книги из ГПНТБ / Вулконский Б.М. Теория автоматического управления учебное пособие

Для исходного случайного шума, обладающего однородным спектром мощности, имеем

-fij = S (f) = k = const,

Спектр шумовых составляющих сигнала, порождаемых исход­ ным ансамблем случайных шумов, ие равномерен и согласно (149) -имеет треугольную форму.

Средняя мощность исходного случайного шума в узкой полоске спектра df составляет dN = kdf. Эта узкая полоска эквивалентна

спектральной составляющей шума

/

У2kdf sin (2^ft)

ив соответствии с (149) приводит к частотной модуляции несу­ щей с амплитудой, равной

Fo-Fr

Вычислим теперь энтропию шумового сигнала. Мы убедились, что при ЧМ шум на выходе такой же, каким он был бы на выходе

, 111

Действительно,

л,“ - \Щ )'Л{= f

I' = -у- (Я(чм-|-ш) — Я ш).

При большом отношении сигнал/шум энтропию сигнала плюс шум можно положить равной энтропии сигнала, и тогда с учетом

(144) и (153) получим:

Л

1

' где Ячм= - 2 - Л2 — средняя мощность ЧМ сигнала при 100%-ной

модуляции.

Сравнивая (154) с аналогичной формулой (139) для 100%-ной амплитудной модуляции, можно определить относительный коэф­ фициент помехоустойчивости ЧМ.

Записав в (139) среднюю мощность случайного шума в виде

N = 2 j k d f = 2 k F r.

112

откуда относительный коэффициент помехоустойчивости ЧМ по мощности равен

\

а относительный коэффициент помехоустойчивости по напряжению составляет

(156)

Формула (155) показывает, что при ЧМ получается выигрыш в мощности по сравнению с АА'\, который зависит от отношения

соответственно к повышению помехоустойчивости системы.

Таким образом, частотная модуляция является примером не­ линейного преобразования, при котором помехоустойчивость по­ вышается за счет расширения спектра сигнала.

Увеличение ширины спектра непосредственно определяет вели­ чина индекса модуляции, так как при больших индексах действи­ тельная ширина спектра сигнала приближается к удвоенной ве­ личине частотного отклонения.

§ 28. МЕТОДЫ ДИСКРЕТНОЙ ПЕРЕДАЧИ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

Возможность дискретной передачи непрерывных сообщений не­ посредственно следует из теоремы Котельникова. Некоторая не­ прерывная функция g(t) ансамбля сообщений заменяется 2TFr ее дискретными значениями в точках отсчета. Каждое дискретное значение (амплитуда) передается по каналу. На приемной стороне дискретные сигналы пропускаются через фильтр нижпих частот и таким образом восстанавливается исходное непрерывное сооб­ щение. ■

Невозможно, конечно, передать точные мгновенные значения сигнала в точках отсчета, как этого требует теорема Котельникова, поэтому до передачи сигнал подвергается квантованию. Процесс квантования иллюстрируется рис. 15,ст.

Как видно, квантованце сводится к замене данного мгновен­ ного значения сигнала ближайшим значением по установленной шкале дискретных уровней. Расстояние между двумя соседними уровнями шкалы называется шагом квантования 8 .

Понятно, что квантование неизбежно» сопровождается искаже­ ниями, так как квантованный сигнал воспроизводит исходную функцию сообщения неточно.

Разность между квантованными и исходными значениями функ­ ции сообщения в точках отсчета, представленную па рис. 15,6 в виде последовательности импульсов, можно рассматривать как своего рода шум; он называется шумом квантования.

•

—

9(4. 1£,

1

<г

1

1I у -

S)-- ---■--.--.--.-----в--■--■---£к

Рис. 15

Интересно отметить, что при передаче квантованного сигнала только шум квантования является неизбежной и неустранимой по­ мехой. Помехи и шум самого канала связи могут быть полностью устранены. Действительно, если истинный уровень передаваемого квантованного сигнала на конце некоторого участка канала точно известен (а это так, если на этом участке помеха не превосходит половины шага квантования), то в конце участка можно создать сигнал заново, полностью очистив его от поме^, и послать дальше. Операция восстановления сигнала может быть повторена сколько угодно раз. Именно это и положено в основу работы длинных ра­ диорелейных линий.

Если известен только принятый сигнал, то шум квантования, как и всякий случайный процесс, может быть рассчитан в среднем, но не в деталях.

114

Максимальная ошибка, которая может возникнуть в результате

л

указанной величины равновероятна. Следовательно, средняя мощ­ ность шума квантования

(157)

0

1

1. Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

Представим функцию g(t) ансамбля сообщений последователь­ ностью 2TFr импульсов, модулированных по амплитуде. Пусть амплитуда каждого импульса есть квантованное значение функции g'(^) в соответствующей точке отсчета. В интересах помехоустойчи­ вости системы выберем шаг квантования так, чтобы он был равен k x тиковых значений шума. Таким образом, если положить, что диапазон изменения амплитуд импульсов симметричен относитель­ но нуля, то мы будем иметь следующие возможные уровни амплитуд:

всего т уровней.

Если все амплитуды равновероятны, то средняя мощность ам-

где Цк\<з)2— мгновенная мощность.

Отсюда для числа разрешенных амплитуд имеем

или, так ка1£ о2 = /V,,

(159)

115

Энтропия на степень свободы ансамбля (на одниимпульс) определится по формуле для дискретного случая

Для передачи амплитудно-модулированного сигнала потребное число точек отсчета или число импульсов в единицу времени со­ ставит

//. — 2Fr ими.'сек.

М|иинмальная ширина спектра АИМ сигнала при""этом пример­ но равна Fr, т. е. ширине спектра модулирующего сигнала, так как для удовлетворительной передачи импульсов равной длительности необходима полоса частот, равная половине числа импульсов в ■секунду. Тогда скорость передачи информации в системе АИМ определится как

Из (161) следует, что повышение помехоустойчивости системы (увеличение k {) при сохранении той же скорости передачи инфор^ мацин может быть получено только за счет прямого увеличения мощности сигнала. Следовательно, АИМ является линейным пре­ образованием, при котором увеличение .помехоустойчивости непо­ средственно связано с повышением мощности сигнала.

2 . Кодово-импульсная модуляция (КИМ)

Кодово-импульсная модуляция, а также дельта-модуляция, ко­ торую мы будем рассматривать ниже,' являются по существу раз­ новидностями обычной импульсной модуляции и подразумевают лишь использование конкретного кода, в частности двоичного. Однако ввиду особого места, которое занимают они в вопросах по­ мехоустойчивости современных систем связи, их следует рассмот­ реть подробно.

Процедура кодово-импульсной модуляции заключается в заме­ не непрерывного сообщения квантованным и кодировании каждого уровня квантования двоичным алфавитом. Каждое квантованное значение (его амплитуда) кодируется определенной'Комбинацией импульсов и передается по каналу. На приемной стороне канала кодовая комбинация импульсов декодируется (превращается в ам­ плитуду импульса), декодированные импульсы пропускаются через фильтр нижнйх чдстот и тем самым восстанавливается исходное непрерывное сообщение.

116

Декодирование заключается в создании импульса, амплитуда которого представляет собой линейную сумму всех импульсов ко­ довой группы, умноженных на соответствующий вес разряда в коде (вес разряда учитывает место данного импульса в кодовой группе).

Пример кодирования шкалы квантования из 16 уровней четы­ рехразрядным двоичным кодом дан в табл. 2 2 .

При кодово-импульсной модуляции число уровней квантования и разряд кода связаны с шагом квантования очевидной зависимо­ стью

(2 К — 1 ) 8 = const,

где 2 R — число уровней квантования, включая нулевой.

Средняя мощность шума квантования оказывается связанной с разрядом кода следующей зависимостью

const

(162)

12 (2r - l)2

Следовательно, с увеличением уровней квантования, или, что то же, с увеличением разряда кода влияние шума квантования резко снижается и наоборот.

Максимальная скорость передачи информации при кодовоимпульсной модуляции, использующей двоичный алфавит, равна

ных сигналов, и декодированные сигналы всегда точно соответст­ вуют переданному квантованному сигналу.

117

Рассмотренная система КИМ является одной из наиболее рас­ пространенных. Однако возможна более общая система, в которой используются импульсы не двух высот 0 и 1 (код с основанием два), а различных высот (код с основанием /п). В такой обобщен­ ной системе КИМ с увеличением т максимальная скорость пере­ дачи информации приближается к пределу, диктуемому случайным шумом канала.

Согласно (159), число различных по высоте импульсов связано с уровнем случайного шума следующей зависимостью:

Здесь k\ — коэффициент пропорциональности, представляющий от­ ношение шага квантования к пиковому значению шума. Для КИМ значение k u при котором возможность ошибки при приеме коди­ рованной последовательности остается сколь угодно малой,' равно примерно 10. Следовательно, число различных по высоте импуль­ сов, при котором вероятность ошибки в приеме сколь угодно мала,

(164)

Энтропия на степень свободы или на кодовую группу ир R им­ пульсов в обобщенной системе КИМ

Л. = In tnn = R In m = ~2 In I 1 + 0,1

Поскольку для передачи сигнала с шириной спектра F r необхо­ димо передать 2TFr точек отсчета, то число точек отсчета, переда­ ваемых в единицу времени, равно 2FT. Так как каждая кодовая группа, представляющая точку отсчета, состоит из R импульсов, то для числа импульсов, передаваемых в единицу времени, полу­ чаем 2Fr R. Но, как мы уж® знаем, ширина спектра КИМ сигнала должна составлять при этом не менее половины числа импульсов, передаваемых в секунду, т. е. F — FrR.

Полагая, что мощность случайного шума пропорциональна ши­ рине его спектра, получим N = kF. Тогда энтропия на степень сво­ боды КИМ сигнала перепишется в виде

а энтропия в единицу времени, или максимальная скорость пере­ дачи информации

( 166)

118

Приравнивая (166) соответствующему значению скорости пере­ дачи информации при 1 0 0 %-ной амплитудной модуляции, получим

Из (167) следует, что помехоустойчивость КИМ тем больше, чем шире полоса частот сигнала (больше число импульсов в кодо­ вой группе).

Относительный коэффициент помехоустойчивости КИМ по на­

пряжению Vi КAMИ М растет с расширением полосы частот по

экспоненциальному закону, в то время как при частотной модуля­ ции он растет лишь по линейному закону.

Особенностью КИМ является то, что она,работает всегда с по­ стоянным превышением сигнала над шумом, и если это превыше­ ние выбрано выше порогового, то шум вообще не оказывает'ника­ кого влияния на передачу информации. Поэтому система КИМ, и особенно двоичная, очень помехоустойчива.

При двоичной системе сигнал высокого качества может быть получен в таких плохих условиях в смысле шума и помех, что едва возможно распознать наличие каждого импульса.,

3. "Дельта-модуляция

Название дельта-модуляция обусловлено тем, что в такой си­ стеме передается не функция сообщения, а лишь ее приращение, и

119