книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

84

Действительно, надстроим на ВС квадрат BDEC, а на ВА, АС надстроим квадраты НВ и GC (предло­ жение 46) и через А проведем AL, параллельную как

(определение 10), то вот на некоторой прямой ВА при ее точке А две прямые АС, АН, расположенные не по одну сторону, образуют смежные углы, вместе равные двум прямым; значит, СА будет по одной пря­

из них прямой, то прибавим общий угол АВС; значит,

удвоенные равных величин равны между собой (аксио­ ма 5)); значит, и параллелограмм BL равен квадрату ИВ. Подобным же вот образом, соединяя АЕ, ВК,

Г Р £ ЦИЯ

85

будет доказано, что и параллелограмм CL равен квад­ рату GC; значит, весь квадрат BDEC равен двум квадратам НВ и GC вместе взятым. И BDEC есть квадрат, надстроенный на ВС, а НВ, GC — на ВА, АС; значит, квадрат на стороне ВС равен вместе взятым квадратам на сторонах ВА, АС.

Значит, в прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей прямой угол (гипотенузе), равен вместе взятым квадратам на сторонах, заключающих прямой угол (катетах), что и требовалось дока­ зать».

Доказательство взято из «Начал» Евклида (книги I—IV, М . — Л., 1948, стр. 58—59).

Доказательство интересно тем, что оно дано Евклидом более двух тысяч лет тому назад и мало отличается от современного.

Широкое распространение в учеб­ ной литературе получили доказатель­ ства, основанные на равновеликости равносоставленных фигур, которые в

отличие от доказательства Евклида обладают исклю­ чительной наглядностью, но уступают ему, как прави­ ло, в простоте в том смысле, о котором говорилось выше. Например, в IX в. Анариций свое доказатель­ ство основал на таком чертеже (рис. 6).

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказы­ вается, она задолго до Пифагора была известна египтя­ нам, вавилонянам, китайцам и индийцам.

За восемь веков до н. э. теорема Пифагора была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими для построения алта­ рей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентирован­ ную относительно четырех сторон горизонта.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше ста различных до­ казательств теоремы Пифагора. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору или его ученику (по тогдашним обычаям все, открываемое учениками, при­ писывалось главе школы — учителю).

Пифагор (около 580—500 гг. до н. э.) — древнегреческий ма­ тематик и философ. Родился на о. Самосе. В молодости для изучения наук жрецов путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астро­ логию и астрономию у халдейских жрецов. После Вавилона пере­ селился в Южную Италию, а потом в Сицилию, где организовал пифагорейскую школу, которая внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Пифагор и его ученики придали гео­ метрии научный характер. Кроме знаменитой теоремы, носящей его имя, Пифагору приписывается доказательство теоремы о сум­ ме внутренних углов треугольника; задача о покрытии, т. е. де­ лении плоскости на правильные многоугольники; геометрические способы решения квадратных уравнений; правила решать задачу: по данным двум фигурам построить третью, которая была бы рав­

от материальной действительности, эта школа пришла к идеализ­ му. Пифагор учил, что мерой всех материальных и нематериаль­ ных вещей являются числа и соотношения между ними. По мне­

Г Р £ Ц И Я

87

нение в числовых зависимостях, для которых они являются только образами или копиями. Числам явно приписывались мисти­ ческие свойства: одни числа несут добро, другие — зло, третьи — успех и удачу и т, д. Пифагор полагал, что душа тоже число, она бессмертна и переселяется от одного человека к другому.

Числовая мистика Пифагора и его последователей нанесла большой ущерб развитию математической науки.

13. Прежде всего заметим, что если хи уъ zx— тройка пифагоровых чисел, то xxk, yvk, z-jz, где k — любое положительное число, тоже составляют тройку пифагоровых чисел. Действительно, из того, что

х \ + у\ = Zi (после умножения на k2) вытекает

w + ш г =

Таким образом, зная какую-нибудь одну тройку пифа­ горовых чисел, можно указанным путем получить бес­ конечное множество других троек пифагоровых чисел. Но это, конечно, еще не значит, что таким путем получатся все тройки пифагоровых чисел. Чтобы най­ ти все эти тройки, надо провести дополнительные рассуждения.

Тройку пифагоровых чисел х, у, г будем называть простой, если х, у, z, взятые попарно, являются вза­ имно простыми числами. В обратном случае тройка пифагоровых чисел будет называться производной. Са­ мо собой понятно: чтобы знать все множество троек пифагоровых чисел, надо знать множество всех прос­ тых троек, из которых путем умножения на положи­ тельные числа 2, 3, . . . получаются все остальные производные тройки. В дальнейшем будем иметь де­ ло только с простыми тройками. Заметим далее, что

если из трех пифагоровых чисел х, у, z, составляю­ щих тройку, два будут взаимно простыми, то тройка будет обязательно простой, т. е. числа х, у, г, взятые попарно, будут взаимно простыми. Докажем это.

Пусть х и у будут взаимно простыми числами, докажем, что х, г и у, z будут тоже взаимно просты­ ми числами. Будем доказывать методом от противно­

тельно числа взаимно простые. Аналогично числа у и 2 тоже взаимно простые.

Поскольку х и у — взаимно простые числа, они од­ новременно не могут быть четными. Но одновременно они не могут быть и нечетными. Действительно, если бы они были одновременно нечетными, то х = 2 р + 1 ,

Г Р £ Ц И Я

ными или нечетными. Следовательно, одно из них четное, а другое нечетное. В дальнейшем х будем считать нечетным, а у четным. Ясно, что г будет числом нечетным. Представим теперь уравнение (1) в виде

х2 = г2 — у2 = (г + у) (г — у).

Пусть

г+ у = т;

г— у = п;

тогда

т— п

У= —Г-'>

х2 = тп,

причем т > п.

тивного. Предположим, что т и п — не взаимно прос­ тые. Обозначим их наибольший общий делитель че­

После этого окончательно получаем

х— uv\

и2 — и2

У— 2 *

к2 + v2

Это и есть формулы для получения простых троек х, у, г пифагоровых чисел. (Проверьте при помощи

Г Р £ Ц И Я

91

подстановки и непосредственного вычисления, что по­ лученные формулы удовлетворяют уравнению (1).)

Для иллюстрации с помощью последних трех фор­ мул вычислим несколько простых троек пифагоровых чисел.

З а м е ч а н и я . 1. Тройка пифагоровых чисел 3, 4, 5 была из­ вестна в Египте задолго до Пифагора и составляла длины сторон египетского прямоугольного треугольника.

2. С помощью пифагоровых чисел можно получить сколько угодно так называемых героновых треугольников, т. е. таких тре­ угольников, у которых стороны и площадь выражаются целыми положительными числами. Действительно, каждой тройке пифаго­ ровых чисел соответствует пифагоров треугольник, у которого ка­ теты и гипотенуза выражены этими числами. Если взять два пи­ фагоровых треугольника, имеющих одинаковые катеты и приста­

Алгебраически эта задача решается очень просто. Последовательность нечетных чисел, начиная с еди­

Г Р £ Ц И Я

ницы, представляет собой арифметическую прогрес­ сию 1, 3, 5, 7, . . . , (2п + 1). Число членов этой прогрессии равняется п + 1 • Сумма всех членов ука­ занной прогрессии будет

S = 0 + 2 » + ! ) ( « + ! ) = (п + 1},

15. В школе Пифагора эта задача решалась гео­ метрически. Действительно, если от квадрата отнять гномон (рис. 7), представляющий нечетное число, в остатке получит­ ся квадрат, т. е. '

2п + 1 = (п + I)2 — п \

16.Пусть дан прямоугольный

а2 + Ь2 — с2

или

т. е. сумма площадей полуокружностей, построенные на катетах как на диаметрах, равняется площади