книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

494

известная теорема о делимости алгебраического многочлена на разность х — а, где а — корень многочлена (теорема Безу). Безу

является также автором многих учебников, бывших весьма по­ пулярными в свое время.

Остаток от деления / й+1 (х) на х — b равняется остатку от деления xfk (b) + ак+1 (многочлена первой степени) на х — Ь. Но на основании первого пункта для многочлена первой степени утверждение выпол-

+ a tP + a k + i — /а+i Ф ).

Таким образом, утверждение выполняется при n—k + 1, а значит, и для любого п, что и требовалось дока­ зать.

233.Доказательство ведется методом от против­

На отрезке Вп_хСп_х построим еще один треуголь­ ник Вп_гСn_iBп, равный каждому из только что по­ строенных треугольников.

Известно, что если две стороны одного треуголь­ ника равны двум сторонам другого, то против боль­ шего угла, заключенного между этими сторонами, ле­ жит и большая сторона. Применяя сказанное к треу­

отрезок.

Поскольку длина ломаной всегда больше длины замыкающего прямолинейного отрезка, то

химеда, согласно которой для любых двух отрезков меньший можно повторить слагаемым конечное число

птакое, что будет выполняться неравенство

п(АС — BBJ > 2АВ.

ЗДП М +М Я £ВРОПД

299-------------------------------

где п < Ьх < р. Отсюда

п — bt — рт.

Умножив левую и правую части последнего равен ства на а, найдем

ап — аЬг =— арт\

ап делится на р, так как на р делится abl (по пред­ положению). и арт (р входит сомножителем).

Получается, что ап делится на р, но л < Ьи сле­ довательно, Ьг — не наименьшее положительное число, для которого abx делится на р, что противоречит сде­ ланному предположению. Значит, ab не делится на р, что и требовалось доказать.

Карл Фридрих Гаусс (1777— 1855) — немецкий ученый, которого современники называли «королем математиков». Мате­ матическое дарование Гаусса обнаружилось еще в раннем дет­ стве. Вспоминая детские годы, Гаусс в шутку говорил о себе: «Я научился считать раньше, чем говорить».

Родился Гаусс в Брауншвейге в семье водопроводчика и фон­ танных дел мастера.' Первоначальное образование получил в на­ родной школе, куда поступил 7 лет. Там он поражал учителя и своих товарищей блестящими математическими способностями.

Высшее образование Гаусс получил в Геттингенском универ­

-3G0

только его не утомляла, а наоборот, вызывала бодрость, внут­ реннее удовлетворение.

Гаусс с помощью тщательных вычислений установил с боль­ шой точностью местонахождение планеты Цереры, которую тщетно искали другие астрономы.

Занимаясь вопросами математики, Гаусс далеко продвинул вперед теорию рядов и теорию дифференциальных уравнений. Ему принадлежит основная теорема высшей алгебры о том, что всякое алгебраическое уравнение п-й степени имеет хотя бы

один корень, причем этот корень может быть и мнимым. В трак­ тате «Арифметические исследования» он заложил основы совре­ менной теории чисел. Имеет фундаментальные работы по диффе­ ренциальной теории поверхностей. В области физики занимался теорией магнетизма и некоторыми вопросами оптики.

Еще в 1818 г. в переписке с некоторыми учеными Гаусс высказал мысль о возможности существования наряду с евкли­ довой геометрией геометрии неевклидовой (позднее стала назы­ ваться геометрией Лобачевского). Однако, боясь быть непоня­ тым, дальше этих писем Гаусс, к сожалению, не пошел и ни одной статьи по данному вопросу не опубликовал.

237. Решение данной задачи сводится к делению окружности единичного радиуса на 17 равных частей. Для этого надо построить точки (рис. 65, а)

■302

где в скобках собраны члены, каждый из которых по­ лучается в результате возведения предшествующего в квадрат. Обозначим суммы, заключенные в скобках, соответственно через rt и га. Тогда

Ъ + Ъ = — 1-

Если теперь умножим г( на %, то получим

Щх = — 4,

так как в произведении каждая степень числа е будет повторяться слагаемым четыре раза.

Из двух последних формул вытекает, что т] и т]г яв­ ляются корнями уравнения

откуда

•ч = - 4 + 4 - ^ Г?;