книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

■224

Эйлер ответил, что это предложение совершенно правильное, но строгого доказательства этому предло­ жению он дать не мог. Со своей стороны Эйлер высказал новое предложение («проблема Эйлера»): каждое четное число, начиная с четырех, можно раз­ бить на сумму двух простых чисел. Flo это утвержде­ ние он тоже доказать не мог.

Заметим, что если бы удалось решить проблему Эйлера, то из нее, как очевидное следствие, вытекала бы справедливость проблемы Гольдбаха. Действительно, любое нечетное число, большее чем 5, можно предста­ вить в виде 2N 4- 1 = 3 + 2 (N — 1), где 2 (N — 1) > 4 .

трех простых слагаемых, и проблема Гольдбаха будет выполняться для всякого нечетного числа, начиная с 7.

Но обратное утверждение, оказывается, не выпол­ няется, т. е. из решения проблемы Гольдбаха нельзя сделать заключения о справедливости утверждения Эйлера. Таким образом, проблема Эйлера значительно труднее проблемы Гольдбаха, что позднее и подтверди­ лось.

Около двух столетий проблема Гольдбаха остава­

казал теорему (теорема Шнирельмана): существует постоянная k такая, что каждое натуральное число,

ным число и тогда непосредственно проверить все меньшие числа. Непосредственную проверку проблемы Гольдбаха проводили Г. Кантор, Абри, Хауснер и др. Проверка показала, что для всех натуральных чисел до 9000000 проблема Гольдбаха для четных и нечет­ ных чисел верна.

Метод Виноградова, с помощью которого он решил проблему Гольдбаха, оказался недостаточным для ре­ шения проблемы Эйлера о представлении четных чисел в виде суммы двух простых чисел.

Проблема Эйлера остается нерешенной до настоя­ щего времени. Не решена до сих пор и проблема Гольдбаха для чет­ ных натуральных чисел (сам Гольдбах такую задачу не ставил), хотя из те­ оремы Виноградова следует, что вся­ кое достаточно большое четное число есть сумма четырех простых чисел (установите самостоятельно).

160.Эту задачу сформулировал в 1750 г. Л. Эйлер

итогда же решил ее, доказав, что пройти последова­

сбергских мостах равносильны требованию одним рос­ черком вычертить фигуру (рис. 46). Советуем убедиться в этом самим.

•228

Следовательно.

Разделив 100 яиц в отношении 3:2, находим, что

у первой крестьянки. Тогда у второй крестьянки число

Р О с с И Я-

229

со Д ЛВС и коэффициент подобия k — у . Исходя из

этого, замечаем, что М — точка пересечения медиан треугольника АВС является также точкой пересечения медиан и треугольника PKR, так как медианы по­ следнего треугольника являются частями медиан первого (исходного) треугольника. Далее заметим, что центр описанной около треугольника АВС окружности (точка О) является ортоцентром треугольника PKR

Пусть И — ортоцентр Д АВС. Соединим точку М с точками О и Н Д ROM со д СНМ и коэффициент

подобия k = ~y (так как рассматриваемые треугольники

составлены из соответственных линий подобных тре­ угольников PKR и АВС, имеющих коэффициент по­

и послужила началом так называемой «геометрии треугольника».

Р О С С И Я -

231

178. Р е ш е н и е В. Г. Б е н е д и к т о в а . «Задача была мудреная. Дочери, идучи на рынок, стали между собой совещаться, причем вторая и третья обращались

куму и совету старшей. Та, обдумав дело, сказала:

—Будем, сестры, продавать наши яйца не десят­ ками, как это делалось у нас до сих пор, а семерками: семь яиц — семерик; на каждый семерик и цену по­ ложим одну, которой все и будем крепко держаться, как мать сказала. Чур, не спускать с положенной цены ни копейки! За первый семерик алтын [трехко­

пеечная монета], согласны?

—Дешевенько,— сказала вторая.

—Ну,— возразила старшая,— зато мы поднимем цену на те яйца, которые за продажею круглых семериков в корзинах у нас останутся. Я заранее проверила, что яичных торговок, кроме нас, на рынке никого не будет. Сбивать цену некому; на оставшееся добро, когда есть спрос, а товар на исходе, известное дело, цена возвышается. Вот мы на остальных-то яйцах и наверстаем.

—А почем будем продавать остальные?— спросила

младшая.

—По 3 алтына за каждое яичко. Давай, да и только. Те, кому очень нужно, дадут.

—Дорогонько,— заметила опять средняя.

— Что же,— подхватила старшая,— зато первыето яйца по семеркам пойдут дешево. Одно на другое и наведет.

Согласились.

Пришли на рынок. Каждая из сестер села на сво­

232

ем месте отдельно и продает. Обрадовавшись дешевизне, покупщики и покупщицы бросились к младшей, у которой было полсотни яиц, и все их расхватали. Се­ мерым она продала по семерику и выручила 7 алтын, а одно яйцо осталось у ней в корзине. Вторая, имевшая три десятка, продала 4 покупательницам по семерику

в гости приехали сыновья ее, которые страшно любят яичницу. Кухарка туда-сюда по рынку мечется: яйца распроданы; всего у трех торговок, пришедших на ры­

давшая за алтын свой единственный семерик. Кухарка спрашивает:

—Что хочешь за свои 3 яйца? А та в ответ:

—По 3 алтына за яичко.

—Что ты? С ума сошла! — говорит кухарка.

Ата:

—Как угодно,— говорит,— дешевле не отдам. Это последние.

Кухарка бросилась к той торговке, у которой 2 яйца в корзинке.

РОССИ я-

233

—Почем?

—По 3 алтына. Такая цена установлена. Все

вышли.

— А твое яичишко сколько стоит?— спрашивает кухарка у младшей.

Та отвечает:

— 3 алтына.

Нечего делать. Пришлось купить по неслыханной цене.

— Давайте сюда все остальные яйца.

И кухарка дала старшей за ее 3 яйца 9 алтын, что составляло с имевшимся у нее алтыном 10; второй заплатила за ее пару яиц б алтын, с вырученными за 4 семерика 4 алтынами это составило также 10 алтын. Младшая получила от кухарки за свое остальное яич­ ко 3 алтына и, приложив их к 7 алтынам, вырученным

они продавали и как, соблюдая относительно цены

данного ею дочерям поручения и находчивостью стар­ шей дочери, по совету которой оно выполнялось; а еще больше осталась довольна тем, что и общая выручка дочерей — 30 алтын, или 90 копеек,— соответствовала ее желанию».