книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

Процесс будет почти не колебательным (кривая переходного процесса на рис. 128 изображена пунктиром).

Если в случае &№нимума квадратичной интегральной оценки мы стремились приблизить процесс к скачкообразной функции, то в данном случае добиваемся приближения его'к экспоненте, как бы смягчая условие оптимальности и заранее допуская некоторое замедление. Экспоненту, к которой мы хотим приблизить процесс, можно считать огибающей колебаний (рис. 129). В этом случае переходный процесс протекает, значительно спокойней.

§ 64. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ПО ВЗАИМНОМУ РАСПОЛОЖЕНИЮ НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

i

Передаточную функцию замкнутой системы можно записать в виде:

где D( p) — характеристический полином системы;

А (р) — полином, характеризующий правую часть дифферен­ циального уравнения.

Как было указано выше, если на вход системы подать единич­

D { p )

271

• Следовательно, если вещественные части полюсов передаточ­ ной функции Хк = — ак ± У-(ик определяют быстроту затухания составляющей решения по данному полюсу, то амплитуда этой составляющей зависит от взаимного расположения нулей и полю­ сов передаточной функции. Действительно, раскрывая выражение

(246), найдем

'П|>,|

_ 1 = 1

U

П |3 ,|

1 = 8

Векторы Г\ и di показаны на рис. 130. Чем меньше векторы rf, тем меньше амплитуды ск, и чем больше векторы d^, тем также

меньше амплитуды ск. Причем, как только один из векторов г, бу­ дет равен нулю, так амплитуда составляющей решения по полюсу Хк будет равна нулю и эта составляющая решения выпадает из переходного процесса.

272

Ч

Из вышеизложенного можно сделать вывод, что при выборе параметров системы необходимо нули передаточной функции рас­ полагать вблизи полюсов (особенно это важно для полюсов, лежа­

щих вблизи мнимой оси), уменьшая векторы ги а сами^полюса

стремиться разносить друг от друга, увеличивая векторы dr Меняя какой-либо параметр системы, 'можно строить траекто­

рии хода корней характеристического уравнения на комплексной плоскости и выбирать значение параметра из нужного распреде­ ления нулей и полюсов передаточной функции. При построении траекторий хода корней можно пользоваться как численным ме­ тодом определения корней уравнения, так и построителем траекто­ рий хода корней, предложенным Ивэнсом.

Подобный метод выбора параметров системы, хотя и кажется на первый взгляд трудоемким по количеству вычислений, на самом деле может оказаться во многих случаях, особенно для многокон­ турных систем, менее громоздким, даже в вычислительном отно­ шении, и быстрее ведущим к цели, чем другие методы. Главное же состоит в том, что он, по-видимому, может явиться достаточно эффективным в смысле своей гибкости и возможности «выжать» из данной схемы наилучший результат в любой заданной наиболее важной части области устойчивости.

П р и м е р . Рассмотрим систему регулирования курса самолета из § 14. Необходимо выбрать параметры форсирующего звена, т. е. коэффициент усиления по гиротахометру, из условий наилучшего распределения нулей и полюсов передаточной функции. Переда­ точная функция самолета

Рис. 131

Передаточная функция автопилота

Блок-схема изображена на рис. 131.

Передаточная функция системы по возмущающему моменту будет

ф / „ч = _1 М _ — _______ (Га + 1 )('ГС^ + 1 ) ^ е _______

м ь ( р ) { T a p + i ) ( T ep + \ ) p - + < X p + i } k ak e

Возьмем следующие данные

ju

Варьируя Т, строим ход корней ха­ рактеристического уравнения на комп­ лексной плоскости (рис. 132). Так как передаточная функция имеет два нуля qx= — 2 , ' q2 = —Ю, То наилучшее рас­ пределение полюсов будет при Г = 0 ,5 , так как малый полюс в этом случае

шую по абсолютной величине вещест­ венную часть

^2 ,з= —5 + у 7,25.

Рис. 132

§ 65. КОМБИНИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Автоматическое управление по принципу разомкнутого цикла обычно не может обеспечить требуемой точности. Однако сочета­ ние принципа разомкнутого и замкнутого циклов (комбинирован­ ные системы) может привести к созданию весьма совершенных систем.

В предыдущем параграфе мы видели, что качество системы за­ висит от взаимного расположения нулей и полюсов передаточной функции. Меняя какой-либо параметр системы, можноизменять либо полюса, либо и полюса, и нули одновременно. Следователь­ но, если перед системой поставлена задача и стабилизации (от­ стройка от возмущения), и управления (настройка на управляю­ щий сигнал), то обычными методами получить высококачествен­ ную систему не представляется возможным. Действительно, пусть система описывается дифференциальным уравнением

D ( p ) x = A( p ) y - \ r B{ p ) f , I

где х — выходная величина;

у— команда;

/— возмущение.

274-

Для того чтобы отстроить систему от возмущения, необходимо в передаточной функции системы по возмущению

выбрать соответствующим образом расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Для того чтобы настроить систему на управляющий сигнал, .также необходимо в передаточной функции по управлению

выбрать соответствующим образом расположение нулей и полю­ сов. Но так как нули передаточной функции Ф,(р) отличны от ну­ лей Фг(р), то одним регулятором удовлетворить обоим условиям невозможно.

Допустим, что мы замерили сигнал y(t) и подали его в'систему через соответствующий оператор N(p)t тогда уравнение системы

D { p ) x = A ( p ) . [ \ + N ( p ) ] y + B( p ) f .

Передаточная функция по управлению

Ф ( П\ — * ( l ) — л (Ф) И +М{ р )] Ф Л Р ) - у{ р) ~ D (р)

Таким образом, теперь появилась возможность добиться желае­ мого распределения нулей .и полюсов передаточной функции Ф2 (р) за счет изменения нулей, варьируя параметры полинома N(p).

Сочетание принципов разомкнутого и замкнутого циклов по­ зволяет получить качественную систему как при стабилизации, так и при управлении.

П р и м е р . В предыдущем параграфе, выбирая параметры регулятора, мы добились нужного распределения нулей иполюсов передаточной функции системы самолет—автопилот при стабили­ зации самолетана заданном курсе. Допустим, что теперь необхо­ димо, чтобы самолет выполнял с достаточной степенью точности заданную программу. На регулятор подается (например, с про­ граммного механизма) команда фк(£). Блок-схема такой системы показана на рис. 133. Причем команда на автопилот поступает че­ ред оператор N(p). Передаточная функция по управлению будет

275

ИНВАРИАНТНЫЕ, СИСТЕМЫ

§ 66. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ

Среди многих высококачественных систем заслуживают боль? шого внимания системы, построенные на основе компенсации воз­ мущений, или инвариантности (независимости) регулируемой ве­ личины 'от возмущений, которые действуют на регулируемый объект.

В общем виде процессы в такой линейной системе с одной ко­ ординатой регулирования можно описать в виде следующей систе­ мы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен­ тами:

f ( t ) — возмущающая сила;

Ц»(if) — управляющее воздействие; "■

Ь\, сх— также линейные операторы дифференцирования.

Первое и третье уравнения системы (248)—уравнения объекта, второе — уравнение регулятора.

Как правило ап = 0, тогда структурную схему можно предста­ вить в виде рис. 134.

Схема относится к схеме комбинированного регулирования (управления) замкнуто-разомкнутого цикла.

277

Если a3i = 0 и а2з = О, то схема будет без компаундирующих обратных связей, т. е. с обратной связью только по регулируемой величине х (рис. 135).

Рис. 134

Комбинированное регулирование может осуществляться и без обратной связи по регулируемой величине, т. е. если а3] = 0 , об­ ратная связь осуществляется по другой координате объекта

(рис. 135).

278

Полное решение-можно представить как сумму трех компонент:

х{£) = Ас (t) + Ab,(t) -t- Aba (t).

Свободная составляющая ас(t) — есть общее решение одно­ родного уравнения D(p) ас = 0 при ненулевых начальных усло­ виях, вынужденные составляющие Аь, (t) и Аьа(^) суть частные ре­ шения неоднородных уравнений:

В высококачественных автоматических системах желательно, чтобы xc(t) — была по возможности малой и быстро затухающей.

Рис. 136

' Выполнение этих требований оказывается возможным при оп­ ределенных условиях для случаев, когда внешнее воздействие

■представляет:

1 ) произвольную функцию времени, ограниченную по модулю и регулярную*; _

2 ) заданную или заранее известную функцию времени f{t).

* Условие регулярности — непрерывная и имеющая необходимое число про­

279

В зависимости от того, в какой мере осуществляется прибли­

жение к нулю R ' ( p ) f и от влияния какого возмущения освобожда­ ется заданная координата, различают следующие виды инвариант­

ности:

1 ) полную, с точностью до свободной составляющей; 2 ) абсолютную;

3)неполную, с точностью до е;

4)селективную или избирательную.

§ 67. ПОЛНАЯ И АБСОЛЮТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Полная инвариантность

Система уравнений (248), разрешенная относительно регули­

руемой координаты х, может быть записана в виде

К

Видим, что операторы Ь\, Ь2, Ь3, с2, с3 не входят в главный опре­ делитель системы.

Условием полной инвариантности координаты -Хь от возмуще­

причем необходимо, чтобы хотя бы два из трех операторов не были равными нулю, т. е. необходимо иметь один хотя бы дополнитель­ ный вход возмущения в систему (систему комбинированного ре­ гулирования).

Вэтом случае есть некоторая свобода в выборе операторов Ь2

иЬ3, лишь бы только выполнялось условие (251)..

280