книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

■274

Р е ш е н и е г е о м е т р и ч е с к о е . На полупериметре р рассматриваемых прямоугольников, как на диа­ метре, построим полуокружность (рис. 57). Далее диа­ метр разделим на два отрезка х и р — х и в точке деления к диаметру восставим перпендикуляр. Тогда его

с _Д1

6- т г -

аэто возможно тогда, когда

р — х — х или х = ~y ,

т. е. когда данный прямоугольник будет квадратом.

Автором рассмотренной задачи является виднейший англий­ ский математик Джон Валлис (1616— 1703) — профессор Окс­ фордского университета, составитель многих трактатов по мате­ матике. Валлис занимался вопросами научного обоснования гео­ метрии как дедуктивной науки, вытекающей из ранее предпослан­ ных аксиом. В частности, ему принадлежит оригинальная попытка доказать аксиому параллельности и свести ее таким образом в разряд теорем. Это ему удалось сделать путем введения другой аксиомы, которая известна под названием «аксиомы Валлиса»: для всякой фигуры существует подобная ей фигура любых размеров

ЗЛПМ++ЛЯ- €ВРОПЛ

275

219.Обозначим точки пересечения противополож­

■270

Аналогично докажем, что точки L, Р и М лежат также на одной прямой. Для этого докажем, что

ZEPM + ZEPL = 180°:

Z ЕРМ = Z ЕСМ = 180° — Z ВСЕ =

= 180°— 'и Е^ АВ-

= 360° — 180°= 180°.

Итак, точки М, Р, N лежат на одной прямой, точ­ ки Ь; Р, М лежат тоже на одной прямой. Следова­ тельно, точки М, L, N лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.

Блез Паскаль (1623— 1662) — французский математик, физик и философ. Математический талант проявился уже в детские годы. В юности открыл для себя первые теоремы планиметрии. Среди придуманных им фигур были треугольники, параллелограм­ мы, круги, пирамиды и т. д.

Задача Паскаля, решение которой рассмотрено выше, состав­ ляет частный случай более общей задачи — теоремы Паскаля, ко­ торую можно сформулировать так: «Во всяком шестиугольнике,

10г2 = A Q3 -Т г3.

Тогда

U -f- Dri -f- Cr2 ~4—Л1/*з = U jD (10 — Aqi) -f- C (10/"i —

—Aq2) + M(\0r2 — Aq3) = U + 10D + 10C (10 —

—Aq^) + 10M(10rj. — Aq2) — кр. A — U -f- 10D -f

+ 100C + 100Л1 (10 — AqJ — кр.A = U + 10D -f- + 100C+ 1 000А1 — кр. A.

Что и нужно было установить!

222.Решается задача при помощи следующих рас-

З Л П € В Р О П Д

281

явил склонность к самостоятельным занятиям и серьёзной учебе. Учился в Кембриджском университете, где поражал учите­ лей своими математическими способностями. Со временем он

стал профессором этого университета. С 1703 г. был президен­ том Лондонского королевского общества, которое объединяло крупнейших ученых того времени.

Исаак Ньютон является автором замечательного трактата «Математические начала натуральной философии» (1687), где из­ ложены знаменитые законы Ньютона в области механики и ряд других открытий. В 1707 г. Ньютоном был написан трактат «Всеобщая арифметика», где алгебраический метод нашел со­ временную символику и изложение.

На памятнике Ньютону, поставленном на его могиле в Лон­ доне, имеется надпись: «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, ко­ торый почти божественной силой своей впервые объяснил с помощью своего математического метода движение и форму планет, приливы и отливы океана. Он первый исследовал разно­

•282

образие световых лучей и проистекающую отсюда особенность цветов, каких до того никто даже не подозревал... Пусть смерт­ ные радуются, что в их среде жило такое украшение челове­ чества».

224. Ньютон эту задачу решал так. Положим

АВС = a, AD = у (рис. 60). Так как

Эта задача взята из книги Исаака Ньютона «Все­ общая арифметика или книга об арифметических син­ тезе и анализе».

мить в течение 9 недель избыток 21 быка над516 бы-

те поэтому этих 7 быков, которых сможет прокормить

10 югеров могут прокормить 15 быков в течение 18 недель, то в силу пропорциональности 24 югера смо­ гут прокормить за это же время 36 быков.

Остановимся на алгебраическом решении -этой за­ дачи. Обозначим через у вспомогательное неизвестное, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 югере в течение недели. Тогда на