Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

8.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3431 32 33 34 > Следующая >>>

■304

Из той же системы равенств (*) получаем

Ч+ г3= Yjj,

ЧЧ~ — 1.

Издесь г2 и г3 можно рассматривать как корни уравнения

х2 — T]i* — 1 = 0,

(3)

откуда

причем г2> 0 и г3 < 0.

Положив
е +	s	1 =	у;
е4 +	s	4=	Ух,

получим

У + Ух = г;

Шк = z2,

где г — положительный корень уравнения (2), а г2— положительный корень уравнения (3).

Выходит, что у п Ух будут корнями уравнения

х2— гх + г2 == 0,

(4)

откуда

y = ^ + Y ( Y t - * *

ЗЛ П *А + М Я tB P O n *

806

причем	y >		ylt	так как				2^с
у =	s	е	_-	f—\	л	__л	л	2^с
у =	s	е	1 =	2 cos -у	и у — е4	+ е 4 =	2 cos -у.
Теперь		найдем, чему			равняется	е из уравнения
или				s + г-1 = У
или

S2— г/е + 1 = О,

откуда

где	перед	корнем берется знак плюс, так как
у =	2 cos- у ,	и, следовательно,

е==“г+уг(г) —1=^+*]/^—Нг) =

'2я . . 2л

=COS у + ISin у - = г.

Формула

— f+v'iTF*

показывает, что корни семнадцатой степени из едини цы могут быть выражены с помощью квадратных ра дикалов и, следовательно, могут быть построены с помощью циркуля и линейки. Таким образом, вопрос о построении правильного 17-угольника с помощью

■308

циркуля и линейки решен положительно. Теперь по кажем, как проводится это построение. Для этой цели строятся следующие отрезки:

1)	у	17	_1_ .
1)	“4 =	2	2 ’
2	=		L;

3 ) Z = -i- + / ( i ) ' + l;

4) * , = 1 + / ( 1 ) 4 1 ;

Ь )и = ^ + У Щ ^ 7 , .

Построив у, легко разделить окружность на 17 равных частей. Действительно, как указывалось выше,

у — 2 cos	следовательно,	— cos	есть рассто
яние от центра той хорды,		которая	соединяет через

одну две вершины 17-угольника. Само построение вы полняется следующим образом (рис. 65,6):

1)	строим	окружность	единичного	радиуса и про
водим горизонтальный			и вертикальный D1C1 диа
метры;	на оси,	где расположен диаметр		AxBlt за поло
2)

жительное направление принимаем направление впра во, т. е. от Ai к Въ а противоположное направле ние от Вг к А1 (направление влево) считаем от рицательным, так что вправо от нуля будем отклады вать положительные отрезки, а влево — отрицательные;

307		з /и м а +ы я £в р о п л
307
3)	строим отрезок	ОВ = -----
4)	тогда
	BD1= /O B * +	OD; = ] / 1 + -Ж = ^ Г ’

5) из точки В как из центра описываем окружность радиусом BD1 и точки пересечения ее с горизонталь ной осью обозначаем через С и С', так что

ВС' =	У\7.	ВС = — V 17.
	4 ’	4 ’

6) из точек С' и С соответственно радиусами C'Di и CDX проводим окружности, которые пересекают го ризонтальную ось в точках ГУ и D;

7)тогда из чертежа (рис. 65, б) получим:

ОС = OB +ВС = -----J------i- К 1 7 = - |Ч

ОС' = ОВ + ВС' --------

OD' = ОС' + C'D ' = 4 - + ] / ( 4 -)2+ 1 = г ;

OD = ОС + CD = - | - + ] / Щ 2 + 1 = 2г.

8) на отрезке AXD как на диаметре строим полу окружность, которая пересекает радиус ODx в точке F,

	'308
9) из точки F как из центра радиусом Ft( =	OD'
делаем засечку К\

10) из точки К как из центра радиусом KF опи шем полуокружность, которая на горизонтальной оси дает засечки FI и Я ';

11) тогда

— ОН Л- ОН' = НН' = 2КН' == ОЕУ = г,

— ОН-ОН' = OF2 = — OA1-OD = OD = z2,

так как — ОАг = 1. Следовательно, отрезки — ОН и ОН’ будут корнями уравнения

хг — гх + г2= 0.

Но это уравнение совпадает с уравнением (4), корня

ми которого являются у и yv Следовательно,			у = —ОН
и t/j =	ОН', причем у >	ух,	отрезок
12)	берем больший	корень у и строим	отрезок

13) восставим в точке L перпендикуляр, который пересечет окружность в точках А2 и Л17, причем дуга

Л1у42 = -jy , а ее хорда будет искомой стороной пра

вильного 17-угольника; 14) для окончательного получения правильного 17-

угольника остается только отложить дугу At/12 по

з/тлд+мя- е в р о п л

309

окружности и соединить последовательно полученные точки хордами.

Задачу о построении правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки, как уже указывалось выше, Гаусс решил в 19 лет. Общие рассуждения о возможности построения правильного л-угольника уже тогда приводят его к доказательству следующей заме чательной теоремы: «Построение правильного «-угольни ка с помощью циркуля и линейки возможно в том и только в том случае, когда число л может быть пред

ставлено в	виде
		2mplP2...ps,
где рх, р2,	....	ps — различные простые	числа	вида
22* + 1».		когда п — число простое,
В частности,		когда п — число простое,	то для	по

строения правильного л-угольника необходимо и до

статочно, чтобы л имело вид 22* + 1.

Учитывая последнее условие, находим, что 17 = = 22* + 1 при & '=2, следовательно, правильный 17угольник можно построить с помощью циркуля и ли нейки. Точно так же проверяется возможность построе ния следующих правильных л-угольников: треугольника

(3 =	22* +	1 при	k =	0),	пятиугольника		(5 — 22* + 1
при	k — 1)	и т.	д.	По	теореме Гаусса, например,
нельзя с помощью циркуля и линейки						построить пра
вильный семиугольник, так					как число	7	нельзя пред
ставить в форме 22* + 1.					решения.
238. Задача имеет два

11 В, Д. Чистяков

•310

Первое решение			Второе решение
12	8	5	12	8	5
12	0	0	12	0	0
4	8	0	7	0	5
4	3	5	0	7	5
9	3	0	0	8	4
9	0	3	8	0	4
1	8	3	8	4	0
1	6	5	3	4	5
6	6	0	3	8	1
			11	0	1
			11	1	0
			6	1	5
			6	6	0

Данной задачей еще в молодости					занимался французский
математик Симеон Дени			Пуассон (1781 — 1840). Это				задача,	по
словам самого	Пуассона,		определила его судьбу:			он	решил,	что
непременно будет математиком.
Время показало,		что	ученый сдержал		свое	слово. Пуассон
действительно стал математиком с мировым именем. Он был чле
ном многих европейских академий,				в частности почетным членом
Петербургской	академии		наук.
239.	Надо	доказать,		что среднее		арифметическое
п положительных чисел не меньше среднего геометри
ческого этих чисел.			Это предложение можно доказы
вать по-разному.		Воспроизводим доказательство Коши.

ЗАПА4+Ь*Я- ЕВРОПА

311

Итак, требуется				доказать, что
		i + » + - . - + * i , > у - —							X1Г
									X1Г
При п =	1	справедливость				неравенства очевидна. До
кажем,	что	неравенство				выполняется и				при п = 2,
т. е.					> У X LX 2 .
			х х + х 2		> У X LX 2 .
				2
Действительно,
—	—?—		j / xtx2 —		~2~ [хх			х 2	2 \|/ XlX2)=х
			= 4 - ( V 4			— ]/"^)2>			0.
Докажем теперь, что если неравенство										справедливо
при п = т,		то оно справедливо и при п — 2т.
В самом		деле,
			x i ~Ь х 2 -f- — - \|- x 2m _ i -(- х 2т _
					2т
	Х1 +	Х 2 , * ЛГз + ЛГ4			I	I	*2m —1 +		х 2т
	2		f	2	~г- л-			2		>
					т					>
					т
	^		л"] ;	* 3 + Хц				Х 2гп - 1 + х 2т ^
	> К		----2---------- 2---- --					2		>
	>		УхУГ2•VV 4				/	Х 2 т —ХХ 2 т		=
			2т /------------------------

]/ XjXjX;, ... X2m_]X2,n.

Выходит, ч т о если неравенство справедливо для п — т, то оно справедливо и для п — 2т. Но мы зна-

11*

'312

ем, что неравенство выполняется при *п = 2, тогда по доказанному будет выполняться для п = 4, 8, 16, , т. е. для всех натуральных чисел, равных любой степени двух. Теперь остается доказать, что неравен ство имеет место для любого натурального числа п. Пусть п — произвольное натуральное число. Если оно окажется степенью двух, то по доказанному неравен ство будет выполняться. Если же п не является сте пенью двух, то к нему прибавим такое натуральное число <7, чтобы п + q стало степенью двух, т. е. п +

+ Я —

Принимая во внимание предыдущее, получим нера венство

Х1 + х 2 + х 3 + — + х п + *л + 1 +	+ Х п + Я ^
n + q	>

> п+ч/ xlxixs ...xnxn+1...xn+q,

справедливое при всех положительных значениях

	Х Ъ Х 2>	Х 3>		1/1> лП+1’
В частности, это неравенство					будет	выполняться при
значениях
у	_ у	_	— у		_ * 1 + * 2 + - + Х п
*л + 1 х п + 2				x n + q		п
В этом	случае будем			иметь
	. . . .			*1 + Х2+ —+ хп
	Х 1 + х 2 + — + х п +				п	Я

п + д

~ ^

ЗАПАДНАЯ ЕВРОПА

313.

откуда

		Х1+ *2 + —+ ХП >
>	у Лх1х2...хп (- х \ +		х 2	+	+	х п
ИЛИ
Х1 + х 2 +	••• + х п	" 1 *	"	Х1 +		хг + — + xi
п	/	" 1 *	"	\		п
После известного упрощения				получим
( .+* + :;:+ 3 )”>			W ,		-	*„•
Следовательно,
1 + 2 +		+ - + *л V ' ‘ г				~
------------ -			1^23 ••• *я»

что и требовалось доказать.

Знак равенства в полученном соотношении может

быть	только в том случае, если	все xt	(/ =	1, 2,
3, . . . ,	п) равны между собой, т.	е. когда	хх =	х2=
= ... — хп. Действительно, положив в этом			соотноше

нии все xt равными, непосредственной проверкой убеж даемся в равенстве левой части соотношения правой. Если же хотя бы два значения xt не равны между собой, то рассматриваемое соотношение будет иметь знак неравенства, т. е. левая часть будет больше пра вой. Докажем это. Пусть, например, хх фх2, а другие xt — какие угодно положительные числа. Тогда

*1 ~Ь * 2 + Х 3 ~Ь — ~Е Х П __

<<< < Предыдущая 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3431 32 33 34 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ