книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

ЗЛД*1И ЗЛПЛД-НОИ ЕВРОПЫ

ЗА ДАЧИ ПАСКАЛЯ

219. Доказать, что если шестиугольник вписан в окружность и противоположные его стороны не па­ раллельны, то точки пересечения этих сторон лежат на одной прямой (прямой Паскаля).

220. Сформулировать предельные случаи рассмот­ ренной выше задачи Паскаля, которые составляют весьма любопытные теоремы, относящиеся к вписанным

64

в окружность пятиугольникам, четырехугольникам и треугольникам (см. указания).

221. Найти общий признак делимости на произ­ вольное число.

ЗАДАЧА ОЗАНАМА

222. Трое хотят купить дом за 26 000 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — одну четверть. Сколько даст каждый?

ЗАДАЧИ ИЗ «ВСЕОБЩЕЙ АРИФМЕТИКИ» НЬЮТОНА

проведены под данными углами АВС и АСВ две пря­ мые ВА и СА. Найти высоту их точки пересечения

Анад данной линией ВС.

225.Двенадцать быков съедают 3-^- югера паст­

24 югера пастбища за 18 недель?

226. Некий торговец каждый год увеличивает на одну треть свое состояние, уменьшенное на 100 фун­ тов, которые ежегодно затрачивает на свою семью.

66

прогрессии, то все члены арифметической прогрессии, начиная с третьего, меньше соответствующих членов геометрической прогрессии.

ЗАДАЧИ БЕЗУ

231. Некто купил лошадь и спустя некоторое вре­ мя продал ее за 24 пистоля. При этой продаже он теряет столько процентов, сколько стоила ему лошадь. Спрашивается, за какую сумму он ее купил.

232. Доказать, что многочлен п-й степени

fn(х) = а0хп + аххп~х + агхп~2+ . . . + ап- 1х + ап

при делении на х — Ь дает в остатке результат под­ становки в этот многочлен вместо х числа Ь, т. е.

число fn ф) — а0Ьп~1 + ахЬп~1+ . . . + ап-ф + ап (тео­ рема Безу).

ЗАДАЧА ЛЕЖ АНДРА

233. Доказать, что в любом прямолинейном треу­ гольнике сумма внутренних углов не может быть больше 2d, причем при доказательстве не разрешается пользоваться аксиомой параллельных прямых и ее след­ ствиями (эквивалентами).

ЗАДАЧА НАПОЛЕОНА

234. Данную окружность с данным положением центра разделить на четыре равные части при помощи одного циркуля, не прибегая к линейке.

противоположные вершины, пересекаются в одной точке (точке Брианшона).

241, Доказать, что: 1) в любом пятиугольнике, опи­ санном около окружности, прямые, соединяющие две пары несмежных вершин, и прямая, соединяющая пя­ тую вершину с точкой касания противоположной сто­

окружности, прямые, соединяющие вершины с точками касания противоположных сторон, проходят через од­ ну точку.

ЗАДАЧИ Ш ТЕЙНЕРА

242. Доказать, что если соединить точку пересече­ ния диагоналей трапеции с точкой пересечения ее не­ параллельных сторон, то большее основание разделит­ ся этой линией пополам.

243. Требуется из точки М на прямую АВ опус-

ЗАД АЧИ ЗАП АД Н ОЙ £ вРО П Ы

69

тить перпендикуляр при условии, что точка М не ле­ жит на данной прямой и отрезок АВ является диаметром неподвижной окружности.

244. Доказать, что площадь любого неравнобедрен­ ного треугольника всегда меньше площади равнобедрен­

секущую так, чтобы она разделялась окружностью по­ полам.

ЗАДАЧА , ПРЕДЛОЖ ЕННАЯ А. МОНДЕ

247. Вычислить в уме, какие два числа нужно взять, чтобы разность их квадратов равнялась 133.

70

ЗАДАЧА СТЮАРТА

248. Доказать, что если на одной стороне треуголь­ ника, принятой за основание, взять точку и соединить ее с противоположной вершиной (этот отрезок далее называется внутренним), то произведение квадрата од­ ной из боковых сторон треугольника на не прилежа­ щий к ней отрезок основания плюс произведение квад­ рата другой боковой стороны треугольника на не при­ лежащий к ней отрезок основания минус произведение квадрата внутреннего отрезка на основание равняется произведению основания на его отрезки, отсекаемые внутренним отрезком (теорема Стюарта).

И С Т О Р И Ч £ с К И £ Э К С К V P C b l ,

Р Е Ш Е Н И Я И

V K / 4 3 / Н Ч И Я

73

Вдревнем Вавилоне мате­

Оматика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские па­ мятники в виде глиняных пли­ ток с клинописными надпися­ ми хранятся в различных му­ зеях мира, в том числе в ленинградском Эрмитаже и московском Музее изобрази­ тельных искусств. Найдены сорок четыре глиняные таб­