книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике
.pdf■184
Автор рукописи предлагает решать данную задачу «правилом предположения» в его частном виде, когда искомое предполагается равным единице (методом при ведения к единице). Рассуждение ведется следующим образом. Пусть неизвестное равняется единице, тогда первый дал 1, второй — 2, третий — 6, четвертый — 24. Сумма пожертвований будет составлять 33. Теперь разделим 132 на 33. Это и будет искомый результат, т. е. то число, которое дал первый.
88.Согласно условию задачи, будем иметь
п-f 5 = х2\
п— 11 = у2.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем
16 = *2 — у2
или
16 = (х + у)(х — у),
откуда
X + у = |
8, |
|
х |
у = |
2; |
х + |
У = |
16, |
х — у = |
1. |
|
Решая первую систему, получаем
х = 5; у = 3.
Следовательно, искомое число п = 20.
Решая вторую систему, находим
17 15
X = -jp У — ~2~'
индия
185'
Следовательно, п = 67
89. Задача приводит к уравнению
1 |
, 1 |
, о |
Т '* + ~ з ~ л: + 3
Решая это уравнение, получаем х = 15. Следователь но, всего было 15 пчел.
Задача взята из трактата «Сущность вычисления» («Ганитасара») индийского математика Сридхары, жившего в промежутке VI — X вв. (время жизни точно не установлено). Сридхара явля ется автором ряда задач, которые широко использовались индий скими математиками последующих времен.
90. Обозначим через х путь, пройденный до встре чи одним светилом, тогда время, необходимое ему для
прохождения этого пути, будет |
|
путь d — х |
||
За это |
время второе |
светило |
пройдет |
|
и затратит |
на него время |
d ~ х |
'г |
составим |
—- — |
1еперь |
|||
уравнение
хd — х
Vt |
v2 9 |
откуда
Задача взята из трактата «Ариабхатиам» известного индий ского математика конца V— начала VI в. Ариабхаты. Этот трактат
186
посвящен астрономии и математике. В математической части сво его сочинения Ариабхата дает ряд правил по арифметике, алгеб ре, геометрии и тригонометрии, нужных для астрономии и в первую очередь для составления астрономических таблиц. Ариаб хата является автором многих интересных задач по элементарной математике, одна из которых и приводится.
91. Данная задача является задачей на суммиро-
п(п-\- 1)
ванне так называемых треугольных чисел вида-----^-----.
Давая п значения 1, 2, 3, ..., получаем ряд «тре угольных чисел»: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...
Обратив внимание, что сумма двух рядом стоящих «треугольных чисел» всегда представляет точный квад рат, и обозначив любое «треугольное число» через Т, будем иметь:
Тп + Tn_t — я2;
TV-i + |
. = |
(я - 1)2; |
Гз + |
Т2= |
З2; |
Т2+ |
Тх = |
22. |
Сложив все эти равенства, получим
Тп + 2 (Г„_, + Тп_2 + ... + Г2) + 7 \ =
= н2 + ( я - 1)2 + . . . + 32 + 22;
Тп + 2 (Т„_, + |
Тп_2+ |
... + |
Т2) + 7 \ = |
п (п + ’l)(2« + |
1) |
,. |
|
~ |
6 |
|
|
ИНДИЯ
187
|
2{Тп + |
Тп_х + ... + Т , + Тх) = ТХ+ Тп + |
||||||||
|
|
|
|
1- |
n(ra+l)(2n+1) |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Имея |
в виду, |
что 7 \ |
= 1, |
Тп = |
, |
находим |
||||
|
|
|
Тп + Тп_х + ... + Г 2 + Тх = |
|
||||||
|
|
|
1 |
Г я(я+ |
1)(2я + |
1) |
га (га+ 1)1. |
|||
|
|
= |
2 |
L |
|
6 |
|
|
2 |
J’ |
'г I |
т |
I |
|
i t |
_ |
1 |
п (п |
Т~ 0 (2л + 1) + Зга (га -f- 1) |
||
j i ~ r 1 г - г — ~ г 1 п — ~ 2 ------------------------------------------------------- |
|
|
6--------------------------------------------- |
’ |
||||||
|
т |
I т |
|
1 |
| |
т |
1 |
л(л —(—1) (2га -f- 4) |
||
|
J i + 4 + - + % = y |
---------- |
g----------- |
. |
||||||
Тг + Тг + ... + Тп = ?■(га + !>(” + Д
Задача взята из трактата Ариабхаты «Ариабхатиам». 92. Пусть у первого лица будет а вещей и m мо нет, а у второго лица b вещей и р монет. Тогда, обозначив через х ценность вещи, получим уравнение
ах + тп — Ьх + р.
Решая относительно х, находим
р — m
X = ----- г .
а — о
93. Обозначив диаметр круга через dt будем иметь
откуда
ТС 676
225
или тс = 3,00 (4). Погрешность около 4,3%.
Задача взята из древнего индийского сборника «Сулва-сутра» («Правила веревки»), который является самым старым памятником
индийской геометрии, дошедшим до нашего времени. |
|
«Сулва-сут |
|||||||||||||
ра» представляет своеобразную инструкцию о построении жерт |
|||||||||||||||
венников. |
где |
и дается весьма |
ценный |
геометрический |
материал |
||||||||||
в его приложении, т. е. материал, связанный |
с |
описанием форм |
|||||||||||||
жертвенников, |
их размерами |
и необходимой |
ориентацией |
относи |
|||||||||||
тельно стран |
света. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
настоящее |
время известны |
три таких |
сборника. |
|
Авторами |
|||||||||
этих сборников являются Бодгайана (VI |
Или VII |
в до |
н. |
э ), |
Ка- |
||||||||||
тнайана и Апастамба (IV или V в. до н. э ). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Судя |
по этим сборникам, можно |
сделать |
вывод, |
|
что |
по |
|||||||||
меньшей |
мере в VIII в. до |
н. э. индийским ученым |
была |
уже |
|||||||||||
известна теорема о квадрате гипотенузы (теорема Пифагора), т. е. |
|||||||||||||||
задолго до Пифагора, В |
«Сулза-сутре» |
эта теорема формулирова |
|||||||||||||
лась так: |
«Веревка, проведенная наискось в продольном |
квадрате |
|||||||||||||
(прямоугольнике), образует то |
же, |
что |
образует |
вместе |
|
каждая |
|||||||||
отдельная из мер: продольных и поперечных». |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Если |
древнегреческие |
ученые |
пытались |
решить |
|
проблему о |
|||||||||
превращении данного круга в равновеликий |
квадрат |
(квадратура |
|||||||||||||
круга), то индийские математики решают часто обратную |
задачу, |
||||||||||||||
(конечно, |
приближенно), о превращении данного квадрата |
в |
рав |
||||||||||||
новеликий круг. |
|
|
«правило |
Катиайаны»: «Надо разде |
|||||||||||
В «Сулва-сутре» дается |
|||||||||||||||
лить диаметр на 15 равных частей |
и взять 13 таких |
частей |
для |
||||||||||||
стороны квадрата, равного (приблизительно) кругу». |
Это |
|
правило |
||||||||||||
Катиайаны и составляет содержание рассмотренной выше задачи. |
|||||||||||||||
94. |
Пусть h — высота гномона, а и Ь— длина его |
||||||||||||||
тени |
в |
двух |
различных |
положениях, d — расстояние |
|||||||||||
ИНДИЯ
1S9
между основанием гномона в первом положении и основанием его во втором положении (рис. 35).
Обозначив через х искомую высоту свечи, из подо бия треугольников, легко усматриваемого из чертежа, получим
х
x — h
откуда
|
h (a - f |
Ь+ d |
|
|
|
|
|
|
|
|
а + |
Ь |
|
|
|
|
|
Автор |
этой |
задачи — крупнейший |
индийский |
математик и |
||||
астроном |
Брамагупта (род. в 598 г.). |
Сохранился |
только один |
|||||
его астрономический трактат, написанный |
в |
628 г., |
включающий |
|||||
20 книг, |
из |
которых математические — XII |
(арифметика) и XVIII |
|||||
(алгебра). В арифметической книге |
имеется ряд |
глав, посвящен |
||||||
ных вопросам геометрии, там же |
содержится |
и только что ре |
||||||
шенная задача. |
|
|
|
|
|
|
||
95. |
Надо доказать, что |
= BE, где |
|
|||||
BE — диаметр |
описанной |
окружности |
|
|||||
(рис. 36).
Рассмотрим треугольники ADB и ВСЕ, они подобны. Получим
с : h = BE : а,
откуда
РИС. 38
96. Надо доказать, что —^ — (- а = D, где D —
аметр круга (рис. 37). В самом деле,
|
|
•193 |
АС2 = |
ab; |
(1) |
АС = |
|
(2) |
b = |
D — а. |
(3) |
Тогда равенство (1) на основании (2) и (3) примет вид
|
АВА |
a(D — a) |
|
|
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
ABA + а2= Da. |
( 4 ) |
||
|
Разделив левую |
и правую части |
ра |
|
|
венства (4) на а, получим окончательно |
|||
РИС. 37 |
А в а |
, |
п |
|
|
----- Ь а — D. |
|
||
|
4а |
|
|
|
97. Надо доказать, что |
|
|
|
|
a = -i- (D — Y D 2 — АВ2); |
AB2 = 4aD — 4a2 |
|
||
(см. предыдущую задачу). |
|
|
|
|
Далее, |
легко видеть, что |
|
|
|
D2— 4aD + 4а2 = D2 — АВ2; (D -2 a )2 = D2 — AB2;
D _ 2а = У О ^ А В 2;
а = = ^ _ ( 0 - У Т ^ Ж 2).
И++ДИЯ
191
98. Задача взята из трактата «Венец астрономического уче
ния» выдающегося индийского математика XII в. Бхаскары-акария (род. в 1114 г., год смерти неизвестен). Приставка «акария» озна чает мудрец, ученый. Вводная часть трактата состоит из ариф метики — «Лилавати» (в буквальном переводе означает «прекрас ная») и алгебры — «Виджа ганита» («вычисление корней»). Лилава ти, как полагают многие историки математики, — дочь Бхаскары, которой он и посвящает арифметическую часть своего сочинения.
Бхаскара данную задачу решал методом предпо ложения.
Предположим, что искомое число равняется 3, тог
да, по условию задачи |
3 • 5 = |
15, одна треть от 15 |
||||||||
равна 5. |
Поскольку |
15 — 5 = |
10, то при делении 10 |
|||||||
на 10 получим единицу. |
Если |
теперь к единице при |
||||||||
бавить |
|
и |
от 3, |
тогда |
получим 1 |
+ 1 + |
||||
3 |
|
3 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
+ - 2- + — = — , что меньше 68 в 16 раз. |
|
|||||||||
Следовательно, искомое число равняется 3-16 |
= 4 8 . |
|||||||||
99. [ Л о + |
У 24 + |
V 40 + |
/ 6 0 |
= |
|
|||||
= |
} /2 |
+ |
3 + |
5 + |
2 |/2 ^3 + |
2 у 2^5 + 2 /3 7 5 =* |
||||
= |
]/" {У 2 + |
]/" 3 + ]/" 5) |
= ] /" 2 |
+ ] /" 3 - |- |/" 5 . |
||||||
Эта задача взята из трактата Бхаскары-акария «Сид- |
||||||||||
данта-сироман и». |
|
|
|
|
|
|
||||
100. Напишем тождество |
|
|
|
|
||||||
|
\(т2+ |
п2) х]2= |
[(т2 — п2) х]2 + (2 т пх)2 |
|
||||||
и примем |
за |
гипотенузу |
|
|
, |
|
|
|||
(т2 + п2) х,
192
а за катеты
( т 2 — п2) х и 2тпх.
Имея в виду условия'задачи, получим
( т 2 + п2)х = тпхг{тг — па)
или
т 2 + л2 = тп(т2— п2)х,
откуда
__ т2+ п2
Хmh ( т 2 — п2)
Теперь без труда вычислим катеты искомых тре угольников, а следовательно, най дем и сами треугольники
Эта задача взята из тракта та Бхаскары-акария «Венец аст рономического учения».
|
|
101. |
|
Обозначая |
через h — |
||
|
|
длину |
перпендикуляра, |
через |
|||
|
|
d — расстояние |
между |
основа- |
|||
ниями палок, |
через |
х и у — отрезки |
на d (рис. 38), |
||||
правило Бхаскары можно |
записать так: |
|
|||||
, |
тп |
|
dm |
|
dn |
|
|
m + п' |
' т + п ’ |
^ |
т + п ‘ |
|
|||
Действительно, |
d _ л _ ____d_ |
|
|
||||
|
т |
|
|
||||
|
h |
~ Т ’ |
h |
~~ |
х |
|
|
|
|
х |
у — d. |
|
|
|
|
Решая эту систему относительно А, х, у, получим, что нужно.
индия
193
102. Пусть у первого будет 2л:— 100 рупий, а у второго л: + ЮО рупий. Ясно, что первое условие бу дет выполнено. Имея в виду второе условие, находим
6 (2х — 1Ю) = |
л: + 110. |
|
|
|
|||
Решая это уравнение, получаем |
х — 70. |
|
|
40 ру |
|||
Следовательно, у |
первого было 140 — 100 = |
||||||
пий, у второго 70 + |
100 = 170 рупий. |
ах2+ |
Ьх = с |
||||
103. Умножив обе |
части |
уравнения |
|||||
на 4а, получим |
|
|
|
|
|
|
|
4а2л:2 + |
Aabx = |
4ас. |
|
|
|
||
Далее прибавим к обеим частям равенства Ь2\ |
|
||||||
Аа2х2 + |
Aabx + Ь2 = |
Ь2 + 4ас. |
|
|
|||
Так как левая часть обращается |
в квадрат, |
то |
|
||||
2ах + b = У Ь2 + 4ас, |
|
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
Х ~ |
— Ь 4- V ьг 4- 4ас |
|
|
|
|||
|
2а |
|
' |
|
|
|
|
Что касается отрицательных значений корней, то |
|||||||
Бхаскара замечает, что «люди |
не одобряют |
отвлечен |
|||||
ных отрицательных |
чисел». |
|
|
|
|
|
|
1С4. Полагая, что число |
пчел роя |
2л:2, |
получаем |
||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
2л:2 = х 4- |
х2 4- 2 |
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
2л:2 — 9л: = |
18, |
|
|
|
|||
7 В. Д. Чистяков