книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

■284

или

Обозначив через t2 продолжительность движения дробинки по хорде АВ, аналогично получаем

Итак, t2 = tl = t, т. е. продолжительность движе­ ния по любой хорде равняется продолжительности движения по вертикальному диаметру.

Галилей задачу формулировал так: «Если из высшей точки круга, построенного над горизонтом, проведены различные наклонные плоскости, доведенные до окруж­ ности, то времена падения по ним одинаковы».

Эта задача была поставлена и решена им в трактате «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению», изданном в 1638 г. в Гол­ ландии. Заметим, что в упомянутом трактате Галилей подводит итог своих работ по физике и обоснованию законов механики.

ЗЛПЛДНЛЯ £ВРОПЛ

855

Галилео Галилей (1564 — 1642) — итальянский математик, ме­ ханик, физик и астроном. Галилей был изобретателем телескопа, дающего увеличение в 32 раза (до этого самые лучшие голланд­ ские зрительные трубы давали приблизительно трехкратное уве­ личение). С помощью своего телескопа открыл фазы Венеры, солнечные пятна и вращение Солнца, изучил движение спутни­ ков Юпитера, наблюдал Сатурн. Исходным пунктом познания при­ роды считал наблюдение, чувственное восприятие, верно отража­ ющее внешний мир. Вел энергичную борьбу против рутины и косности в науке, в особенности против аристотелевского догма­ тизма.

Галилей жестоко преследовался католической церковью. Ои дважды привлекался к суду «святой инквизиции». Первый раз — за опубликование телескопических открытий, которые подтвер­ дили правильность воззрений Коперника о вращении Земли во­ круг своей оси и обращении ее вокруг Солнца. Второй раз Гали­

Д . Бруно (сожжен 17 февраля 1600 г. на костре в Риме), семи­ десятилетний Галилей вынужден был, стоя на коленях в рубаш­ ке кающегося грешника, держа перед собой «святое» евангелие, формально отречься от своей приверженности к системе Копер­ ника и все свои исследования в ее пользу объявить ложными и несовместимыми со «святым» писанием и религиозными догмами. Однако народ не верил в искренность отречения Галилея и соз­ дал легенду, что великий ученый будто бы на процессе после всей церемонии упрямо произнес: «А все-таки Земля вертится!»

В этом красивом вымысле народ как нельзя лучше выразил свою симпатию к ученому и свое негодование к его преследова­ телям. Совершенно ясно, что Галилей пошел на мнимое отрече­ ние от своих научных взглядов и убеждений исключительно по принуждению. Однако и после отречения ученый не избежал

■256

преследований; он все время оставался под надзором инквизиции, являясь ев вечным узником. Скончался Галилей под арестом i своей вилле Арчетри близ Флоренции.

210. Предположим, что прямые PS и NC пересе­ каются в точке R, тогда (рис. 53)

DC\PN = DR: PR.

DA.PL = DB: PM =DC:PN = RD.RP.

Следовательно, прямые AL, ВМ, CN, SP проходят через одну точку R, что и требовалось доказать.

гарифмов». Как астроном открыл законы движения планет и всю жизнь посвятил развитию гелиоцентрического учения Коперника.

■258

и АХСХ— принадлежат прямой I и прямые ААЪ ВВЪ ССХ не параллельны между собой. Докажем, что при этих условиях прямые ААи ВВЪ ССХ пересекаются в некоторой точке S.

Для этой цели рассмотрим прямые ААХ и ВВи

и S3. Теперь докажем, что точки Sb S2, S3 совпадают (на рисунке эти три точки обозначены одной буквой 5).

треугольника 5х5253), а это противоречило бы условию. Задача решена полностью.

щейся одной из основных теорем проективной геометрии. В са­ мом общем виде теорема Дезарга читается так: «Если в двух треугольниках точки пересечения соответственных сторон лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вер­

ЗЛПЛД-Н-ЛЯ £ВРОПЛ

Треугольник А0ВиС0 с каждым из данных треуголь­ ников АВС и Л1В1С1 удовлетворяет условиям теоремы Дезарга в пространстве, и, следовательно, точки пере-

в точках L , М, N некоторой прямой /. Докажем, что непараллельные прямые, проходящие через соответ­ ственные вершины, пересекаясь попарно, пересекают­

Треугольник А0В0С0 с каждым из данных двух треугольников АВС и AjBiCx удовлетворяет условиям обратной задачи Дезарга в пространстве, и, следова­ тельно, прямые А0А, В0В, С0С пересекаются в неко­ торой точке Si, а прямые А0АХ, ВйВъ С0Сг — в неко­ торой точке S2, отличной от Sv

Рассмотрим прямую SxS2. Обозначим точку пере­ сечения этой прямой с плоскостью а через S. Рассмотрим теперь прямые AAf и SxS2. Они пересекаются, так

ЗЛПAAttrt» £В-РОПЛ

261

как лежат в одной плоскости (плоскости треугольника

что прямые, соединяющие соответственные вершины

приводит к следующему, более общему результату. Если прямые,

ственных сторон состоит из параллельных прямых, параллельных

шить эту задачу без выхода в трехмерное пространство. Однако все усилия оказались напрасными. Только немецкому математику Гильберту (1862— 1943) удалось показать, что такое доказатель­ ство осуществить нельзя, если не пользоваться равенством от­ резков.

213. Данное уравнение

*4 _ 4 х з — 19хг + 106л:— 120 = 0

9 В. Д. Чистяков

262

или

л:2 (х — 3) + Зл: (х — 3) — 10 (х — 3) = О,

откуда х2 — 3, а остальные два корня находятся из уравнения

л:2 + Зл: — 10 = 0.

Решая это уравнение обычным путем, находим

х3 = 2, х4 — —5.

символики. Он первый стал обозначать неизвестные через х, у, г,

отдавая предпочтение г; ему принадлежит метод неопределенных коэффициентов, который сейчас находит широкое применение. В философии и математике Декарт придерживался аналитичес­ кого метода, согласно которому каждую задачу надо разлагать на ее составные части и затем от самого простого и легкого продвигаться к более сложному.