Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

8.09 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

•204

ученый-энциклопедист Авиценна (XI), узбекский мате матик ал-Бируни (XI), таджикский ученый, математик, поэт и философ Омар Хайям (XII), азербайджанский ученый Насирэддин Туей (XIII), узбекский астроном и математик Улугбек (XV).

(Во избежание недоразумений заметим, что все указания к задачам и решения задач арабских матема

тиков даются в современной символике.)							обычным
119.	Решая	эти	квадратные			уравнения	обычным
путем,	получаем:	хг =		хг =
	1)	хг =	0,	хг =	8;
	2)	х, =	6,	х2 =	— 6;
	3)	хх =	7,	хг —3;
	4)	хх =	24,	х2 =	— 12;
	5)	хг =	9,	х2 =
	6)	хг =	12,	х2 =	— 19.
Эта	задача взята из	трактата «Хасиб			ал-джебр ва-мукабала»
выдающегося алгебраиста первой трети IX					в. ал-Хорезми (Муха
мед бен-Муса ал-Хорезми), родом из				Хорезма (ныне Хорезмская
область Узбекской ССР, расположенная					в низовьях Аму-Дарьи
и занимающая основную часть Хорезмского оазиса).
Ал-Хорезми — автор		многих математических трактатов, из ко
торых наибольшую славу имеют два: один по алгебре, из которо
го взята	предложенная	задача, а другой — по арифметике.
Свой	замечательный	трактат по		алгебре		ал-Хорезми	написал

около 830 г. и предназначал его в качестве учебного руководства по алгебре для юношества.

Необходимо заметить, что термин «алгебра» как международ ное название науки произошел от слова «алджебр», т. е. от наи менования математического трактата «Хасиб ал-джебр ва-мука бала».

А Р А Б Ы

205----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Интересно отметить также, что слово «алгоритм», употребля' емое ныне в смысле общего решения любой математической за дачи, произошло от латинизированного имени ал-Хорезми.

120. Прежде всего найдем высоту данного тре угольника АВС (рис. 43):

ВК = "^ 1 0 0 — 36 = 8.

Далее, из подобия треугольников АВС и DBE находим

			л	_	12
		8 — л: ~			8 ’
где х — сторона				искомого квадрата.
Отсюда
121.		Эту			задачу ал-Хорезми
решал	по	формуле «фальшивого
правила», проводя следующие рас
суждения.		Пусть			искомое	число	РИС.	43
равняется		12,	тогда остаток			будет
равен 5	вместо 8,				т. е. на 3	меньше. Если же поло
жить число равным 24, остаток							будет равен	10
вместо	8, т.		е.	на	2 больше.	Тогда
				3 - 24+ 12-2		. _ 1_
					3 + 2	—	5 •

122. Задача решается следующим образом.

Пусть М — 9л + 1, М2 = 81л2 + 18л + 1 = (число,

кратное 9) + 1. Аналогично

206

N — 9п 8, N2 — 81п2+ 144 п + 64 = (число,

кратное 9) + 1.

Прежде чем решать эту задачу, учащимся сооб щается тождество

(а + b f = а2+ 2ab + Ь2.

Автором	данной задачи является таджикский						ученый-энцик
лопедист Авиценна (Абу-Али		Ибн-Сина), много сделавший								для
процветания	науки.. Родился	Авиценна		в	бухарском				селении
Афшана около 980 г. (умер		в	1037 г.).	Уже		в молодости стал
видным ученым и овладел многими профессиями.							Он	был круп
ным астрономом, замечательным			математиком,			видным		химиком
и одаренным врачом-исследователем. Авиценна обобщил достиже
ния своих современников и предшественников,						а также		поставил
и разрешил	новые математические проблемы (задачи). Большую
роль для развития математической науки сыграли комментарии
Авиценны к геометрическим сочинениям Евклида, известным под
общим названием «Начала».
Авиценна во многих вопросах науки				был		новатором,			за что
подвергался	гонениям. Его заключали в тюрьмы,						книги его сжи
гались на кострах.
Историки рисуют Авиценну как человека,						веровавшего в не
победимую силу разума, как борца против слепой веры в религи
озные догмы и авторитет богословов. Д о				нас	дошло только					одно
математическое сочинение Авиценны, посвященное арифметике.
Оно входит	в состав его медицинского трактата						«Книга		исцеле
ния», который хранится в Лейденской библиотеке в Англии.
123.	Ал-Кархи рассуждал так: на основании усло
вия задачи
или	• х (3 +	Г Ъ ) — 1

Злг"+ х ]/" 5 — 1,

207		А Р А Б Ы
откуда	___
	Здс + ) /5 j?	= 1
Далее,	последнее уравнение	можно представить так:
	]/5 л ^ = 1 — Зх.

Возведя в квадрат, получим

5л:2 = (1 + Зл:)2 = 1 — 6л: + 9 л:2.

Отсюда

4л:2 — 6х + 1 = 0.

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь

За искомое число ал-Кархи берет корень

3- / 5

*= — т — •

Обычным приемом задача ал-Кархи решается очень просто. Действительно, из искомого уравнения х (3 + У 5) = 1 сразу получаем


1	З - К ' 5	= 3 — У "5
3 + К 5 - _	(3 + ] Л 5 )(3 - К б-)		4

Ал-Кархи (Абу Бекра Мухаммед Бен-Гассан ал-Кархи) — среднеазиатский математик XI в. Он является автором многих математических трактатов, из которых до нас дошли только два: первый под названием «Все известное в арифметике» («Кафил фил Хисаб»), второй — «Ал-факрн», обширное сочинение по алгебре, являющееся продолжением первого. Второе сочинение озаглавлено в честь тогдашнего правителя, покровителя наук Факр ал-Мулька, умершего в 1017 г.

208

124. Приводим рассуждения ал-Кархи Из послед1 него уравнения

Тогда из второго уравнения с учетом полученного со отношения

100

г =-ТГ-

Следовательно, первое уравнение данной системы при мет вид

2	100	_	10 000
Х +	X*	~	X»

или

jc8 -f- ЮОх4 — 10 000 = 0.

Решая это уравнение как квадратное относительно х*, получаем

X4 = — 50 н- /1 2 5 0 0 .

Следовательно,

x = Y Y /12500 - / 50.

125. Обозначим ширину прямоугольника через х, тогда длина его будет 2х, площадь 2х2, периметр 6*.

Согласно условию задачи,

2х2 = 6х,

а следовательно, х — 3, и искомая площадь равняется

18 кв. ед.

А Р А Б Ы

209

126. Положим - i - = z, тогда данное уравнение примет вид

г2 + 2г =

Прибавляя к левой и правой частям по единице, по лучаем

г* + 2z + 1 = - |-

или

(z + 1)2 = 4 - ,

откуда

г + 1 = ± 4

или

г2 = — 2 1

Следовательно,

*i = 2; х2 = — -§-■

Автором решенной задачи является таджикский ученый, ма тематик, поэт и философ Омар Хайям (1049 — 1123), еще в моло дости проявивший особую склонность к математическим наукам. В своем сочинении «О доказательствах задач алгебры и алмукабулы» он подробно рассматривал решение линейных и квадратных уравнений, а также геометрическое построение корней кубическо го уравнения. Омар Хайям впервые дал способы решения куби ческих уравнений и положил начало приложению алгебры к гео метрии.

210

Омар Хайям известен также своими четверостишиями (рубаи,) которые полны неподдельного лиризма, глубокого социального и философского смысла.

127.Задача решается довольно просто. Если мень

шую	часть	обозначить	через х, то большая часть
будет	х + 5. Согласно		условию	задачи, 2х + 5 =	10.
Отсюда 2х — 5. Следовательно,				меньшая часть	бу
дет 2	а	большая 7 ----

Автором этой задачи является иранский математик XVI в. Бега-Эддин, составитель трактата «Сущность искусства счисле ния» («Коласатал-Хисаб»), из которого и взята данная задача.

128.	Бега-Эддин решал эту задачу					при		помощи
таких рассуждений' обозначим одно число через 10 — х,
	тогда	другое число		будет	10 +		х,	а их
	произведение будет
			100—	= 96,
	откуда
			4	и х =	2.
	Следовательно, большая часть состав
РИС. 44	ляет	10 + 2 = 12,		которую		и	должен
РИС. 44	получить		Заид.				находим
129.	Рассматривая		треугольники (рис. 44),				находим
- f = * + * ; х < Я - г ) = г Л ; х =					rh
- f = * + * ; х < Я - г ) = г Л ; х =					R

211							А Р А Б Ы
211
Следовательно,						R h
			х + h			R h
			х + h		R - Г
					R - Г
130. Решение дается «методом обращения»:
5 0 : 1 0	= 5;	5 - 5	=	25;	25 — 3 =		22; 2 2 : 2 = 1 1 ;
		11	— 2 =		9;	1/~9 =	3,
что и будет служить ответом.
131.	Из	прямоугольного				треу-	с
гольника BED (рис. 45) получаем;
	(х — З)2 +		52 = х2;
х2 — 6х -+- 9 + 25 = х2;
	6х =	34; 2>х=		17;
	17	- 2		(локтей).
* = x		= 5 i r		(локтей).

Ал-Каши (Джамшид Гияс-эддин ал-Каши) — иранский мате матик, составитель двух знаменитых трактатов: «Ключа арифме тики» и «Трактата об окружностях». Даты рождения и смерти ал-Каши точно неизвестны. Полагают, что он родился в третьей или начале последней четверти XIV в. Ал-Каши был не только математиком, но и видным врачом. По свидетельству историков, он руководил крупнейшей обсерваторией в Самарканде, построен ной узбекским астрономом Улугбеком.

В «Трактате об окружностях» ал-Каши дает приближенное вычисление числа я с 17 верными десятичными знаками, пора жая современных ученых методикой расчетов, проводимых с чрез вычайной экономностью и тщательностью.

132. Доказательство ведется методом полной ма тематической индукции.

" ■	'»			.......	................-			-	. 212
1)	Докажем,		что	равенство ал-Каши			выполняется
для п — 1.		Действительно,
		1 = - ± . ( 6 +		1 5 + 1 0 - 1);		1 =	1.
2)	Предположим,			что	равенство	ал-Каши			имеет
место	при	п — k,	т. е.
I* +	24 +	34 +	... +	^4 =	-^-(6йб + 15А4 +			I0k* -k).
3)	Докажем,		что	при	сделанном	предположении

равенство ал-Каши имеет место					при п = k +		1:
I4 +		24 +	З4 +	... + k* + (A + I)4 =
= ^-16(А +	1)6+		15(А +	1)4 + 10(А +		1)» -(А +		1)]. (1)
На основании предыдущего					левую	часть этого			ра
венства можно переписать так:
I4 +		24 +	З4 +	... + A4 + (A +		l)4 =
=	(6A5 +		15A4 + 10A3 — А) +			(А + l)4.			(2)
Остается доказать,			что правые		части равенств		(1) и (2)
равны:
-1- (6А8 + 15А4 +				10А3 -	A) + (A + I)4 =
= JL [6 (A +		I)8 +	15 (A + l)4 +		10 (А + l)3 -		(A +		1)];
6A5 +		15A4 + 10A3 _ A + 30 (A + 1)4 =
= 6(A +	1)8 + 15 (A +			1)4 + 10 (A +		l)3 — (A +		1);
		6A5 + 15A4 + 10A3+ 1 =

213			А Р А Б Ы
213
=	6 ( 6 +	l)5 — 1 5 ( 6 + 1)4 +	1 0 ( 6 + l)3;
665 +	1564 +	1063 + 1 = 66s +	1564 + 1063 + 1.

Последнее равенстзо выполняется, следовательно, вы полняются и все предшествующие, включая и равен

ство (1).	образом, равенство ал-Каши при п — 6 + 1
Таким
выполняется, а следовательно, оно выполняется для
любого п. Это и требовалось доказать.
133.	Решение дается по формуле «фальшивого
правила».

Ученые Арабского халифата еще в XIII в. «фальшивому пра вилу» дали механическое'истолкование под названием «метода чашек весов». Так, арабский математик Ибн-Албанна (1222) в своем трактате «Талкис» писал: «Метод чашек весов — геометри ческий и состоит в том, что ты берешь весы указанной формы и кладешь известную величину над точкой опоры. На одну из ча шек кладешь произвольное число, прибавляешь к нему, что дано тебе прибавить (или вычееть). Полученный результат сравни с тем, что находится над точкой опоры. Если ты попал правильно, то чашка весов дает известную величину. Если же ты не попал, за меть погрешность над чашкой, если результат велик, и под чаш кой, если результат мал. Затем положи на другую чашку другое,


произвольно		выбранное		число,	и поступай таким				же	образом
После	этого	умножь		погрешность		каждой		из чашек		на число,
положенное		на другую		чашку.	Если обе		погрешности			положи
тельны	или обе		отрицательны,		вычитай		меньшую		из	большей,
а также меньшее произведение из						большего		и раздели		разность
произведения		на	разность погрешностей.				Если же		одна погреш
ность положительна, а другая					отрицательна,			раздели сумму про
изведений на		сумму погрешностей».

Само решение приводится в таком виде. Положим вместо х какое-нибудь произвольное число, хотя бы

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3421 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ