книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике
.pdf•164
3)и снова образуй остатки до тех пор, пока не
исчерпается все до количества снопов плохого урожая в левом столбце:
3 о з \ |
/ |
о о з \ |
/ |
|
о о 3\ |
||||||
(6 5 2 1 |
I |
4 5 |
2 I |
I |
20 5 |
2 1 |
|||||
9 |
1 l l |
I |
8 |
1 |
1 I |
1 |
40 |
1 |
1 I |
||
78 |
24 |
3 9 / |
\3 9 |
24 |
3 9 / |
\195 |
|
24 |
3 9 / |
||
/ 0 0 3\ / 0 0 3\ |
|
/ |
0 0 3\ |
||||||||
I 15 5 |
2 | |
( |
10 |
5 2 1 |
|
I |
5 |
5 2 1 |
|||
I 39 |
1 |
I I |
1 |
38 |
1 |
1 I |
|
I |
37 |
1 |
I I |
\ 171 |
24 |
3 9 / |
\ 147 |
24 |
3 9 / |
|
\123 |
24 |
3 9 /54 |
||
4)верхнее число (36) есть делитель, нижнее число
(99)есть делимое для искомого количества снопов плохого урожая;
5)чтобы найти делимое для среднего урожая,
нижнее составляющее среднего столбца умножь на делитель и вычти делимое для плохого урожая. Оста ток объедини с количеством снопов среднего урожая, это и будет делимое для среднего урожая.
Таким образом, «делимое» для у будет
5
К И Т А И
165
6) чтобы найти делимое для хорошего урожая, нижнее составляющее количество первого столбца
также умножь |
на |
делитель, |
|
исключи |
делимое для |
|
плохого урожая |
и среднего урожая, объедини остаток |
|||||
с количеством снопов хорошего урожая, |
это |
и будет |
||||
делимое для хорошего урожая. |
|
|
|
|||
В соответствии |
с этим «делимое» для х будет |
|||||
|
39 • 36 — 99 — 2А |
D |
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
7) все делимые объедини |
с |
делителем, получатся |
||||
искомые количества в доу. |
Следовательно, |
будем |
||||
иметь: |
|
|
|
|
|
|
~ ж ~
А
у ~ 36 - =
В
Х ~ 36 - -
II |
(N |
. |
1 |
4—
л1
9 4
14 * ( д о у ) ; .
( д о у ) ;
72.К этой задаче автор трактата дает два пра
вила.
Первое правило: «Составь таблицу «фан-чэн», уста нови для каждого то, чего не хватает. По способу «чжэн-фу» вычисляй».
Сводим задачу к решению системы уравнений
2х = 1 — у\
Зу = 1 — 2; 4г = 1 — х
|
|
|
•166 |
или к канонической форме |
|
|
|
2х + |
у = |
1; |
|
Зу + |
z — 1; |
||
4z + |
х = |
1. |
|
Соответствующая таблица «фан-чэн» будет |
|||
1 |
0 |
2 |
|
0 |
3 |
1 |
|
4 |
1 |
О |
|
1 |
1 |
1 |
|
В самом начале таблицы уже есть |
нули |
(пустые |
||
места). |
|
т. е. правило |
сложе |
|
Второе правило — «чжэн-фу», |
||||
ния и вычитания |
отрицательных чисел: |
«Если |
одина |
|
кового названия, |
то вычитается, |
если |
разного |
назва |
ния, то прибавляется; если положительное без пары, то становится отрицательным, если отрицательное без пары, то становится положительным».
Это правило для вычитания в современных симво лах может быть записано так:
(+ а) — (+ Ь) = + (я — Ь)\
( ± а ) - ( + b) = ± { а + Ь)]
о — ( + 6) = — Ь)
О- i - b ) = + b.
Для сложения правило формулируется следующим образом: «Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то прибавляется; если положи
К И Т А И
167
тельное без пары, то становится положительным, если отрицательное без пары, то становится отрицатель ным».
В современной алгебраической записи все это мож но записать так:
|
(± а ) |
+ (+& )= ± (а — Ь) \ |
|
|
(± a) + (± b )= + (а + Ь)\ |
|
|
|
О+ (+ Ь) — - \ - Ь \ |
|
|
|
о + (-& ) = - Ь . |
|
|
Вот эти правила и составляют суть правила «чжэн - |
|||
фу». «Чжэн» |
означает прибавляемый, «фу» |
— вычитае |
|
мый; такие |
числа |
обозначались разными |
цветами: |
чжэн — красным, фу — черным.
Применяя правило «фан-чэн» к поставленной выше
задаче, надо от расширенной матрицы перейти |
к со |
ответствующим матрицам с нулями. Здесь для |
дан |
ной задачи и появляются отрицательные числа |
(коэф |
фициенты ступенчатой системы): |
|
/1 0 |
2\ |
/2 0 2\ |
/ |
0 0 2 \ |
|
031I |
I 031I |
1 |
-131| |
||
4 1 |
О I |
1 8 1 О I |
8 |
1 О I |
|
\1 1 |
1 / |
\2 1 1 / |
\ |
1 |
1 1 / |
73. В трактате дается такое правило: «Установи таблицу «фан-чэн». Установи, что вещи, веса которых превышают дань (веса данных снопов), отрицательны. Вычисляй по способу «чжэн-фу».
Задача сводится к решению системы
•168
2х = 1 + у; Зг/ = 1 + z; 4z = 1 + х.
Ее каноническая форма
2х — у = 1; Зу — z = l ; 4г — х = 1.
Соответствующая таблица
74.В трактате к задаче дано такое правило: «Со
ставь таблицу «фан-чэн». |
Установи, |
что 2 буйвола, |
|||||
5 баранов положительны. |
13 |
свиней |
отрицательны, |
||||
остаток цяней положителен. Еще установи, |
что 3 буй |
||||||
вола положительны, |
9 баранов отрицательны, 3 свиньи |
||||||
положительны. Еще |
установи, |
что 5 |
буйволов отри |
||||
цательны, 6 баранов положительны, 8 |
свиней положи |
||||||
тельны, недостаток |
цяней |
отрицателен. |
Вычисляй по |
||||
способу «чжэн-фу». |
|
|
|
|
|
|
стоимости |
Обозначив через х, у, г соответственно |
|||||||
буйвола, барана и свиньи, |
сведем |
задачу |
к |
решению |
|||
системы |
|
|
|
|
|
|
|
2х + |
Ъу — 13z + |
1000; |
|
|
|
||
Зх |
3z — 9у\ |
|
|
|
|
|
|
6у 4- 8z = |
Ъх — 600, |
|
|
|
|||
169 |
|
|
|
|
|
К И Т А И |
|
|
|
|
|
|
|
где 1000 — остаток |
дяней |
от |
продажи 2 буйволов, |
|||
5 баранов |
и покупки |
13 |
свиней; |
600 — недостаток |
||
цяней от |
продажи |
6 |
баранов, |
8 |
свиней, покупки |
|
5буйволов.
75.К задаче в трактате дается такое указание: «Составь таблицу «фан-чэн», вычисляй по способу «чжэн-фу». Других указаний к рассматриваемой задаче не имеется.
Данная задача, как легко видеть, сводится к си стеме из 5 линейных уравнений с шестью неизвест ными. Эту систему можно записать так:
2х + у = т; Зу + г = т\ 4г + и — т\ 5и + v = т\ 6v + х = т
Здесь неизвестными |
являются |
х, |
у, |
z, |
и, |
V, т. |
||
Причем, согласно ответам т, берется |
с таким расчетом, |
|||||||
чтобы целые положительные |
значения |
х, |
у, |
г, и, v |
||||
были наименьшими. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Основная матрица полученной системы: |
|
|
||||||
1 |
0 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
6 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
т т т т т
■170
матрица с нулями:
|
, |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
2. |
|
|
( |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
Л |
|
|
|
|
0 |
0 |
4 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
5 |
1 |
0 |
0 |
|
|
к 721 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
0 / |
|||||||
Следовательно, |
4 76т т |
т т |
т/ |
|||||
|
|
|
|
721т--7 6 m 129 |
||||
76 |
; |
|
и = |
1 |
||||
^ 721 |
|
|
|
721 |
НИ |
5 |
|
— 721 т ' |
2 = |
148 |
т\ |
у |
|
|
265 |
||
721 |
|
721 Щ Х ~ |
721 т' |
|||||
причем т нужно |
положить равным |
721. |
||||||
76. Трудно указать время, когда китайцы впервые стали пользоваться «законом о катетах и гипотенузе», т. е. теоремой Пифагора, но достоверно известно, что знакомы они с нею очень давно. Как свидетельствуют летописи, для прямоугольного тре угольника со сторонами 3, 4, 5 теорема Пифагора была известна
вдревнем Китае около 2200 лет до н. э.
В«Математике в девяти книгах» теорема Пифагора употреб
ляется под видом правила «гоу-гу». Согласно этому правилу, мож но по известной гипотенузе и одному известному катету находить
другой неизвестный |
катет, |
а также |
гипотенузу, если известны |
|
оба катета. |
|
|
так: «Умножь сам |
на себя |
Правило «гоу-гу» формулируется |
||||
каждый из катетов, |
сложи, |
извлеки |
из этого квадратный |
корень, |
это и будет гипотенуза. Так же: умножь сам на себя вертикаль ный катет, вычти из умноженной самое на себя гипотенузы, из влеки из остатка квадратный корень, это и будет горизонтальный катет. Так же: умножь сам на себя горизонтальный катет, вычти из умноженной самое на себя гипотенузы, извлеки из остатка квадратный корень, это и будет вертикальный катет».
К И Т Л И
171
Термины «гоу» и «гу» обозначают катеты прямоугольного треугольника, причем «гоу» — горизонтальный, обычно меньший катет, а «гу» — вертикальный и обычно больший катет. В бук вальном переводе «гоу» означает крюк, а «гу»— ребро, связка.
Правило «гоу-гу» применяется ко всем 24 задачам девятой книги трактата «Математика в девяти книгах», поэтому и сама девятая книга называется «Гоу-гу».
В трактате для решения предложенной задачи дается правило: «Половину стороны водоема умножь самое на себя, надводную часть в 1 чи умножь самое на себя, вычти это из первого, остаток раздели
на удвоенную надводную часть ка |
|
мыша, получишь глубину воды. При |
|
бавь количество надводной части (в чи), |
|
получишь длину камыша». |
|
Самого решения трактат не содер |
|
жит. Это решение легко выполнить |
|
в общем виде при помощи таких рас- |
РИС. 27 |
суждений.
Обозначим длину водоема через 2а, длину камыша
через с (рис. 27). Задача |
заключается |
в нахождении |
|||
b и с. Руководствуясь китайским |
правилом, находим |
||||
формулы для определения искомых величин: |
|||||
а 2 — (с — b f . |
|
||||
~ |
2 (с — Ь) |
’ |
|
||
с — Ь -+- (с — Ь) |
а 2 + |
(с — й)2 |
|||
2 ( с - й ) |
• |
||||
|
|
||||
Вывод правила в трактате не дан, поэтому трудно сказать, каким путем древнекитайские математики установили последние формулы.
-172
Однако к этим формулам можно легко прийти обыч ными рассуждениями. Исходя из условий задачи и применяя правило «гоу-гу», т. е. теорему Пифагора, получаем систему
Ь = с — k\
Ь2 — с2— а2,
где для краткости |
|
через |
k обозначена |
известная |
нам |
||||
надводная |
часть, |
равная |
с — Ь. |
Решая |
эту |
систему, |
|||
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 — к2 |
|
|
|
|
г--------- Э, |
|
|
|
2к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
С = |
а2 + |
ft2 |
|
|
|
в 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2k |
|
|
|
|
|
Ш ) |
где |
k = с — Ь. |
|
|
|
|
|
||
|
|
«Математике в |
|||||||
|
|
|
В комментариях к |
||||||
в(С-в) |
девяти книгах» |
Лю |
Хуэй |
довольно |
|||||
|
убедительно объясняет, |
каким путем |
|||||||
РИС. 28 |
древние китайцы получили правило, |
||||||||
|
сводящееся к двум последним фор |
||||||||
мулам. Он |
считает, |
что эти формулы, |
записанные в |
||||||
словесной форме, получены на основе геометрических |
|||||||||
соображений. По-видимому, древнекитайские ученые в |
|||||||||
данном случае пользовались таким чертежом (рис. |
28). |
||||||||
Прежде |
всего |
по правилу «гоу-гу» |
имеем |
|
|
||||
а2 = с2— Ь2.
173 |
|
|
|
|
|
К И Т Л И |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, из чертежа получаем |
|
|
|
|
||||
а2 = с2— 62 = (с — b f + 2Ь (с — Ь) |
|
|
||||||
или |
а2 = (с — b f + 2Ь (с — 6), |
|
|
|||||
откуда |
|
|
||||||
|
_ |
аг — (с — &)2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 (с— 6) ' |
|
|
|
||
77. |
Эту задачу |
древнекитайский математик |
в трак |
|||||
тате рекомендует решать по такому правилу: «7 умножь |
||||||||
само на себя, 3 тоже |
умножь |
само |
на себя, |
сложи |
||||
и возьми половину. Возьми это в |
качестве |
нормы |
||||||
ходьбы А по косому направлению. Вычти из 7, умно |
||||||||
женного само на себя, норму ходьбы |
по косому |
на |
||||||
правлению, |
остаток |
является |
нормой |
ходьбы |
на |
юг. |
||
3 умножь |
на 7, эта |
норма ходьбы Б на восток. 10 бу |
||||||
ходьбы на юг умножь на норму ходьбы А по косому |
||||||||
направлению, 10 бу |
умножь |
на |
норму |
ходьбы |
Б |
на |
||
восток, каждое есть делимое. Объедини делимое и |
||||||||
норму ходьбы на юг. |
получишь |
для каждого |
количе |
|||||
ство пройденного».
Пользуясь этим правилом, задачу можно решить
довольно просто: |
А «по косому |
1) находим сначала норму ходьбы |
|
направлению»: |
|
2) определяем норму ходьбы А на |
юг: |
7 * - ^ - 2 0 ; |
• |