книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

196

108.ах + by -f с — ху, с = ху — ах — by\ ab + с =

—ху — ах — by + ab\ ab + с — у (х — Ь) — а(х — Ь) —

=(х — Ь)(у — а).

Чтобы получить х и у в рациональных числах, надо положить х — Ь + п, тогда

109. Индийские математики пользовались еще од­ ним арифметическим приемом, который они широко применяли. Это — «правило обращения», или «правило инверсии». Суть его заключается в следующем: если нужно найти число, которое после ряда операций при­ водит к некоторому известному числу, то для этого необходимо над этим последним числом произвести в обратном порядке все обратные операции.

Решение данной задачи заключается в том, что,

После приведения к одному знаменателю и упроще­ ния получим

хг — 64х = —768.

х— 32 = 16.

Вданном случае, говорит Бхаскара, отрицательные единицы первой части таковы, что единицы второй

Его корнями будут хх = 50 и х2 = 5. В заключение

Бхаскара делает такое замечание: «Так как -i- • 5 — 3

есть число отрицательное, то годится только первое решение».

Но комментатор Бхаскары Кришна Бхатта гово­ рил, что если бы по условию вопроса было сказано: одна пятая часть стаи вычитается из 3, то второе решение, а не первое удовлетворяло бы условию.

112. Уравнение, удовлетворяющее условию задачи, следующее:

~2~ + 4 1/" * + (3 + 3 + 1 = х

После упрощения получаем

х2 - 104* + 400 = 0,

убедиться, что условию задачи удовлетворяет только

где и — V х.

После небольших упрощений получим уравнение вида

7ма — 80и — 48 = 0.

Пользуясь формулой Бхаскары, находим

80 + V 6400 + 1344

и = ----- -—'------------------

14

или

80 + 88 __ 168__ 1 г,

14 — 14 — 1

Следовательно,

хг =ъ м4 = 144.

ИНДИЯ

199

Второй корень Бхаскара не берет, так как он со­ ответствует отрицательному значению и, кроме того, дает дробное значение для х, что не соответствует действительности (дробное число лебедей быть не может).

114. Согласно рис. 40, зада­ чу можно сформулировать так: «Цветок лотоса, основание кото­ рого С при отвесном положении стебля возвышалось над водой

клонился на 2 фута от прежне­ го положения (считая по поверх­

ности воды), при этом вершина

РИС. 40

цветка оказалась на уровне воды. Определить глубину озера в этом месте, т. е. длину отрезка АВ».

Решаем задачу:

или

X2 + х + -7- = X2+ 4,

откуда

* + — = 4-

Следовательно,

200

115. Задача поясняется рис. 41, согласно которому тополь АВ сломан в точке С на высоте 3 футов, и верхушка D в новом положении отстоит от основания

Лна 4 фута. Требуется узнать высоту тополя. Задача решается так:

AB = AC + CD = AC + VAC 2 + AD* =

=3 + 1/9 + 16 = 3 + 5 = 8 (футов).

116.Следуя «правилу обращения», получим:

1 / 4 = 2; 2 + 1 = 3 ; З2 = 9; 9 — 6 = 3; 3 - 5 = 15; 1 5 :3 = 5.

Число 5 и будет искомым.

«Правило обращения», которым пользовались индий­ ские ученые, стало широко известно и за пределами Индии. Позднее им стали пользоваться сначала в стра­ нах Арабского халифата, а потом и в Европе.

117. Воспользуемся современной символикой и по­ кажем, как индийские математики решали уравнение Пелля: сначала, пользуясь произвольными числами хъ

или

у* — ах12 = Ь1;

г/г2 — ах22= Ь2.

ИНДИЯ

201

Путем умножения последних двух уравнений полу­ чали

Так индийские ученые получали реше­ ние в рациональных числах, удовлет­ воряющих данному уравнению. Давая хг и ух произвольные значения, они до­ бивались иногда того, что решения были

вцелых числах.

118.Надо доказать, что

a2 + b2 = D2 и с2 + d2 = D2,

где D — диаметр описанной окружности (рис. 42). Еще в древности Архимеду было известно, что

т2 + п2 + р2 + q2 — D2 (докажите).

Далее, по теореме Пифагора

т2 + р2 — а2 и п2 + q2 = b2.

'202

Следовательно,

а2 + Ь2= D2.

Аналогично

т2+ ф = с2 и л2 + р2 = d2.

Следовательно,

с2 + d2 = D2.