книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

Абсолютная инвариантность

риантности будет условие А и = 0. В этом случае, если начальные условия не нулевые, то в системе возникают собственные колеба­ ния.

(рис. 137, где П — платформа; Г — гиротахометр; УС — усилитель; ПМ — пневТиомашина; ММ — моментная муфта). В качестве чувст­ вительного элемента используется гиротахометр, и возмущающий момент, действующий на платформу, измеряется моментной муф­ той на валу исполнительного привода.

Уравнение платформы запишется в виде

1 р Ц + М я= М в, ч

где / — момент инерции, приведенный к валу двигателя; Мд— момент двигателя; Мв— возмущающий момент;

^ — угол поворота платформы.

К,- Tn X— коэффициент усиления, постоянная времени и пока­ затель колебательности гиротахометра.

Уравнение двигателя (пневмомашина) по Моменту

( Т ' д / ? — | — 1 ) М д = & д [ £ + А м ( / 7 ) М в ] ,

где 7"д, ka — постоянная времени и коэффициент усиления дви­ гателя;

К ( р ) — оператор преобразования возмущающего момента.

281

Ьъ = К к л (р).

Блок-схема системы показана на рис. 138. Так как

то условием полной инвариантности координаты яр по отношению к возмущающему моменту М в будет

' При выполнении (*) будут выполнены условия полной инвари­ антности.

Покажем, что при учете начальных условий система будет со­ вершать свободное движение. Для этого в систему уравнений (252) введем начальные условия, воспользовавшись теоремой дифференцирования. Пусть

ф(0)= ф0; ф(0)= лгд(о)= £■(0)= о.

— к,лЕ -f- {Тйр -f 1) M A— kAkN{р) М в (р).

282

Разрешив эту систему относительно координаты \|), найдем

Оригинал полученного изображения и будет решением систе­ мы при ненулевых начальных условиях.

§68. СЕЛЕКТИВНАЯ (ИЗБИРАТЕЛЬНАЯ) ИНВАРИАНТНОСТЬ

ЙНЕПОЛНАЯ С ТОЧНОСТЬЮ ДО £

Селективная, или избирательная инвариантность

На основании теорем Н. Н. Лузина об абсолютной инвариант­ ности Кулебакиным было доказано, что в многоконтурной систе­ ме, находящейся под одновременным воздействием нескольких возмущений, уравнение которой

образом, чтобы любая координата х х была независимой от одного

ап\Х\Л- аа2Х2~\~ • • • I ^пп-^п— О,

* Б. Н, Петровым было показано, что если система упорядочена (см. § 69), то условие избирательной инвариантности реализуется для случаев, когда ii=k.

283

где функция f(t) имеет все производные, ограниченные по модулю, т. е. |/ i (k) (t) I < М для всех k. Обозначим через Я (высота)'вели­ чину самого большого коэффициента полинома Лц(р). Тогда част­ ное решение по координате х х можно ограничить, т.' е.

|х , { t ) \ <c HM,

где с — численная постоянная, зависящая от коэффициентов поли­

М * , М ?, М° — коэффициенты моментов демпфирования, восстанавливающего и руля соответственно;

ф— угол рыскания; (3— угол скольжения;

о— угол руля;

Мв, / в — возмущающие момент и сила. Уравнение регулятора (автопилота)

Л3(р)^+ ЛФ(/7)ф + (7’/74-1)3= 0,

Структурная схема системы показана на'рис. 139.

Условием избирательной инвариантности угла скольжения от силы /„ будет условие

ности

= als(a2la32 — а22а31) = m vp {(Тр-\-\)М? — А$ ( р ) М6\

вырождается до второго порядка. ^

Рис. 139

Условием избирательной инвариантности координаты ф по от­

не вырождается.

285

Из полученных выражений видно, что одновременное выполне­ ние обоих условий (254) и (255) невозможно, так, как определи­ тель системы вырождается полностью.

\

§ 69. РЕАЛИЗУЕМОСТЬ УСЛОВИЙ ИНВАРИАНТНОСТИ

При рассмотрении инвариантных систем возникает вопрос, во всех ли случаях могут быть реализованы условия инвариантности.

Для того чтобы показать условия реализуемости, будем исхо­ дить из следующего.

Если в системе реализованы условия инвариантности одной из переменных Лф определяющих ее поведение по отношению к не­ которому внешнему возмущающему Ьоздействию /,■ (t), то при отсутствии других возмущающих воздействий и при нулевых на­ чальных условиях эта переменная х j будет тождественным нулем, а следовательно, воздействия этой переменной на другие обобщен-, ные координаты системы будут отсутствовать, несмотря на нали­ чие в системе связей, которые при изменении этой величины в других случаях будут передавать такие воздействия. Это соответ­ ствует размыканию системы по координате Xj (для систем с на­ правленными воздействиями).

Допустим, что система дифференциальных уравнений упоря­ дочена, т. е. в ней операторы, имеющие одинаковые индексы — собственные операторы, и условия инвариантности координаты x'i выполнены по отношению к функцииД (р), тогда систему уравне­ ний можно записать:

О■ "Т ®ПП-*'П == fn-

Впервом столбце поставлены нули за исключением первой строки, так как условия инвариантности выполнены, и координа­

та Ху не влияет на другие уравнения. Тогда передаточная функция

вого столбца и г-й строки.

В числителе передаточной функции Фц (р ) всегда стоит .минор, тождественно равный нулю при выполнении условий инвариант­ ности, т. е. Дц==0.

286

Представляет интерес рассмотреть два случая:

1 ) / = 1 ;

2 ) i Ф 1 .

1случай.

i= 1 , тогда определитель разомкнутой системы

Dp{p) = a\ibn = 0 , так как « п =£0, а Ди = 0 ,

т. е. система становится особенной, так как главный определитель системы равен нулю.

В разомкнутой же системе х, Ф0, как это получаемся в замк­

т. е. мы имеем противоречие.

При выполнении условий инвариантности система эквивалентна разомкнутой, так как х х===0 , а в разомкнутой системе х\ Ф 0 : сле­ довательно, такую систему реализовать не представляется воз­ можным. Возможно только выполнение инвариантности до е.

2случай.

iф 1 , тогда

при этом при выполнении условий инвариантности

Дп = 0, а Д ц # 0 и Dp(p) ф 0.

Таким образом, координата х х = 0 как в разомкнутой, так и в замкнутой системе; следовательно, такую систему можно реали­ зовать.

Для того чтобы можно было выполнить условия инвариантно­ сти выбором параметров системы, т. е. выбором значений опера­ торов аа-, минор инвариантности должен представлять собой, раз­ ность по меньшей мере двух выражений, составленных из опера­ торов Cij

Дп = M ( p ) - N { p ) ,

тогда передаточная функция Фа (р ) будет по крайней мере со­ стоять из разности, двух передаточных функций

287

Так как такой передаточной функции соответствует два парал­ лельных контура, то схему можно представить в виде (рис. 140).

П р и м е р . Рассмотрим систему самолет—автопилот из § 6 8 . Пусть выполнено условие (255) инвариантности координаты ф от­ носительно силы

м ?

ЛЧР) М (7> + 1)л

5

тогда

^ 1з — Raf (Р) = В

I

Рис. 141

у Как видно из рисунка, система имеет два канала распростра­ нения, и математически это можно записать как

288

Структурную схему системы в этом случае можно представить в виде рис. 142. Второй канал распространения отсутствует. Условия инвариантности невыполнимы (нереализуемы).

§70. КОЭФФИЦИЕНТ УСИЛЕНИЯ ИНВАРИАНТНЫХ СИСТЕМ, РАБОТАЮЩИХ ПО ОТКЛОНЕНИЮ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ УСЛОВИИ ИНВАРИАНТНОСТИ ДО е

Инвариантные некомбинированные системы относятся к числу систем с очень большим коэффициентом усиления (и даже в пре­ дельном случае'абсолютной инвариантности — с бесконечно боль­ шим). Рассмотрим систему уравнений:

anx - j - a i2y + a12z = b if-1

а21х -f- а22у + a2Sz = 0 ;

a31x + a.32y + assz = 0.

Действительно, уравнения системы без основного уравнения объекта будут:

С1о\Х—j- &22УИ- @>23**“ - Д

a3lx + (z32y -)- a33z — 0 .

Запишем условия иивариаитиости координаты х относительно функции }':

Последний определитель показывает, что знаменатель выраже­ ния для коэффициента усиления равен 0 , следовательно, коэффи­ циент усиления системы регулятора k -» 0 .

П р и м е р . В случае системы самолета уравнения будут:

flWP

ЖР — дР/И8

и при выполнении угловой инвариантности k -> 0 0 прие->0 .

290