книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

Г л а в а 6

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

§ 31. ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗИ

Под «высказыванием» будем понимать любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно. Высказывание рассматривается как нечто це­ лое и обсуждается лишь его логическая связь с другими высказы­ ваниями.

Для обозначения высказываний и логических связей между ни­ ми введем символическую запись. Высказывания будем обозна­ чать большими латинскими буквами. Например:

X — «а» меньше «б»;

У — реле в рабочем состоянии;

Z — амплитуда импульса тока выше уровня «а»; U — кнопка контакта нажата

и т. д.

Логические связи между высказываниями обозначим следую­ щими символами:

1. Конъюнкция — * Д У (читается X и У).

Например: кнопка контакта нажата (и) фотоэлемент освещен. Конъюнкция истинна в том, и .только в том случае, если истин­

ны и X, и У.

2 . Дизъюнкция — XV У (читается X или У).

Например: кнопка контакта нажата (или) фотоэлемент осве­ щен.

Дизъюнкция истинна тогда, когда истинно по крайней. мере одно из входящих в нее высказываний (или оба вместе).

Смысловая сторона вопроса здесь, как и в остальных логиче­ ских связях, значения не имеет: дважды два четыре (или) снег черный — истинно; дважды два пять (или) снег белый — истин­ но; дважды два четыре (или) снег белый — истинно; дважды два пять (или) снег черный — ложно.

131

К этому следует .привыкнуть сразу и во избежание путаницы не искать в высказываниях и связях житейского смысла.

Дизъюнкцию следует понимать в смысле: или X, или У, или оба вместе, а ие в смысле исключения: «либо — либо».

3. Импликация — Х-> У (читается если X, то У).

Например: (если) кнопка контакта нажата (то) мотор враща­ ется.

Импликация ложна в том, и только в том случае, когда X истин­ но, а У ложно. Импликацию не следует понимать в смысле: если ..., то только тогда. Мотор, например, может вращаться не только тогда когда нажата кнопка. Здесь утверждается лишь связь слева направо, если кнопка нажата, то мотор вращается.

4.Отрицание — X (читается не X). Например: кнопка контакта (не) нажата.

Отрицание истинно, когда X ложно, и наоборот.

5.Равнозначность — А'~ У (читается X равнозначно У).

Например: кнопка контакта нажата (равнозначно) фотоэле­ мент освещен.

Равнозначность истинна тогда, и только тогда, когда X и У оба истинны или оба ложны. Равнозначность не следует (понимать как равносильность по смыслу, она имеет место между любыми двумя истинными или двумя ложными высказываниями.

Можно было бы ввести еще и другие элементарные логические связи между высказываниями, однако в этом нет необходимости. Как мы увидим ниже, применяя основные связи: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, можно образовать любые сложные вы­ сказывания. Причем иртинность* или ложность любого сложного высказывания зависит только от истинности или ложности состав­ ляющих высказываний, а не от их содержания. Так, например, сложное высказывание, записанное символически в виде

(£/ V W) Л ^ Л Y ) ^ Z

может иметь 25 = 32 значения истинности и ложности в зависи­ мости от комбинаций истинности и ложности, входящих в него простых высказываний: X, Y, Z, U, W. Символическая запись вы­ сказывания называется логической функцией высказывания, а вхо­ дящие в него простые высказывания — логическими аргументами.

Значения логической функции всегда можно представить в виде двоичной таблицы, где И означает истинность функции, а Л —лож­ ность. Например, для конъюнкции, дизъюнкции и импликации двух аргументов таблицы значений выглядят так:

132

И наоборот, любую функцию, заданную таблицей в двоичном алфавите, можно записать в виде логической функции.

Например, таблица сложения в двоичной системе счисления может быть записана логи­ ческой функцией вида:

X V У Л ( Х Л У ) .

Здесь 0 мы отождествили со значением лож­ ности, а Г—-со значением истинности.

§ 32. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ЗАМЕНЯЕМОСТЬ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗЕЙ

Как уже было сказано, логическая функция любого сложного высказывания является определенной комбинацией логических связей между простыми высказываниями.

Замечательным является тот факт, что различные логические связи оказываются эквивалентными, т. е. выражают ту же самую логическую функцию. Это позволяет, во-первых, преобразовывать сложные логические функции и более простому виду, во-вторых, допускает использование ограниченного числа логических связей, что в свою очередь упрощает запись формул и придает им на­ глядность.

Введем следующие эквивалентные преобразования:

133

Эквивалентность этих преобразований, как и последующих, можно доказать, подставляя в правую и левую части одинаковые значения истинности и ложности аргументов.

Формулы (176) и (177) выражают переместительный закон,

выражений с ними можно поступать как с обычными алгебраиче­ скими, перемножать, выносить за скобки общий множитель и т. д. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного законов, многочисленные конъюнкции и дизъюнкции можно писать без ско­ бок.

Далее для конъюнкций и дизъюнкций справедливы следующие

П р а в и л о . Импликация с истинным предыдущим аргументом эквивалентна ее последующему аргументу. Импликация с ложным предыдущим аргументом всегда истинна.

134

П р а в и л о . Истинный член равнозначности может быть от­ брошен. Равнозначность ложному члену эквивалентна отрицанию.

Существуют и другие виды эквивалентностей. Однако перечис­ ленные нами являются наиболее употребительными и их достаточ­ но, чтобы понять, что одна и та же логическая функция может быть выражена множеством комбинаций простых логических свя­ зей. Отсюда же следует, что число логических связей, необходи­ мых для составления любых сложных высказываний, может быть сокращено, так как одни связи с успехом заменяются другими.

Существует несколько систем исчисления высказываний: расширенное исчисление — использует пять логических связей:

Однако с точки зрения технических приложений наиболее удоб: ной оказывается система, основанная на применении трех связей— Д, V и , так как в силу эквивалентностей (176) — (180) при этом получается наиболее простая вычислительная трактовка ло­ гических выражений. ;

В заключение заметим, что для составления любых сложных высказываний можно использовать всего один единственный логи­ ческий смысл — знак Шеффера. Логическая связь Шеффера — X/Y читается: X и Y несовместны. Через связь Шеффера можно вы­ разить все введенные нами ранее логические связи.

Так, например,

X I X / y / Y = X / Y = X V У

и т. д.

135

§ 33. НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ

Мы показали, что из (простых высказываний X, Y, Z, .. . , можно составить новые высказывания путем однократного или много­ кратного применения основных логических связей А, V, .

Эквивалентность логических связей позволяет переходить от одной формы записи логической функции к другой. В связи со мно­ жеством возможных форм представляется целесообразным вве­ дение некоторой нормальной формы записи. Эта нормальная фор­ ма состоит из некоторой конъюнкции дизъюнкций (конъюнктивная нормальная форма) либо дизъюнкции конъюнкций (дизъюнк­ тивная нормальная форма), где каждый дизъюнктивный или, со­ ответственно, конъюнктивный член является либо простым выска­ зыванием, либо его отрицанием. Таким образом, приведение логи­ ческой функции к нормальной форме является одновременно пере­ ходом к системе исчисления, в которой используются лишь три ло­ гические связи Д , V и

На основании перечисленных выше эквивалентностей введем следующие правила преобразования логических1 выражений к нор­ мальной форме:

1. Со знаками А и \/ можно оперировать как в алгебре, поль­ зуясь переместительным, распределительным и сочетательным за­ конами.

2 . X можно заменять на X.

3.X /\_У можно заменять выражением X \/ Y, а X V У— выра­ жением X А У-

4.Х-> Y можно заменять н а ^ \/ У, а Х- ~ Y — на X V У А У У X. Преобразование логических функций к конъюнктивной нор­

мальной форме выполняется следующим образом.

тельно используя правило 3, добиваются, чтобы знаки отрицания были только над простыми высказываниями. Покажем это на при­ мерах.

Требуется преобразовать к нормальной конъюнктивной форме выражение вида

X V у ~ у V х .

136

Вторично применяем правило 4

( X V Y ) V ( Y V X ) A ( Y V X ) V (X V Y).

По правилу 3 имеем

X заменяем на X

( X A Y ) V ( Y V Х ) А (У А Х ) V ( X V У).

Применяя, далее, распределительный закон, получаем нормаль­ ную конъюнктивную форму записи

( X V У У Х ) А ( У V У V X) A ( Y V X V Y ) A ( X V ~ X V У).

Другой пример. Требуется преобразовать к нормальной конъ­ юнктивной форме следующую логическую формулу:

( X V У A Y ) V ( Z А У) .

По правилу 3 получаем

( X V У А У) A (Z А У) ■

Вторично применяя 3, имеем

X V У A Z V Y

Преобразование логических выражений к дизъюнктивной нор­ мальной форме выполняется в такой последовательности.

Отрицаем первоначальное выражение и приводим его к нор­ мальной конъюнктивной форме. Затем вновь отрицаем полученное выражение и преобразуем его согласно правил 1—4.

137

Рассмотрим пример. Исходная логическая формула

У.

Отрицаем это выражение и применяем правило 4 под знаком от­ рицания

X У Y А Т у X .

Используем' правило 3

X v Y V У У х .

Вторично используем 3

Т у Т А Х

Применяем правило 2

X A Y \/ Y А Х .

Преобразуем по распредел|Цтельному закону

( X у Y) Д (*V X) А (Ту Y) А (УУ X).

Последнее выражение записано в нормальной конъюнктивной фор­ ме. Отрицаем его и преобразуем, используя правила'3 и 2:

( Х \ / Y) А (X У X) А (У У У) А (У УХ ) ;

одновременном срабатывании реле Р |. Р2. Ръ> нажатии кнопочного контакта К i и освещении фотоэлемента Ф; либо при одновремен­

Р е ш е н и е . Примем следующие обозначения простых логиче­ ских высказываний:

Р\, Р2. Рз — срабатывание соответствующих реле; К\, К2 — кнопочные контакты нажаты;

Ф — фотоэлемент освещен.

138

Сформулируем словесно сложное высказывание, соответствую­

(и) реле Рз сработало (или) не сработало (и) кнопка К\ не на­ жата].

I

2. Составить логическую функцию коммутации трех исполни­

Здесь 1 соответствует включению контакта и цепи, а 0 — отклю­ чению.

Р е ш е н и е . 'Запишем конъюнкции контактов для каждой цепи в состоянии «включено», а затем объединим эти конъюнкции зна­ ками дизъюнкции.

Рц, = (/Cl Л/С2 Л 7?з ) V (Ki Л К2Л /С3) V (/Cl Л КаЛ /Q; ,

139