книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

но по условию

BD = АС.

поэтому

PC ■DQ = АС2.

АЕ ~ EF ~~ FB ■

Равенство (1) на основании соотношений (2) за­ пишется так:

AF2 + £ £ 2 + 2AF-EB = ЛВ2 + 2AE-FB + 2AB-EF

ЗЛГМ-Д-Н-ДЯ £ВРОПА

чаем так называемой великой теоремы Ферма: уравне­ ние хп + Уп = zn, где п — целое положительное число, большее 2, не имеет решений в целых числах.

Читая книги, Ферма имел обыкновение делать на полях замечания. Так, читая «Арифметику» Диофанта, против того места, где рассматривается неопределен­ ное уравнение х2+ у2 = г2, на полях Ферма написал: «Между тем совершенно невозможно разложить полный куб на сумму двух кубов, четвертую степень— на сумму двух четвертых степеней, вообще какуюлибо степень — на сумму двух степеней с тем же показателем. Я нашел удивительное доказательство этого предложения, но здесь слишком мало места, чтобы его поместить».

До сих пор остается загадкой, каким доказатель­ ством владел Ферма и владел ли? Дело в том, что, несмотря на все усилия крупнейших математиков,

доказана совершенно строго. Так, для п = 3 и п = 4 теорема доказана петербургским академиком Эйлером (1707— 1783), для п = 5 — геттингенским математиком Дирихле (1805— 1859). Профессор Берлинского уни­ верситета Куммер (1810—1893) в результате новых разработанных методов довел решение до п = 100. Наконец, в настоящее время американские математики, воспользовавшись результатом Куммера, при помощи электронно-вычислительных машин доказали, что утверждение Ферма справедливо для всех л от 3 до 4002 включительно.

Для ц = 4, как указывалось выше, задача решена

неразрешимо в целых числах. Для этой цели доста­ точно доказать неразрешимость в целых числах урав­ нения

Пусть нам удалось доказать, что уравнение (2) не­ разрешимо в целых числах, тогда уравнение (1) также будет неразрешимо в целых числах.

Действительно, пусть хъ уи zx— целочисленное решение уравнения (1). В этом случае должно выпол­ няться условие

Х\ + У1Л= zi4>

а тогда тройка целых чисел xlt уъ г,2 будет решением

ЗЛПДД+МЯЕВРО ПЛ

267

уравнения (2). И если последнее не имеет целочислен­ ных решений, то не будет их иметь и уравнение (1).

Итак, для решения задачи Ферма (великая теорема Ферма при п — 4) нужно доказать, что уравнение (2) не имеет целочисленных решений. Доказательство будем вести методом от противного.

Предположим, что уравнение имеет целочисленное решение

х 1 > У ъ г1>

причем эти числа, а также возможные другие тройки целочисленных решений уравнения (2) будем, не уменьшая общности, считать положительными (из существования решения хъ уъ гх уравнения (2) в це­ лых числах хъ ylt z-x ф 0 вытекает наличие решения !*i|> |Ут> |Zi| этого уравнения в целых положительных числах):

х \ + У \ — zi2

или

(*12)2 + (У!2)2 = 2J2.

Отсюда видно, что яД ух\ zx являются пифагоровыми числами и, как известно, могут быть выражены через нечетные взаимно простые положительные числа и и V, причем «> и:

гх первые два не могут быть одновременно нечетными, поэтому всегда можем считать хх2 нечетным, ух2 чет­ ным и, следовательно, гх нечетным. Итак, ух2 четное число. Но всякое четное число, будучи полным квад-

>270

ратом, делится на 4, следовательно, -----целое число.

В правой части уравнения (18) имеем произведение трех взаимно простых чисел и2, v2 и «22 + и22> и это

произведение есть полный квадрат I равняется

Следовательно, по известной теореме все эти три со­ множителя, взятые в отдельности, должны быть сами полными квадратами, т. е.

и2 = х»2; v2 = у2 \ и2 + v22 = z2 .

Из последних уравнений вытекает, что

*24 + Уъ = 222.

Итак, если считать, что целочисленная тройка xlt уь 2Х является решением уравнения х* + У1 = z2, то обязательно найдется еще одна целочисленная тройка х2, у2, z2, которая также является решением этого уравнения, причем обязательно z1> z2.

Неравенство z1> z2 вытекает из следующих рассуждений:

и + V

2

но

откуда

Zi > г22,

следовательно,

zx > z2.

3/4Г1/4Д+Ъ4Я £ВР0П/4

273

Сравнивая правые части равенств (1) и (2), видим, что они равны, следовательно, равны и левые части, т. е.

S 1 АВС >Л ОАВ + S овс + 5?

А А

что и требовалось доказать.

Решенная задача является стереометрическим ана­ логом теоремы Пифагора. Проф. В. Литцман полага­ ет, что этот аналог впервые нашел в 1622 г. Иоган

Следовательно, из всех прямоугольников одинако­ вого периметра квадрат имеет наибольшую площадь, что и требовалось установить.