книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

на косила малый луг, на котором к вечеру еще остал­ ся участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

181.На противоположных стенах комнаты опреде­

ленной длины и ширины сидят муха и паук, муха — на полтора аршина от пола, паук — на полтора аршина от потолка. Какое между ними кратчайшее расстояние, которое мог бы проползти паук, чтобы достать муху?

ЗА ДАЧИ ИЗ «АЗБУКИ» Л. Н. ТОЛСТОГО

182. Пять братьев разделили после отца наслед­

Москву. Мужик идет 5 верст в каждый час, а барин едет И верст в каждый час. На какой версте барин догонит мужика?

184. Один мужик нанял 70 десятин земли, запла­ тил по 8 рублей за десятину помещику и посеял пше­ ницы все 70 десятин. За семена заплатил по 1 руб. 30 коп. за пуд, сеял на десятину по 9 пудов. За ра­ боту заплатил по 8 руб. за десятину. Родилось пше­ ницы по 13 копен на десятине. Из каждой копны вымолотил по 6 пудов пшеницы. За молотьбу запла-

185. Один человек выдумал игру в шашки, сделал хорошие шашки и шашешницу и подарил царю. Царю полюбилась игра и он спросил, чем его наградить. Чело­ век сказал: «На одну клетку вели положить зернушко пшеницы, а на другую два, а на третью 4, а на чет­ вертую вдвое и так все клетки уложить пшеницей и мне отдать ту пшеницу». Царь посмеялся, что человек так мало просит; а как стали считать, так у царя пшеницы недостало. (Сколько же царь должен вы­ дать зерна?)

186. Над бочкой приделали две трубы, из обеих труб вода течет в бочку. Из одной трубы вода напол­ няет бочку в 24 минуты, из другой в 15 минут. Еще

ЗА ДАЧА , ПРЕДЛОЖ ЕННАЯ ИВАНУ ПЕТРОВУ

187. Сосчитать в уме, сколькими способами можно уплатить 78 руб., имея билеты трех- и пятирублевого достоинства.

56

но на ту сумму, которую он забрал в течение работы,

а забрал он сперва 4-^- руб., потом 3-^- руб. и на­

конец 7 руб. Сколько недель продолжалась работа?

отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найти лета обоих сыновей.

194. Виноторговец, купив вина двух сортов, запла­ тил за каждый 5-ведерный бочонок вина первого сор­ та по 150 руб. и за каждый 7-ведерный бочонок вина второго сорта по 140 руб. Он хочет получить 50 ве­ дер такой смеси этих вин, которую можно было бы продавать по 30 руб. ведро с барышом по 3 руб. на каждое. Сколько должен он взять ведер вина каждого сорта, чтобы получить требуемую смесь?

195. У серебряника есть трехфунтовые и четырех­ фунтовые слитки серебра двух различных проб. Каж­ дый трехфунтовый слиток стоит 288 руб., а четырех­ фунтовый — 328 руб. Серебряник должен сделать со­ суд в 20 фунтов весом из серебра такой пробы, чтобы при продаже сосуда выручить за каждый фунт 93 руб., считая тут и вознаграждение за работу по 3 руб. на

РУССКИЕ ЗДДДЧИ

57

фунт. Сколько фунтов серебра каждой из имеющихся у него проб должен употребить серебряник на выдел­ ку сосуда?

ЗАДАЧА НАРОДНАЯ

197.Шли семь старцев.

Укаждого старца по семи костылей, На всяком костыле по семи сучков, На каждом сучке по семи кошелей,

Вкаждом кошеле по семи пирогов,

Ав каждом пироге по семи воробьев. Сколько всего?

69 ЗЛДДЧИ ЗЛПДД+ЮИ £©Р0 ПЪ1

ЗАДАЧА ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ

202. Если два равных круга пересекаются друг с другом, то прямая, проходящая через точки их пере­ сечений, будет в любой части своей длины находить­ ся на одинаковых расстояниях от того и другого центра.

ЗАДАЧА АДАМА РИЗЕ

203. Трое торгуют лошадь за 12 флоринов, но ни­ кто в отдельности не располагает такой суммой. Пер­ вый говорит двум другим: «Дайте мне каждый по по­ ловине своих денег, и я куплю лошадь». Второй гово­ рит первому и третьему: «Дайте мне по одной трети ваших денег, и я приобрету лошадь». Наконец, третий говорит первым двум: «Дайте мне только по четверти ваших денег, и лошадь будет моя». Теперь спраши­ вается, сколько денег было у каждого.

ЗАДАЧА ТАРТАЛЬЯ

204.На данном отрезке АВ при помощи данного

ЗАДАЧИ КАРДАНО

205. Найти построением положительный корень уравнения

х2 + 6х = 91

60

206.Разложить 10 на два слагаемых с таким рас­ четом, чтобы их произведение равнялось 40.

207.Построить общую касательную к двум Дан­

ным окружностям.

ки А одновременно пущены три дробинки: одна свободно пада­

раньше достигнет окружности?

ЗАДАЧА КЕПЛЕРА

210. Доказать, что если взять три параллельные прямые I, т, п и пересечь их пучком прямых S/4, SB, SC, пересекающих первую прямую I в точках А, В, С,

З Л Д Л 1 И З Л П АД +Ю И £ В Р 0 П Ъ 1

61

и через точки Е, F, Н пересечения со второй прямой т провести прямые, параллельные лучу SP, до пересе­ чения с третьей прямой п в точках L, М, N, то пря­ мые LA, MB, NC, ЕР пересекутся в одной точке.

ЗАДАЧИ ДЕЗАРГА

211.Доказать, что если в двух треугольниках АВС

иA-yB-fii, расположенных в разных плоскостях а и ах,

прямые, соединяющие соответственные вершины А и Аъ В и Ви С и Сх, пересекаются в одной точке (точ­ ке Дезарга), то соответственные стороны АВ и АхВг ВС и В1С1, АС и А1С1, при условии их непараллель­

одной прямой, то прямые, соединяющие соответствен­ ные вершины, при условии их непараллельности, пе­ ресекаются в одной точке.

212. Доказать, что если в двух треугольниках АВС и А1В1С1, расположенных в одной плоскости,

(точке Дезарга), то соответственные стороны АВ и АгВъ

точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответствен­

62

ные вершины, при условии их непараллельности, пе­ ресекаются в одной точке

ЗАДАЧА ДЕКАРТА

213. Решить уравнение

х* — 4*3 — 19л:2 -+- 106* — 120 = 0.

ЗАДАЧИ ФЕРМА

214.Показать, что если S есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии -н- а1, а2, а3, ...,

215.На диаметре АВ полукруга АМВ построен прямоугольник, высота которого АС равна стороне вписанного в круг квадрата. Если соединить вершины

Си D с произвольной точкой М полукруга прямыми СМ и DM, пересекающими диаметр в точках Е и F,

то