книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

•314

>

НО

откуда

Окончательно получим:

+> V * X ^ n ,

что и требовалось доказать.

Огюстен Луи Коши (1789 — 1857) — французский математик, работавший главным образом в области математического анализа (дифференциальные уравнения, теория рядов) и теории функций комплексного переменного. Член Парижской академии наук.

240. Задача решается различными способами. При­ водим один из них, основанный на использовании сте­ реометрического чертежа (взят из книги Д. О. Шклярского, Н. Н. Ченцова, И. М. Яглома «Избранные за­ дачи и теоремы элементарной математики», ч. II. М., 1952, стр. 312 — 313).

Построим пространственный шестиугольник AlBlC1D1E1F1, проекцией которого являлся бы данный плоский шестиугольник АВСДЕЕ (рис. 66). Для этой

ЗЛГМД-Н-ДЯ £ВРОПД

31 s

цели повернем каждую из прямых тх, т2, т3, ш4, ть, тв, лежащих на сторонах данного шестиугольника, на 45° вокруг радиуса, проведенного в точку касания, причем прямые с нечетными номера­ ми (тъ т3, ть) — в одну сторону,

апрямые с четными номерами (т2,

т4, Щ) — в другую. Заметим, что каждая прямая с нечетным номером будет пересекаться, а следователь­

но, и лежать в одной плоскости с каждой прямой с четным номером, так как эти прямые симметричны относительно плоскости, перпенди­ кулярной к плоскости чертежа, в которой лежит шестиугольник ABCDEF, и проходящей через бис­ сектрису угла, образованного про­

через Ви Cly Du Еи Flt Ах. Таким образом, получа­ ется пространственный шестиугольник A1B1C1D1E1FU проекцией которого на плоскость чертежа и является шестиугольник ABCDEF.

Соединим теперь противоположные вершины шгсти-

угольника A1B1C1D1EXF1 прямыми AXDX, B1Ei. CXFV

Эти прямые попарно пересекаются между собой, так как лежат в одной плоскости. Рассмотрим, например, прямые AxDt и ВХЕХ. Они пересекаются, так как, бу­ дучи непараллельными, лежат в одной плоскости — плоскости пересекающихся прямых т1= АкВх и тх =

•318

Прямые AXDU B ^i, CiFl одновременно не лежат в одной плоскости, следовательно, они, пересекаясь попарно, пересекутся в одной точке 0г (на чертеже не указана). Проекция Ог на плоскость (точка О) и бу­ дет точкой пересечения прямых AD, BE, CF, что и требовалось доказать.

Ш. Ж. Брианшон (1785— 1864) — французский математик. Свою задачу об описанном около круга шестиугольнике он до­ казал при помощи теории полюсов и поляр, разработанной фран­ цузским геометром Понселе.

При помощи центрального проектирования Брианшон свою задачу распространил на все конические сечения, получив таким

стиугольнике, описанном около конического сечения (окружность,

термином «прямая» и наоборот. <Зднако исторически теорема Бри-

241. Рассмотрим шестиугольник, описанный около окружности. В этом шестиугольнике, согласно рас­ смотренной задаче Брианшона, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (точке Брианшона). Если же теперь точки каса­ ния двух соседних сторон шестиугольника будем сближать по окружности до совмещения, то шести-

3/ИМД++*Я £ВРОПЛ

319

Из (1) и (2) вытекает

АК _ , КВ ~ 1

или

АК = КВ,

что и требовалось доказать.

Можно дать решение этой задачи без ссылки на задачу Чевы (см., например, книгу С. М. Зетель «Геометрия линейки и геометрия циркуля». М., 1957,

стр. 34).

Якоб Штейнер (1796 — 1863) — швейцарский математик, один из создателей проективной геометрии, член Берлинской академии наук и с 1835 г. профессор Берлинского университета. Много внимания уделял задачам на геометрические построения при по­ мощи линейки и фиксированной неподвижной окружности.

■320

244.Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС

ипроизвольный неравнобедренный треугольник ABD

(рис. 70), имеющий с равнобедренным общее основание

Лчасть треугольника АСЕ. Для этого на прямых ЕА и ЕС возь­

мем соответственно точки F и К так, чтобы EF = EB и EK=ED.

Ясно, что треугольник FKE ра­

ник АВС равнобедренный). Отсюда А Е > BE и А £ > ~>FE, так как BE = FE. Следовательно, точка F лежит между точками А и Е.

Предположим теперь, что точка К лежит между точками С и Е. Тогда будет выполняться неравенство:

AF + FK + КЕ + EF < AF + FC + СЕ + EF-

EF = ЕВ, КЕ = ED, FK = BD,

AF + DB + ED + EF < AF + FC + СЕ + ЕВ, AF + FE + ED + DB < A F + FC + СВ,

AD + D B < A F + FC + СВ.

З Л П М -Н -^ Я ЕВ Р О П А

321

Но по условию

AD + DB = AC + СВ,

следовательно,

AC + C B< AF + FC + СВ

или

А С < AF + FC.

Получили справедливое неравенство, следовательно, справедливо и исходное утверждение о том, что точка К

ИЛИ

По условию

Но мсжно показать, что целые части корней (5 и 19) означают, что были две встречи: одна по истечении 5, вторая — 19 дней.

Если а — путь первого курьера, а b — путь второго, увеличенный на 40 лье, то, полагая, что первый

уравнения (1) переменой знаков у всех членов и умно­ жением их на 24. Подставим теперь в левую часть уравнения (2) вместо х сначала 5, а потом 6, так как меньший корень 5,72... содержится между этими числами. Тогда результат первой подстановки > 0,

и было сказано, имела место между пятым и шестым днем. Подобно этому можно доказать, что вторая встреча состоялась через 19 дней. Возможность этой Естречи легко понять, так как второй курьер, увели­ чивая свою скорость по сравнению с первым, встретит

ЗАПАД+МЯ ЕВРОПА

323-

его уже после того, как первый его обгонит. Это подтверждается исследованием, через сколько дней оба курьера будут иметь одинаковую скорость. Найдем число дней (13), содержащееся между 5 и 19. (Реше­ ние Штурма взято из книги Г. Н.

Составитель двухтомного руководства по математическому анализу, автор многих мемуаров по дифференциаль­ ным уравнениям, оптике и механике.

246.Предположим, что за­

и продолжим отрезок АО до пересечения с окруж­