книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

3) норма

ходьбы на восток будет

7 - 3 = 21;

4) находим «делимое»:

10 • 29

и

10 • 21;

5) А прошел

«по косому направлению» путь

20

2

=

14 _ L

( б у ) .

4

2

(

6) Б прошел

на восток путь

10 • 21 _

21

1

(бУ).

20

—

2

Ю4 -

Обычным путем задача реша­

ется

так:

обозначим

через

к путь,

пройденный

Б на восток, через

у — путь,

пройденный А

на

юг

(причем,

по

условию

задачи,

у =

=

10 бу), через

z — путь,

пройден­

РИС. 2#

ный А

«по

косому

направлению»,

т. е. по гипотенузе полученного пря­

моугольного треугольника

(рис.

29). Тогда

х2 +

102 =

г2

откуда

г +

10

Далее,

'+

ю2

х — 10

173

К И Т А И

или

Л? 4- 100 =

х* — 2 • у . Ч л; + 100;

40л:2— 3 •2 •7 •10е = 0;

2х2— 21л: = 0;

л: (2л: — 21) =0;

2л: — 21=0;

л: = 10~

(бу).

Теперь находим z:

78.

К задаче, как всегда,

дается готовое правило:

«1 чжан

умножь сам на себя,

это «ши»,

половину

избытка умножь самое на себя,

удвой, вычти из «ши»,

возьми половину остатка, извлеки

корень квадратный

из него, из полученного вычти половину излишка, это

и будет ширина двери.

Прибавь

половину

излишка,

это и будет высота двери».

через х,

а длину

Если обозначить ширину двери

ее через

у,

далее

положить,

что

у — х = т («избы­

ток»), а диагональ двери d, то задача сводится к рас­

смотрению системы

сР = х2 +

у2\

т — у — х.

Для

определения х

получаем квадратное уравнение

2 л:2 + 2 тх + т 2 — d2 = 0.

Решая это

уравнение обычным

приемом, находим

2 ±v

4

2

от

2d2—от2

от

79.

Древнекитайское правило

к этой задаче гласит:

«Количество бу, пройденное от северных ворот,

умножь

на

удвоенное количество бу, пройденное

на

запад,

это делимое. Сложи

с

количеством

бу,

пройденным

от

южных

ворот,

это

дополненный

делитель. Из­

х2 + (k +

/х) х — 2 &/2 — 0.

80.

Надо

иметь

в

виду,

что

1

чжан =

10 чи =

100 цуням. Для

составления нужного правила ре­

шения древнекитайские математики,

по

всей

вероятности,

рассматри­

вали два

подобных прямоугольных

треугольника (рис. 31)

Д ABF

и

Д FCD, откуда получали

АВ

х

АВ .

.

АВ (ВС — BF)

BF

~ FC ’

Х ~

‘

BF ’

Х ~

BF

тате:

«Из

5

чи,

диаметра

колодца,

вычти

4 цуня,

что

откладывается

на

диаметре.

Остаток

умножь

на

5 чи,

высоту

шеста,

это

делимое.

Четыре

цуня,

что

отклады­

ваются

на диаметре, есть делитель.

Объе­

дини делимое и делитель, получишь искомое

количество

в цунях».

81.

В трактате

для решения этой зада­

чи дано правило:

«Обвод основания умножь

сам

на себя,

умножь

на высоту,

разделив

на

36,

возьми

1

раз».

РИС. 31

полагая, что те = 3.

82.

Древние китайцы решали эту задачу по тако­

му правилу: «Перемножь верхний

и нижний обводы,

умножь каждый сам на себя, все это сложи, умножь

на высоту, раздели на 36, возьми 1 раз».

Следовательно,

объем

усеченного конуса в древнем

Китае находился

по формуле

'

(Сс + а

+ с2) h

v ~

36

или, полагая те =

3, получим

V

h

Сс +

С2 +

с2

3 ‘

4те

задаче гласит:

«Сложи горизонтальный и

вертикальный катеты, это делитель, пере­

множь

горизонтальный

и

вертикальный

катеты,

это делимое. Объедини делимое и

делитель,

получишь сторону квадрата в бу».

84.

Задачу

можно

иллюстрировать

чертежом

(рис.

32). Решая

эту задачу,

китайский ученый, по-видимому, рассматри­

вал два

подобных треугольника ASAD и

РИС. 32

д £ С Д

откуда делался

вывод, что

179

К И Т А И

4 S

AD

CD ~

ЕС

или

AD ■DC

X = AS

ЕС

Подставляя данные задачи, получаем словесную

формулу

Х ~

1 чжан • 1 чжан

3

цуня

На основании этого древние китайцы давали такое

правило: «Умножь 1 чжан

сам на себя, это

делимое.

Три

цуня

есть делитель. Объедини

делимое

и дели­

тель».

85.

К правилу для решения этой

задачи древние китайцы, видимо,

"

пришли из рассмотрения

подоб-

ных

прямоугольных

треугольников

в

(рис.

33)

AAKN

и /\NLF, от­

куда

АК _

NL

KN ~

LF

х = ND

(ND — FE) BD

DE

высоту уровня

зрения

7

чи, остаток умножь на 53 ли,

это делимое. Расстояние,

на которое удален

человек

от столба в 3

ли, есть

делитель. Объедини

делимое

столба,

это и будет высота горы»

8 6 .

Много сделал для развития прикладной геометрии круп­

определение расстояний до

недоступных

предметов расположен­

ных на острове, причем

точка

наблюдения

находится

вне его

Кроме того, имеется задача

на

вычисление недоступных высот,

расположенных на острове,

наблюдение

над

которыми

ведется

из точек, расположенных

также на острове.

be

+ е\ У

Ьс

d -f с

Т = 7 '

где

а: — высота

сосны;

у — расстояние переднего ше­

ста

до холма;

а — высота каждого

шеста; b — рассто­

яние между шестами;

>с — расстояние точки, располо­

женной позади шеста

и находящейся на одной прямой

с концом переднего

шеста и верхушкой дерева, от

позади

второго шеста (заднего)

и

находящейся на

одной прямой с концом второго

шеста

и верхушкой

дерева,

от основания

шеста;

е — число,

которое

«от­

меряет основание дерева» от

верха переднего шеста (рис. 34).

Необходимо

заметить,

что

многие задачи Лю Хуэя сложны.

Решение своих задач он давал

обычно в виде правил, основан­

ных

главным образом

на рассмо­

трении

подобных

треугольников.

Ввиду

практической

ценности

распростране­

эти

задачи позднее получили

широкое

ние

не

только в самом Китае,

но

и

далеко за

его

8 7 . Эта задача

взята из Бахшалийской рукописи, найденной

в 1881 г. при раскопках в

Бахшали в северо-западной

Индии.

Рукопись выполнена

на березовой коре и относится к

III

или

IV в. н. э. Ученые

установили, что эта рукопись является

не­

полной копией более

древних

рукописей.