книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

74

ный месяц отличается от принятого современной астро­ номией всего лишь на 0,4 сек.

2. Вавилоняне создали шестидесятиричную систему

мер времени — часа, минуты, секунды — на 60 частей,

круга — на 360°.

3. Вавилоняне решали уравнения второй степени и некоторые виды уравнений третьей степени, причем последние — при помощи специальных таблиц.

Есть основания предполагать, что математика древ­ них вавилонян оказала влияние на математическую культуру закавказских народов, в особенности на ар­ мянскую, содействовав ее исключительно раннему рас­ цвету.

1. Сторона правильного шестиугольника, вписан ного в окружность, равняется радиусу, следовательно,

6 / 4 В И /I О Н

75

ны ВА построим равносторонний треугольник BED. Тогда угол СВЕ и будет составлять одну треть дан­ ного прямого угла. Остается только разделить попо­ лам угол EBD и задача будет решена.

3. Согласно условию задачи, площадь четырех­ угольника

Эта формула будет точной для прямоугольника. Дей­ ствительно, для прямоугольника

а = Ь; с — d\ S — ас.

Е Г И П Е Т

77

в 1877 г. Рукопись относится к периоду 2000— 1700 лет до н. э. В ней содержится 84 задачи, причем боль­ шинство из них арифметического характера.

Московский папирус относится к 1850 г. до н. э. Он был приобретен русским коллекционером Голени­ щевым в 1893 г., а в 1912 г . — перешел в собствен­ ность московского Музея изобразительных искусств. Этот редкий, весьма ценный памятник глубокой древ­

В этом папирусе решается задача на вычисление объема усеченнойпирамиды с квадратными основа­ ниями.

Оказывается, как показала расшифровка папирусов, египтяне еще четыре тысячи лет назад решали ряд практических задач по арифметике, алгебре, геометрии, причем в арифметике пользовались не только целыми числами, но и дробями.

4. Решение задачи сводится к решению уравнения

Точное значение площади выразится формулой

=1-(£),=sil/'|-(s)'

откуда

т. е. ошибка не больше 2%. 8. По египетскому способу

где а и Ь— соответственно нижнее и верхнее основа­ ния трапеции, с — боковая сторона. Обозначив высоту трапеции через h, получим

80

Для второй стороны найдем

11. В рукописи дробная часть ответа 172 до­

дается в виде суммы дробей, числители которых рав­ ны 1, а именно:

_ L . _ L 4_ J _ . _ L

2 ~г 8 "f" 48 т 96 •

82

Древние греки интересовались не только вопроса­ ми элементарной геометрии (тогда этого термина не было), но и заложили прочные основы высшей геомет­ рии (работы Аполлония, Архимеда и др.)

Значительных успехов в теории чисел достигли Пи­ фагор и его ученики,

В области алгебры, в частности в решении неоп­ ределенных уравнений, много сделал Диофант, жив­ ший на рубеже II — III вв. н. э. в Александрии, почему его и называют иногда Диофантом Александ­ рийским. Он улучшил алгебраические методы путем введения первых буквенных алгебраических обозначе­ ний и символического изображения уравнений.

Самое значительное сочинение Диофанта — это его «Арифметика», которая дошла до нас в шести книгах (полагают, что их было 13). По содержанию «Ариф­ метики» Диофанта можно судить о состоянии алгебры

удревних греков.

12.Эта задача известна под названием «теоремы Пифагора» и вошла во все курсы элементарной геомет­ рии как одна из основных ее теорем. Почти во всех учебниках геометрии, предназначенных для школы, теорема Пифагора доказывается по Евклиду. Такое

его учебнике «Геометрия» для 6 — 8 классов, она дока­ зывается исходя из наглядных соображений). Хотя доказательство Евклида и относится, по меткому вы­ ражению Шопенгауэра, к типу «доказательства-мыше­

Г Р £ ЦИЯ

83

ловки», в котором совершенно отсутствует наглядность и в сложных рассуждениях надо слепо следовать Евклиду, однако, по мнению проф. В. Литдмана, до­ казательство Евклида, если его рассматривать в рам­ ках геометрической системы, изложенной в «Началах»,

ник имеют одинаковые основания и высоту, то площадь параллелограмма равна удвоен­ ной площади треугольника.

Ниже воспроизводим доказательство теоремы Пи­ фагора (предложение 47), данное Евклидом в его «На­ чалах», причем, по свидетельству Прокла (410—485), это доказательство принадлежит самому Евклиду.

«Пусть АВС—прямоугольный треугольник, имеющий прямой угол ВАС; я утверждаю, что квадрат на ВС равен вместе взятым квадратам на ВА и АС (рис. 5).