книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике
.pdf'324
известно, средняя линия в треугольнике всегда параллельна основанию и равна половине длины ос
нования. Отсюда ОВ\\СМ и ОВ = или СМ= 20В=
= 2R, где R — радиус данной окружности.
Теперь, пользуясь проведенным анализом, легко построить искомую секущую. Для этой цели из точ ки М раствором циркуля, равным длине диаметра данной окружности, проводим окружность, которая пересечет данную в точках С и С' (рис. 71, б). Со единив эти точки с точкой О и продолжив полученные отрезки СО и С'О до пересечения с окружностью соответственно в точках А и А', получим секущие AM и А'М, которые и будут искомыми. Из приведен ных рассуждений вытекает, что задача имеет два решения.
Задача взята из книги «Теоремы и задачи элемен тарной геометрии» бельгийского математика Эжена Каталана (1814— 1894), известного трудами по выс шей и элементарной математике.
247. Анри Монде — феноменальный вычислитель, француз по
происхождению. Родился в крестьянской семье в деревне близ г. Тур. Мальчик обладал удивительной способностью произво дить в уме весьма сложные вычисления. Впервые на него обра тил внимание в 1840 г. содержатель пансиона города и предста вил его президенту Парижской академии наук ученому-гёометру Понселе. На предварительной проверке в кругу академиков маль чику были заданы два вопроса: чему равен квадрат 756? сколько минут в 52 годах? Монде моментально дал правильные ответы.
Понселе предложил создать комиссию из числа академиковматематиков для основательного изучения математических спо собностей мальчика. В комиссию вошли Коши, Лиувилль, Штурм
ЗЛПЛД +М » £ВРОГМ
325---------------------------------------------------------------------------------—
и Араго. 14 декабря 1840 г. состоялось испытание, на котором мальчик должен был ответить на весьма трудные вопросы, про изводя все вычисления в уме. Двенадцатым вопросом и была за дача, которая приводится в настоящем сборнике.
Из отчета о проверке вытекает, что мальчик вполне спра вился с ролью феноменального вычислителя и на самые слож ные вопросы отвечал уверенно, без погрешностей в вычислениях.
Так, на вопрос: |
каковы два |
числа, разность квадратов |
которых |
||||
равняется |
133, |
мальчик быстро ответил, что такими числами бу |
|||||
дут |
66 и 67. Когда ему сказали, что есть более простое |
реше |
|||||
ние, |
после |
секундного |
размышлений он назвал и это |
решение, |
|||
состоящее |
из |
чисел |
13 и |
6. Он, почти не задумываясь, момен |
|||
тально ответил, |
чему |
равняется квадрат числа 1204 и |
куб |
чис |
|||
ла 1006. А. Монде весьма быстро справился и с такой замысло ватой задачей: найти число, куб которого, увеличенный на 84, дает сумму, равную произведению того же числа на 37. В ка честве ответа назвал два числа 3 и 4.
Легко проверить, что эти числа удовлетворяют условиям
задачи. Действительно, |
|
|
|
|
|
43= |
|
З3= 27; 27 + |
84 = |
111 = |
3 - 3 7 ; |
64; |
|||
64 + |
84 = |
148 = |
4 • 37. |
|
|
||
Обычный прием решения задачи таков: |
|
||||||
хг — уг = 133; |
|
|
|||||
{х+>у){х — у)= |
1 -133= |
19-7; |
|||||
|
X + |
у = |
19; |
|
|
||
|
х — у = 7, |
у = 6. |
|
||||
откуда |
х — 13, |
|
|||||
Далее, |
|
у = |
|
|
|
|
|
х + |
133; |
|
|
||||
х — у = 1 , |
|
|
|
||||
откуда |
х = |
67, у = 66. |
|
|
|||
248. Рассмотрим треугольник АВС. Возьмем на |
|||||||
стороне ВС между точками В и С точку |
D и соеди- |
||||||
«26
ним ее прямолинейным отрезком с вершиной А. Требуется доказать, что
AB2 DC + AC2-BD — AD2-BC = BCDC-BD.
Для доказательства из верши ны А на ВС опустим перпендику ляр АЕ. Для определенности будем считать, что точка Е лежит меж ду D и С (рис. 72). Тогда Z.ADC будет острым, a Z ADB — тупым.
Применяя дважды теорему о квадрате стороны тре угольника, лежащей сначала против тупого, а потом против острого угла, получим
|
ABa = BEP + AD* + 2BD.DE; |
(1) |
|
АО = AD2 + DC2 — 2DC■СЕ. |
(2) |
Умножив равенство (1) на DC, а равенство (2) |
на |
|
BD, |
найдем |
|
АВ2■DC = BD2 DC + AD2-DC + 2BD• DE■DO, |
(3) |
|
AC2-BD = AD2-BD + DC2-BD — 2DC-DE-BD. |
(4) |
|
Сложив (3) и (4), будем иметь |
|
|
|
АВ2 • DC + АС2 BD — AD2 (BD + DC) + |
|
|
+ BD-DC (BD + DC) |
|
или |
окончательно |
|
|
AB2-DC + AC2• BD — AD2 • ВС = BC ■DC■BD, |
|
что и требовалось доказать.
В учебниках задача Стюарта называется теоремой Стюарта и применяется обычно к вычислению некото рых линий треугольника. Например, с помощью тео ремы Стюарта можно решать задачи на вычисление длин биссектрис и медиан треугольника.
327
О
O T B f ты
1 .3 . |
4. 9. |
|
5. |
19 607 . |
6. |
3,16. |
|||||||
11. |
172 |
|
30. |
|
|
39. 84 кв. еди |
|||||||
ниц. |
43. |
45; |
37 1 ; |
|
22 у . |
44. * = 8. |
|||||||
у = 2. |
45. |
10; 6; 8. 55. 28. 56g. 3360. |
|||||||||||
57. |
Число, |
кратное |
12. 58. |
|
дня. |
||||||||
59. |
Ослица несла 5 |
|
мешков, |
мул —. |
|||||||||
7. |
|
61. 84-х лет. |
|
|
62. |
2 |
таэля; |
||||||
-i- таэля. |
|
66. |
1 |
|
чжан |
|
17 |
чи. |
|||||
e7 |
. i L |
|
t _22. |
J _ . |
|
_ 1 . |
_60. |
||||||
53 |
6 6 ’ |
|
6 6 ’ |
6 6 ' |
co |
6 6 ’ |
6 6 ’ |
||||||
|
46 |
|
39 |
|
|
|
|
_ |
|
|
|
||
-cS-l |
~aa '< |
66 |
ШЭНа. |
|
6 8 • |
B ec |
СЛИТ- |
||||||
66 |
|
66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ка золота |
2 цзиня |
3 |
лана |
19 |
чжу; |
||||||||
вес |
слитка |
серебра |
1 |
цзинь 13 |
ла- |
||||||||
нов 6 чжу. |
69. |
Через |
|
135 |
|
Дня; |
|||||||
15 -jg y |
|
||||||||||||
рысак пробежит |
4534 ш |
ли’ |
|
кля- |
|||||||||
ча — 1465 145 ли. 70. |
Буйвол |
стоит |
|||||||||||
. 1 3 |
|
|
|
, |
|
|
20 |
лана. |
, , |
|
Q 1 |
||
1 2j лана, |
|
баран — |
|
|
71. 9 — |
||||||||
4 _ 1 _ ; |
2 |
- f |
доу. |
|
72. |
А ; |
|
i |
|||||
1 5 Д 0 У ’ |
|
? 3 - |
13 * |
1 3 4 13 Д Э Н Я ’ |
|||||||||
74. Буйвол стоит 1200, баран — 500, свинья — 300 цяней. 75. Глубина ко лодца 7 чжан 2 чи 1 цунь; длина веревок — 2 чжана 6 чи 5 цуней,
1 чжан 9 чи 1 цунь, 1 чжан 4 чи
8 |
цуней, |
1 чжан 2 чи 9 цуней, |
7 |
чи |
||
6 |
цуней. |
76. |
Глубина |
воды 1 |
чжан |
|
2 |
чи; длина |
камыша |
1 чжан |
3 |
чи. |
|
77. Б прошел на восток Ю -^ -б у ,
А прошел по косому направлению
14 2 бу, когда догнал его. 78. Ши рина 2 чи 8 цуней, высота 9 чи
6 цуней. 79. 250 бу. 81. 1735-|учи.
82. |
|
527 |
чи. |
|
83. |
3 — |
бу. |
|||
85. |
164 чжана 9 чи с большой частью |
|||||||||
цуня. 87. 4. 88. |
20; |
67 |
|
89. |
15. |
|||||
90. |
* = |
J ^ L . |
91. |
” 1{п + J ^ |
L ± -23i . |
|||||
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
6 |
|
|
94. |
А ( Н ------ — |
V 98. 48. 121. 10 |
° |
|||||||
|
|
\ |
|
о + |
b } |
|
|
|
|
|
123. |
|
3— V 5 |
125. |
18. |
126. |
2. |
||||
------ у -----. |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
пи |
|
127. |
2 |
Ь , |
128. |
12. |
129. |
-5--------. |
||||
|
|
|
2. |
|
|
|
|
t\ — |
Г |
|
131. |
|
2 |
|
135. |
|
1 |
дня. |
|||
5-=^ локтя. |
175 -= - |
|||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
о |
|
|
138. |
|
Старых |
100, |
молодых |
12. |
|||||
139. |
36. 140. 225 копий. 141. |
352 |
ар |
|||||||
шина. |
142. |
44 стопы (фута). 143. |
40 |
|||||||
2
стоп (футов). 144. 458 у . 145. 8дней.
146. За гвозди надо уплатить
41 787 руб. 3 коп. 147. За 12 ча-
осв; 30, 27, 24 четверти. 148. 192 ар-
329 |
|
|
|
|
О Т В Е Т Ы |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шина; |
384 рубля. |
151. |
|
7 |
153. |
18; |
||||||
9 ^ . |
||||||||||||
6. |
154. |
35 |
дней. |
|
|
|
|
4 |
|
руб. |
||
|
155. 4 - g - |
|||||||||||
167. 420. |
168. |
15 минут. |
|
169.232 руб. |
||||||||
5 коп. |
170. |
12 зайцев |
и |
18 |
кур. |
|||||||
171. |
|
3 |
|
|
|
172. |
|
Крестьянин |
||||
93-J- коп. |
|
|
||||||||||
получил |
5 |
коп., |
|
дочь |
купца — |
|||||||
7 |
|
коп., |
|
купец — 12 ~ |
|
|
коп. |
|||||
173. |
6-^ -; 2 - ^ - коп. |
|
174. |
1 |
|
|||||||
5 |
коп. |
175. |
16. |
176. |
7 |
час. 30 мин. |
||||||
4 |
|
|
|
|
180. 8. |
|
|
|
|
|
||
179. |
По кругу. |
181. |
10,77 ар |
|||||||||
шина. |
188. 2. |
197. |
237 256 |
предме- |
||||||||
тов. |
|
198. |
|
2 |
|
|
14 |
динария. |
||||
|
7 -jy; |
9 - jy |
||||||||||
199. |
9 |
воробьев, |
10 горлиц, |
11 |
го- |
|||||||
лубей. |
200. 5 — у |
|
21 ^ |
203. |
3 уу, |
|||||||
7 |
|
9 —— |
флорина. |
205. |
7. |
|||||||
213. |
4; |
3; |
2; |
—5. |
222. |
12 000; |
8000; |
|||||
6000 |
ливров. |
|
223. у2+ 2ау----- |
|||||||||
225. |
36. |
226. |
1480 |
фунтов. |
231. 40 |
|||||||
или |
60 |
пистолей |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТАБЛИЦЫ |
РУССКИХ, |
КИТАЙСКИХ |
И |
МЕТРИЧЕСКИХ |
МЕР |
||||||||
|
|
|
|
I. |
Меры веса |
|
|
|
|
||||
|
Русские |
|
|
Китайские |
|
М етрические |
|
||||||
Берковец = |
10 |
пудам |
Дань |
|
(пикуль) = |
|
Тонна = 1000 кг |
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
100 цзинь |
|
|
|
|
|||
Пуд = |
40 фунтам |
Цзинь |
(кетти) = |
|
Центнер = 100 лег |
||||||||
|
|
|
|
|
= |
16 лян |
|
|
|
|
|
||
фунт = |
32 |
лотам |
Лян |
|
(таэль) = |
|
Килограмм = 1000 г |
||||||
|
|
|
|
|
10 |
цянь |
|
|
|
|
|
|
|
Лот = |
3 золотникам |
Цянь |
|
(мэйс) = |
|
Грамм = 10 дц |
|
||||||
|
|
|
|
|
= |
10фынь |
|
|
|
сг |
|||
фунт = |
96 |
золотникам |
Фынь (кандерин) = |
Дециграмм = 1 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
10ли |
|
|
|
Грамм = 1000 мг |
|||
Золотник = |
96 |
долям |
Ли (кеш) = |
|
10 хао |
||||||||
|
II. Меры объема |
сыпучих |
тел |
и жидкостей |
|
||||||||
Бочка = 40 |
ведрам |
Ху = |
5 |
доу |
|
|
Гектолитр = 100 |
л |
|||||
Ведро = 1 0 |
штофам |
Доу = |
10 |
шэн |
|
|
|
|
|||||
или |
20бутылкам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Четверть = |
8 четвери |
Шэн = |
10 |
хэ |
|
Литр = |
1 дм3 |
|
|||||
кам |
|
8гарнцам |
Хэ = |
10 цзо |
|
|
|
|
|
||||
Четверик = |
|
|
|
|
|
||||||||
Цзо = |
0,001 |
доу |
|
Куб. |
дециметр = |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1000см3 |
|
|
331 |
|
|
|
|
|
П Р И Л О Ж Е Н И Я |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
III. Меры поверхностей (квадратные) |
|
|||||||||
Кв. |
верста = |
250 000 |
Цин = |
100 |
му |
Кв. |
километр = |
|||||
кв. саженям |
|
Му = |
10 |
фынь |
= |
10га |
|
|||||
Кв. |
сажень = 9 |
кв. |
Гектар = 1 0 0 ар |
|||||||||
Фынь = |
10 |
кв. ли |
||||||||||
аршинам |
|
|
= |
10 000 м2 |
||||||||
|
|
Кв. ли = |
10 хао |
|||||||||
Кв. аршин = |
256 |
кв. |
Ар = 100 |
мг |
||||||||
вершкам |
|
|
Хао = |
6 кв. |
чи |
Кв. |
метр = |
|||||
Кв. |
сажень = 49 |
кв. |
Кв. |
бу = |
25 |
кв. чи |
= |
10 000 см 1 |
||||
футам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кв. |
фут = |
144 |
кв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дюймам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Кв. |
дюйм = |
100 |
кв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Десятина = |
2400 |
кв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
саженям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
СРАВНИТЕЛЬНЫЕ ТАБЛИЦЫ РУССКИХ, |
|
|||||||||
|
|
КИТАЙСКИХ |
И |
МЕТРИЧЕСКИХ |
МЕР |
|
||||||
I. Перевод русских мер длины в китайские и метрические |
||||||||||||
Географическая |
|
12,885 |
ли |
|
|
|
|
7,422 |
км |
|||
миля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
км |
||
Морская миля |
|
3,216 |
ли |
|
|
|
|
1,852 |
||||
Верста |
|
|
1,852 |
ли |
|
|
|
|
1,067 |
км |
||
Сажень |
|
|
6,667 |
чи |
|
|
|
|
2,134 |
м |
||
Аршин |
|
|
2,222 |
чи |
|
|
|
|
0,711 |
м |
||
Фут |
|
|
|
0,952 |
чи |
|
|
|
|
0,305 |
м |
|
Вершок |
|
|
1,391 |
цуня |
|
|
|
4,445 |
см |
|||
Дюйм |
|
|
7,933 |
фыня |
|
|
|
3,540 |
см |
|||
Линия |
|
|
7,933 |
ли |
|
|
|
|
2,540 |
мм |
||
>332
II. Перевод китайских мер длины в русские и метрические
Ли |
|
0,540 |
|
версты |
0,576 |
км , |
||
Чжан |
|
1,5 сажени |
3,2 |
м |
|
|||
Бу (Гун) |
2,25 |
аршина |
1,60 |
м |
|
|||
Чи |
|
1,05 |
фута |
32 |
см |
|
||
Цунь |
|
1,26 |
дюйма |
32 |
мм |
|
||
III. Перевод метрических мер длины в русские и китайские |
||||||||
Километр |
0,937 |
|
версты или |
1,736 |
ли |
|||
|
|
467 |
сажен |
|
|
|
|
|
Метр |
|
22,5 |
вершка |
3,125 |
чи |
|||
Сантиметр |
0,225 |
|
вершка |
0,031 |
чи |
|||
IV. Перевод русских мер |
веса в китайские |
и метрические |
||||||
Берковец (10 п.) |
2,745 даня (пикуля) |
163,805 |
кг |
|||||
Пуд |
|
27,447 цзиня (кетти) |
16,380 |
кг |
||||
Фунт |
|
10,979 |
ляна |
409,512 |
а |
|||
Золотник |
1,144 |
|
цяна |
4,266 |
а |
|||
Доля |
|
1,192 |
ли |
0,044 |
а |
|||
V. Перевод китайских мер веса в русские и метрические |
||||||||
Дань |
(пикуль) |
3 пуд. 25,74 фунта |
59,682 |
кг |
||||
Цзинь |
(кетти) |
1,457 |
фунта |
0,597 |
кг |
|||
Лян (таэль) |
8,744 |
золотника |
37,301 |
а |
||||
Цан (Мэйс) |
83,945 |
доли |
3,730 |
а |
||||
Фынь (кандерин) |
8,395 |
доли |
0,373 |
а |
||||
Ли (кеш) |
0,839 |
доли |
0,037 |
а |
||||
ПРИ /1 О Ж £++ И Я-
ззз-------------------------------------------------- -------------------
VI. Перевод метрических мер веса в русские и китайские
Тонна |
61,048 |
пуда |
16,756 |
даня (пи |
|
|
|
куля) |
|
Центнер |
6,105 |
пуда |
1.676 |
даня |
Килограмм |
2,442 |
фунта |
1.676 |
цзиня |
Грамм |
0,234 |
золотника |
2,681 |
фыня |
VII. Перевод |
русских |
мер объема |
в китайские |
|
|
и метрические |
|
|
|
Бочка |
4,751 |
ши |
4,92 |
гл |
Ведро |
1.188 |
доу |
12,293 |
л |
Штоф |
1.188 |
шэиа |
1,23 |
л |
Бутылка |
0.594 |
шэна |
0,615 |
л |
Четверть |
2,027 |
ши |
209,91 |
л |
Четверик |
2,534 |
доу |
26,239 |
л |
Гарнц |
39170 |
шэна |
3,280 |
л |
VIII. Перевод |
китайских мер |
объема |
в русские |
|||
|
и |
метрические |
|
|
||
Ши |
8,4194 |
ведра |
или |
|
л |
|
|
3,9465 |
четверика |
103,55 |
|||
Д оу |
16,84 |
бутылки |
или |
|
л |
|
Шэн |
3,157 |
гарнца |
|
10,355 |
||
1,684 |
бутылки или |
|
л |
|||
|
0,3157 |
гарнца |
|
1,035 |
||