулирования, имеющего статическую характе

ристику ср =	= — kpi2 (если за вход считать ц), гармониче
ские коэффициенты будут
	q (а2) — ---- —	Гka22sin2 a sin 2 и dn = 0 .
	ЪС10	Г

sin 2и взят потому, что на выходе первая гармоника имеет удво енную частоту по сравнению с частотой первой гармоники входной величины

	2		К	ka2
<7i (flg) =	2		J ka2- sin2 и cos 2u du.	ka2
<7i (flg) =	■л:Cl2		о	~Y '
Тогда			о
Тогда			i
			i
	^ 2	(H-l> = 4\ (a2)PPlCO

Постоянная составляющая разложения может быть опущена, так как она отфильтровывается в датчике показателя экстремума.

Работа управляющего' устройства (элемента логического дей ствия ЭЛД) в случае, когда используется производная от показа теля' экстремума, может быть проиллюстрирована следующим об разом.

На рис. 202,а изображена статическая характеристика объекта; вниз по вертикальной оси отложен график р,(/) (пилообразная кри вая). Переключение происходит при увеличении р в точке Qi, а

при.уменьшении р в точке Ь\. В обеих точках производная ^ < 0

и имеет некоторое абсолютное значение х- На рис. 2 0 2 , 6 построен

график показателя .экстремума ср, производной — во времени и

показаны точки переключения		и Ьх.
График переключений^- совместно с графиком				показан
на рис. 2 0 2 ,с.
Из приведенных графиков видно, что ср и ^2-			имеют удвоенную
частоту по сравнению с р и	dp.	Потеря на	рысканье	D может
	dt

быть определена из графика ср(/), если на нем выделить постоян ную составляющую, которая по величине и равна D.

т 351

(Г,у2ш-Ь 1) (Т'а/ш + 1)

Для элемента логического действия гармонические коэффи циенты можно найти по следующим формулам:

2		С k0sin п cin		4k - cos о. ,
яО				ЯО,
где а — arcsin — , k0 — абсолютное значение						^
						dt '
Ч\ (ai) = яа.		k ncos и da ■		4k0		sin a,
Ч\ (ai) = яа.		k ncos и da ■		яa,		sin a,
откуда
F\ («Д =		{cos a -(- p ~			sin
	яоу ^		1 r 2 o)
Передаточные функции		линейных	звеньев:

Эквивалентное характеристическое уравнение всей системы

Подставив вместо р = 2 /ш в Fь Wx и р = /ш в F2, W2, получим

Д, (аи 2jw) W 1(2 у'(о) Fo (а2, уш) W2(_/«>) -f 1 = О

-или же, воспользовавшись выведенными зависимостями, найдем

4kpka2 cos а -]гу sin a

1 = 0 .

Разделив мнимую и вещественную части после ряда преобразо

ваний, получим два уравнения:
АЬ Ьп	[(1 - иРГ, Т2) COS a + ш (2Г, +		Гг) Sin a] ~f
яд	[(1 - иРГ, Т2) COS a + ш (2Г, +		Гг) Sin a] ~f
яд
		+ (4Г1 2 ш2 + 1 ) ( Т 2 2 а>2 + l) = 0;
4^рka2			(*)
4^рka2	[ ( 1	— (ОгТ1Т2) sina — О) (2 Г, + Г2) cosa] = 0 .
яд.	[ ( 1	— (ОгТ1Т2) sina — О) (2 Г, + Г2) cosa] = 0 .
яд.
Амплитуду 0 2		можно выразить через оь воспользовавшись за
висимостью разомкнутой цепи:
		A h	1
а2= Oj \| F\ (2 » а,) \| • \| Ж2 (уш) \| =

>1 / ДУш2 + 1

352

После подстановки выражения для а2 в уравнение свободных ' колебаний (*) получим:

4£„	1	Ш	— <о2Г, Т2) cos ос -}- ш (2 Tl -\|- Т2) sin a] -f-
it ш /	ТЛо2- f 1	£ [0	— <о2Г, Т2) cos ос -}- ш (2 Tl -\|- Т2) sin a] -f-
it ш /	ТЛо2- f 1
		-\|-<4ria« D 2 + l ) ( W + l ) = 0;
4АР ______ 1_____		4kkp	— w2r, Т, ) sin а — to ( 2 Г, -f Т.,) cos а] = 0 .
ш	7Y2<o2 -\|- 1	'KCly [(1	— w2r, Т, ) sin а — to ( 2 Г, -f Т.,) cos а] = 0 .
Решив оба уравнения, найдем амплитуду ал и частоту со. Если
нас интересует влияние какого-либо параметра системы				на	пара-
" метры	автоколебаний, то		можно построить зависимость	со,	ах, а2-
от этого параметра.					,

■Можно рекомендовать несколько более простой прием. Опре делив со и а|, можно найти'основной показатель качества в устано вившемся режиме — потерю на рысканье по формуле

D = а, | (а,) | • | W , (у«о) |• | F, (а,) |.

Расчет тем точней, чем сильней неравенство соТ2 ~> 1.

со					Приложение 1
СЛ
				Таблица величин		— P\og2P
р	0	1	2	3	4	5	6 '	7	8	9
о^о		0,0100	0,0179	0,0251	0,0319	0,0382	0,0443	0,0501	0,0557	0,0612
о'01	0 0664	0,0716	0,0766	0,0815	0,0862	0,0909	0,0955	0,0999	0,1043	0,1086
q*q2	0 1129	0’1170	0,1211	• 0,1252	0,1291	0,1330	0,1369	0,1407	0,1444	0,1481
о’оз	0 1518	0,1554	0,1589	0,1624	0,1659	0,1693	0,1727	0,1760	0,1793	0,1825
004	0,1858	0,1889	0,1921	0,1952	0,1983	0,2013	0,2043	0,2073	и,2103	0,2132
о\|о5	0 2161	0’2190	0,2218	0,2246	0,2274	0,2301	0,2329	0,2356	0,2383	0,2409
0 06	02435	0,2461	0,2487	0,2513	0,2538	0,2563	0,2588	0,2613	0,2637	0,2661
0 07	0 2686	0,2709	0,2733	0,2756	0,2780	0,2803	0,2826	0,2848	0,2871	0,2893
п7)Я	0 2915	0,2937	0,2959	0,2980	0,3002	0,3023	0,3044	0,3065	0,3086	0,3106
0 09	0 3127	0,3147	0,3167	0,3187	0,3207	0,3226	0,3246	0,3265	0,3284	0,3303
0 in	0 3322	0,3341	0,3359	0,3378	0,3396	0,3414	0,3432	0,3450	0,3468	0,3485
01 i	0 3503	0,3520	0,3537	0,3555	0,3571	0,3588	0,3605	0,3622	0,3638	0,3654
■f) 19	0,3671	0,3687	0,3703	0,3719	0,3734	0,3750	0,3766	0,3781	0,3796	0,3811
n'l-Я	03826	0,3841	0,3856	0,3871	0,3886	0,3900	• 0,3915	0,3929	0,3943	0,3957
n’i4	0,3971	0,3985	0,3999	0,4012	0,4026	0,4040	0,4053 .	0,4066	0,4079	0,4092
0Д5	0 4105	0,4118	0,4131	0,4144	0,4156	0,4169	. 0,4181	0,4194 •	0,4206	0,4218
0 16	0,4230	0,4242	0,4254	0,4266	0,4277	0,4289	0,4301	0,4312	0,4323	0,4335
0 17	0,4346	0,4357	0,4368	0,4379	0,4390	0,4400	0,4411	0,4422	0,4432	0,4443
018	о’4453	0,4463	0,4474	0,4484	0,4494	0,4504	0,4514	0,4523	0,4533	0,4543
0 19	0,4552	0,4562	0,4571	0,4581	0,4590	0,4599	0,4608	0,4617	0,4626	0,4635
0 20	0,4644	0,4653	0,4661	0,4670	0,4678	0,4687	0,4695	0,4704	0,4712	0,4720
0^21	0 4728	0,4736	0,4744	0,4752	0,4760	•0,4768	0,4776	0,4783	0,4791	0,4798
022	0,4806	" 0,4813	0,4820	0,4828	0,4835	0,4842	0,4849	0,4856	0,4863	0,4870
0 23	0Д877	0,4883	0,4890	0,4897	0,4903	0,4910	0,4916	0,4923	0,4949	0,4935
0 24	0 4941	0,4947	0,4954	0,4960	0,4966	0,4971	0,4977	0,4983	0,4989	0,4994
o'25	О’бООО	0,5006	0,5011	0,5016	0,5022	0,5027	0,5032	0,5038	0,5043	0,5048
0 26	05053	0,5008	0,5063	0,5068	0,5072	0,5077	0,5082	0,5087	0,5091	0,5096
0 27	0,5100	0,5105	0,5109	0,5113	0,5118	0,5122	0,5126	0,5130	0,5134	0,5138
0 28	0^5142	0,5146	0,5150	0,5154	0,5158	0,5161	0,5165	0,5169	0,5172	0,5176
0\|29	0,5179	0,5182	0,5186	0,5189	' 0,5192	0,5196	0,5199	0,5202	0,5205	0,5208

Продолжение

	р	0		1	2	3	4	5	6	7	8	9
	0,30	0,5211		0,5214	0,5217	0,5220	0,5222	0,5225	0,5228	0,5230	0,5233	0,5235
	0,31	0,5238		0,5240	0,5243	0,5245	0,5247	0,5250	0,5252	0,5254	0,5256	0,5258
	0,32	0,5260		0,5262	0,5264	0,5266	0,5268	0,5270	0,5272	0,5273	0,5275	0,5277
	0,33	0,5278		0,5280	0,5281	0,5283	0,5284	0,5286	0,5287	0,5288	0,5289	0,5290
	0,34	0,5292		0,5293	0,5294	0,5295	0,5296	0,5297	0,5298	0,5299	0,5299	0,5300
	0,35	0,5301		0,5302	0,5302	0,5303	0,5304	0,5304	0,5305	0,5305	0,5305	0,5306
	0,36	0,5306		0,5306	0,5307	0,5307	0,5307	0,5307	0,5307	0,5307	0,5307	0,5307
	0,37	0,5307		0,5307	0,5307	0,5307	0,5307	0,5306	0,5306	0,5306	0,5305	0,5305
	0,38	0,5304		0,5304	0,5303	0,5303	0,5302	0,5302	0,5301	0,5300	0,5300	0,5299
	0,39	0,5298		0,5997	0,5296	0,5295	0,5294	0,5293	0,5292	0,5291	0,5290	0,5289
	0,40	0,5288		0,5286	0,5285	0,5284	0,5283	0,5281	0,5280	0,5278	0,5277	0,5275
	0,41	0,5274		0,5272	0,5271	0,5269	0,5267	0,5266	0,5264	0,5262	0,5260	0,5258
	0,42	0,5256		0,5255	0,5253	0,5251	0,5249	0,5246	0,5244	0,5242	0,5240	0,5238
	0,43	0,5236		0,5233	0,5231	0,5229	0,5226	0,5224	0,5222	0,5219	0,5217	0,5214
'	0,44	0,5211		0,5209	0,5206	0,5204	0,5201	0,5198	0,5195	0,5193	0,5190	0,5187
'	0,45	0,5184		0,5181	0,5178	0,5175	0,5172	0,5169	0,5166	0,5163	0,5160	0,5157
	0,46	0,5153		0,5150	0,5147	0,5144	0,5140	0,5137	0,5133	0,5130	0,5127	0,5123
	0,47	0,5120		0,5116	0,5112	0,5109	0,5105	0,5102	0,5098	0,5094	0,5090	0,5087
	0,48	0,5083	■	0,5079	0,5075	0,5071	0,5067	0,5063	0,5059	0,5055	0,5051	0,5047
	0,49	0,5043	■	0,5039	0,5034	0,5030	0,5026	0,5022	0,5017	0,5013	0,5009	0,5004
	0,50	0,5000		0,4996	0,4991	0,4987	0,4982	0,4978	0,4973	0,4968	0,4964	0,4959
	0,51	0,4954		0,4950	0,4945	0,4940	0,4935	0,4930	0,4926	0,4921	0,4916	0,4911
	0,52	0,4906		0,4901	0,4896	0,4891	0,4886	0,4880	0,4875	0,4870	0,4865	0,4860
	0,53	0,4854		0,4849	0,4844	0,4839	0,4833	0,4828	0,4822	0,4817	0,4811	0,4806
	0,54	0,4800		0,4795	0,4789	0,4784	0,4778	0,4772	0,4767	0,4761	0,4755	0,4750
	0,55	0,4744		0,4738	0,4732	0,4726	0,4720	0,4714	0,4708	0,4702	0,4697	0,4691
	0,56	0,4684		0,4678	0,4672	0,4666	0,4660	0,4654	0,4648	0,4641	0,4635	0,4629
	0,57	0,4623		0,4616	0,4610	0,4603	0,4597	0,4591	0,4584	0,4578	0,4571	0,4565
	0,58	0,4558		0,4551	0,4545	0,4538	0,4532	0,4525	0,4518	0,4512	0,4505	0,4498
	0,59	0,4491		0,4484	0,4477	0,4471	0,4464	0,4457	0,4450	0,4443	0,4436	0,4429
	0,60	0,4422		0,4415	0,4408	0,4401	0,4393	0,4386	0,4379	0,4373	0,4365	0,4357
	0,61	0,4350		0,4343	0,4335	0,4328	0,4321	0,4313	0,4306	0,4298	0,4291	0,4283

ы	Продолжение

р		0	1	2	3	4	5	6	7 ■	8	9
0,62		0,4276	0,4268	0,4261	0,4253	0,4246	0,4238	0,4230	0,4223	0,4215	0,4207
0,63		0,4199	0,4192	0,4184	0,4176	0,4168	0,4160	0,4153	0,4145	0,4137	0,4129
0,64		0,4121	0,4113	0,4105	0,4097	0,4089	0,4080	0,4072	0,4064	0,4056	0,4048
0,65		0,4040	0,4032	0,4023	0,4015	0,4007	0,3998	0,3990	0,3982	0,3973	0,3965
0,66		0,3957	0,3948	0,3940	0,3931	0,3922	0,3914	0,3905	0,3897	0,3888	0,3880
0,67		0,3871	0,3862	0,3854	0,3845	0,3836	0,3828	0,3819	•0,3810	0,3801	0,3792
0,68		0,3784	0,3775	0,3766	0,3757	0,3748	0,3739	0,3730	0,3721	0,3712	0,3703
0,69		0,3694	0,3685	0,3676	0,3666	0,3657	0,3648	0,3639	0,3630	0,3621	0,3611
0,70		0,3602	0,3593	0,3583	0,3574	0,3565	0,3555	0,3546	0,3536	0,3527	0,3618
0,71		0,3508	0,3499	0,3489	0,3480	0,3470	0,3461	0,3451	0,3441	0,3432	0,3422
0,72		0,3412	0,3403	0,3393	0,3383	0,3373	0,3364	0,3354	0,3344	0,3334	0,3324
0,73		0,3314	0,3304	0,3295	0,3285	0,3275	0,3265	0,3255	0,3245	0,3235	0,3225
0,74		0,3215	0,3204	0,3194	0,3184	0,3174	0,3164	0,3154	0,3144	0,3133	0,3123
0,75		0,3113	0,3103	0,3092	0,3082	0,3071	0,3061	0,3051	0,3040	0,3030	0,3019
0,76		0,3009	0,2999	0,2988	0,2978	0,2967	0,2956	0.2946	0,2935	0,2925	0,2914
0,77		0,2903	0,2893	0,2882	0,2871	0,2861	0,2850	0,2339	0,2828	0,2818	0,2807
0,78		0,2796	0,2785	0,2774	0,2763	0,2753	0,2741	0,2731	0,2720	0,2709	0,2698
0,79	■	0,2687	0,2676	0,2664	0,2653	0,2642	0,2631	0,2620	0,2609	0,2598	0,2587
0,80	■	0,2575	0,2564	0,2553	0,2542	0,2531	0,2519	0,2508	0,2497	0,2485	0,2474
0,81		0,2462	0,2451	0,2440	0,2428	0,2417	0,2405	0,2394	0,2382	0,2371	0,2359
0,82		0,2348	0,2335	0,2324	0,2313	0,2301	0,2290	0,2278	0,2266	0,2255	0,2243
0,83		0,2231	0,2220	0,2208	0,2196	0,2184	0,2172	0,2160	0,2149	0,2137	0,2125
0,84		0,2113	0,2101	0,2089	0,2077	0,2065	0,2053	0,2041	0,2029	0,2017	0,2005
0,85	.	0,1993	0,1981	0,1969	0,1957	0,1944	0,1932	0,1920	0,1908	0,1896	0,1884
0,86	.	0,1871	0,1859	0,1847	0,1834	0,1822	0,1810	0,1797	0,1785	0,1773	0,1760
0,87	.	0,1748	0,1735	0,1723	0,1711	0,1698	0,1686	0,1673	0,1661	0,1648	0,1635
0,88		0,1623	0,1610	0,1598	0,1585	0,1572	0,1560	0,1547	0,1534	0,1522	0,1509
0,89		0,1496	0,1484	0,1471	0,1458	0,1445	0,1432	0,1419	0,1407	0,1394	0,1381
0,90		0,1368	■0,1355	0,1342	0,1329	0,1316	0,1303	0,1290	0,1277	0,1264	0,1251
0,91		0,1238	' 0,1225	0,1212	0,1199	0,1186	0,1173	0,1159	0,1146	0,1133	0,1120
0,92		0,1107	0,1094	0,1080	0,1067	0,1054	0,1040	0,1027	0,1014	0,1000	0,0987
0,93		0,0974	0,0960	0,0947	0,0933	0,0920	0,0907	0,0893	0,0880	0,0866	0,0853

Продолжение

р	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,94	0,0839	0,0826	0,0812	0,0798	0,0785	0,0771	0,0759	0,0744	0,0730	0,0717
0,95	0,0703	0,0689	0,0676	0,0662	0,0648	. 0,0634	0,0621	0,0607	0,0593	0,0579
- 0,96	0,0565	0,0552	0,0538	0,0524	0,0510	у 0,0496	0,0482	0,0468	0,0454	0,0440
0,97	0,0426	0,0412	0,0398	0,0384	0,0370	0,0356	0,0342	0,0328	0,0314	0,0300
0,98	00286	0,0271	0,0257	0,0243	0,0230	0,0214	0,0201	0,0186	0,0172	0,0158
0,99	0,0140	0,0129	0,0115	0,0101	0,0086	0,0072	0,0058	0,0043	0,0029	0,0014

СОЛ

П ри л о ж ен и е 2

Пример использования формулы

М ( Т - ) = Л 1 ( Г - /,)	+ M ( T - i n )	+ .. . + А Ц Г - t m)
для нахождения числа	возможных	сообщении длительности Т

При использовании формулы для практических расчетов сле дует придерживаться правила: все слагаемые правой части с от рицательным аргументом заменяются пулями, все равные нулю слагаемые с положительным аргументом (включая 0) заменяют ся единицами.

Пусть алфавит кода состоит из трех символов А и А2, А3. Дли тельности симводов равны: 11 = 2, /2 = 3, iA= б. Требуется найти число возможных сообщений, составленных из этих символов, дли тельностью Т = 1, 2, 3, 4, 5, 6 н т. д.

Решение:
М(1) = М(— 1) + M i -			2) + А Ц - 5)	= 0	+ 0		+	0	=	0
М{ 2)	= М(0)	+ M i — 1) + ЛЦ— 4)		= 1 + 0			+	0	=	1
М (3) = М(1)		+ М(0)	+ M i - 3)	= 1 +		1 +		0 =		2
М (4)	= М (2)	+ М( 1)	+ M i — 2)	= 1 +		1 +		0	=	2
Af(5) = М(3)		+ М{ 2)	+ M i — 1) = 2		+	1 +		0	=	3
М (6)	= М (4)	+ Л*(3)	+ М (0)	= 2	+	2	+	1 =		5
М(6)	= М (4)	+ М(3)	+ Af(0)	= 2	+ 2		+	1 =		5
. д.

Приложение 3

Решение линейных уравнений в конечных разностях

Пусть дано линейное уравнение в конечных разностях с по стоянными коэффициентами относительно функции у{1)

y(t-\-2) = ay(t + \)-\-by{t),

(1)

Запишем решение этого уравнения для целочисленных момен тов времени в виде

	y W - C . / Y + CVs1	(2)
где /'\|	и г2 суть корни уравнения
	г' — аг — Ъ — 0,	(3)
Ci	и С2 — произвольные постоянные.

Для того чтобы показать, что (2) есть решение (1), достаточно его подставить в (1).

3 5 8 ■

Согласно (2),

	v			C^r\+2 - f	C,/'2+2;	(4)
	y ( ^ + l )		=	C1/-l+I +	Q '2 +l.	(5)
Подставляя	(2), (4)	и (5)	в	(1), получим
y ( t +	2 ) - a y ( t + \ ) - b y (t) =- C,r,‘ [/-,= - or, -					b] +
	+	С2Г211Г22-- аГ2— 6] = 0.				(6)

Если r| h /2 — корни уравнения (3), то правая часть (6) обра щается в пуль при любых Значениях С\ и С2. Следовательно, (2) есть решение уравнения (1).

Приложение 4

Энтропия на выходе линейного фильтра

Теорема: Если ансамбль, имеющий энтропию на степень сво боды h в полосе частот Fг, пропускается через линейный фильтр с характеристикой передачи Y(f), то ансамбль на выходе фильтра имеет энтропию на степень свободы, равную .

При доказательстве теоремы ■Котельникова мы показали, что функция конечной длительности с ограниченным спектром с рав ным успехом может быть представлена как ее мгновенными значе ниями в точках отсчета, так и спектральными коэффициентами разложения ее в ряд Фурье.

Для доказательства сформулированной выше теоремы восполь зуемся представлением функции в виде спектра.

Пусть значения функции в точках отсчета на входе фильтра равны

Хи У11	ЗЕ>! ■ • ■J * * T F r , ) ' T F r I
а па выходе
где х — вещественные	составляющие спектральных коэффициен

тов разложения; у — мнимые составляющие.

359

Пусть, кроме того,
Тогда	Y(f) = (H f) + jS { f) .		(1)
Тогда
x \' =	G(f\)X\ -5 (/,)> » ,;
y x = S ( f l) x l -k-Q(fl) y l -
xTFr — G (/TFr) л'Трг		5 (/Tpr) yTpr ;
) ( T F r	1- >' C / t F , . ) ^ T F r +	G ( / T F r ) ^ T F r '

Равенства (2)		выражают линейное преобразование от перемен
ных х,	у к переменным х', у'. Следовательно,						можно записать:
		о (A)	- S ( A )		0		0	. . .
		S(A)	'O(A)		0		0	. . .
Н,	= Я + 1 п	0	0		G(A) - S ( A )			•	■ •
Н,	= Я + 1 п	0	0		S(A)	G(A)		•	• •
		0	0		S(A)	G(A)		•	• •
		T F „			T F „
	= Я +	In П I ^(Л ) I2 -			Я -}- V	In I K (/k) р				(3)
		k = l			i S	l
Если TFr^> 1,		то отдельные значения [k					близки друг к другу
и распределены в полосе Fr равномерно,						тогда
T F	r	T F r				p	r
2	I" I Y(A) I2 = T V		in \| Y ( f k) \ 4 f ^			Г f In \| Y(f) P d f,				(4) '
k = l		k = l				о
где
Таким	образом,		*f =	Y - -						(5)
Таким	образом,
				F r
		Я 1 =	Я + 7	’ \| 1 п [ К ( / ) ] ^ /						(6)
		.А, = А +^1- ГIn [ Y (f)\2d f .								(7)
				о

360

<<< < Предыдущая 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3536 / 3936 37 38 39 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ