книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике
.pdf---------------------------------- -------------154
64. Условия задачи приводят к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными:
а + Ь + с = р\
а2 |
= с2; |
ab = 25, |
|
где а, Ь, с — стороны; |
р — периметр; 5 — площадь |
данного треугольника. |
|
Из второго и третьего уравнений находим
(а + Ь)г == 45 + с2, |
|
|
откуда |
|
|
(р — с)2 = |
45 + с2. |
|
Решая относительно с, получаем |
|
|
с = р2 — 4S |
|
|
|
2Р |
|
Учитывая первое уравнение, будем иметь |
|
|
а + b = |
p2 + 4S |
|
|
2Р |
|
Присоединяя к этому уравнению третье, |
значения а |
|
и b определяем как корни квадратного уравнения |
||
*2-- Pi±i^-* + 2S =0. |
|
|
2р |
|
|
Трактат «Начала искусства вычисления» опубликован в 1593 г. |
||
В нем важнейшие правила, вероятно, для лучшего |
запоминания |
|
даются в стихотворной форме. По-видимому, это сочинение в свое время было принято как учебное руководство в школах по эле
К И Т А И
155
ментарной математике. Содержание книги дает хорошую картину состояния китайской математики вплоть до конца XVI в.
65. Сунь-цзы решает свою задачу по такому пра вилу: «При делении на 3 остаток есть 2, поэтому возьмите 140. При делении на 5 остаток есть 3, по этому возьмите 63. При делении на 7 остаток есть 2, поэтому возьмите 30. Сложив их вместе, получим 233.
Из этого легко вычтите 210, и мы получим ответ».
Задачу Сунь-цзы можно решить простыми приема ми. Она сводится к системе
х= Зу -f- 2;
х= 5г + 3;
х= 7и. + 2
или
Зу + 2 = 5z + 3 = 7ы + 2,
откуда
3y = 7w, i/ =
Полагая и = 3/, где / — некоторое целое число, полу' чаем
II
Тогда
л: = 21/ + 2,
следовательно,
21/ + 2 = 5z + 3 или 21/ — 5z = 1.
>156
Путем подбора находим одну пару корней последнего неопределенного уравнения: t= 1, г = 4. Общие фор мулы корней этого уравнения будут
|
|
|
t = |
1 + |
5<7; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
4 + |
21*7, |
|
|
|
|
|
|
где <7= |
0, 1, |
2, ... |
|
|
|
х = 23 + |
|
|
|
|
|
Так |
как |
х = |
21/ + 2, |
то |
105<7, |
где |
|||||
<7= 0,1,2,... Наименьшее значение х будет |
при q = 0, |
||||||||||
т. е. х = 23; при |
q = 1 х = |
128; |
при q = 2 |
х = |
233; |
||||||
при q = |
3 х = |
338 и т. д. |
в трактате |
дается |
прави |
||||||
66. |
Для решения задачи |
||||||||||
ло: «Установи, что количество чи в 10000 |
ху |
проса, |
|||||||||
ссыпанного в амбар, есть делимое. Перемножь |
шири |
||||||||||
ну и длину — это делитель. Делимое и делитель |
объ |
||||||||||
едини, получишь высоту в чи». |
|
|
|
|
|
|
|||||
При решении задачи надо иметь в виду, что 1 чжан = |
|||||||||||
= 10 чи, 1 ху = 51,775 литра, 27 чжан8 = |
ЮОООху. |
||||||||||
67. Для решения задачи составитель трактата |
вы |
||||||||||
водит правило: |
«4 |
шэна, |
разделенных |
на |
3 |
нижних |
|||||
колена, составляют нижний коэффициент; 3 шэна, разделенные на 4 верхних колена, составляют верхний коэффициент. Из большего нижнего коэффициента вычти верхний меньший, остаток есть делимое. Сумму половин 4 колен и 3 колен вычти из 9 колен, остаток является делителем. Объедини делимое и делитель, получишь искомое количество в шэнах, т. е. на столь ко отличается каждая ступень от соседней. Нижний коэффициент, т. е. 1 с малой половиной шэна, есть объем второго снизу колена».
К И Т Л И
157
Согласно этому правилу, можно провести неслож ные вычисления:
1) -------Т ~ 1 2 — Разность между «верхним» и «нижним» коэффициентами, что составляет делимое;
п. |
_ |
4 |
3 |
|
И |
|
|
делитель; |
|
2) |
9 ---- g-------2~ = ~2~ составляет |
||||||||
|
7 |
11 |
7 |
|
|
|
|
|
|
3) и • |
~2~ ~ 66 |
~ |
Т' |
е‘ |
то числ0> на |
какое от' |
|||
личается каждая ступень от соседней; |
|
||||||||
4) |
тогда |
второе |
|
снизу |
колено |
будет |
составлять |
||
4 |
1 |
(шэна). |
Теперь |
без |
труда можно наити |
||||
-j- = |
1-д- |
||||||||
вшэнах и другие восемь колен.
68.Составитель трактата рекомендует данную за
дачу решать |
по правилу: «Предположим, |
что вес слит- |
ка золота |
3 цзиня, тогда вес слитка |
5 |
серебра 2ур |
цзиня, недостаток равен 49 в правой строке.
Предположим, что вес слитка золота 2 цзиня,
•J
тогда вес слитка серебра 1-jy цзиня Избыток 15 в
левой строке. Каждый знаменатель умножь на коли чества, содержащиеся в этих строках. Избыток и не достаток умножь крест-накрест на предположенные нормы, сложи — это делимое. Сложи избыток и недо статок— это делитель. Объедини делимое и делитель, получишь вес слитка золота. Знаменатель умножь на делитель, раздели на него делимое, получишь вес слитка серебра. Сократи, получишь искомую дробь».
Самого решения в трактате не дается. Руковод
|
|
|
|
|
|
■156 |
ствуясь приведенным правилом, |
решение задачи можно |
|||||
выполнить при помощи таких рассуждений. |
16 |
ланам, |
||||
Прежде |
всего заметим, |
что |
1 цзянь = |
|||
а 1 лан = |
24 чжу. Обозначим теперь |
вес |
слитка зо |
|||
лота через |
х, а вес слитка серебра через г; задача |
|||||
сводится к |
решению системы |
|
|
|
|
|
|
9х = |
11г; |
|
|
|
|
|
13 -f 8x -f z = Юг + х. |
|
|
|||
Будем решать эту систему по правилу двух |
лож |
|||||
ных положений. |
|
*j = 3 цзиням. |
Тогда |
|||
Первое ложное положение: |
||||||
* 1 в |
Т Г = ~ Т Г = |
1Т = |
2 т г |
( ч з и н я м ) - |
|
|
Находим теперь «недостаток в правой строке», обозна
чив его |
через |
yt: |
|
|
|
|
|
У1 |
( J | + 8 . 3 + 2 A ) _ ( , 0 . 2 ^ + 3 ) - |
||||||
|
= |
27 |
47 |
27 • |
96 |
49 |
|
|
|
|
1 1 - 1 6 ' |
|
11 . 16 |
11 • 16- |
|
Второе |
ложное положение: х2 = |
2 цзиням. |
В этом |
||||
случае |
z2 = 1 |
7 |
и |
«избыток |
в левой |
строке» |
|
ур цзиня |
|||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
У» = ( if + |
1 7Г + 8 ’ 2) — (10 ‘ 1 7Г + 2) = |
|||
= 18 |
79 |
18 • |
64 |
15 |
1 1 - 1 6 ' |
11 -1 6 |
11 • 16- |
||
К И Т Л И
159
Далее предполагается, что уг и уг вместе с хх и х2 записаны по китайскому способу
(х% ХЛ
\Уш yJ'
где левая колонка составляет «левую строку», а пра вая колонка — «правую строку». Из этой таблицы, согласно правилу, получаем
|
49 |
о |
15 |
|
|
|
|
|
|
2 ' П • 16 + 3 ‘ 11 • 16 |
2 • 49 + 3 • 15 |
|
|||||||
* — |
49 |
15 |
|
4 9 + |
15 |
— |
|
||
11 • 16 + |
11 |
- 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
143 |
|
„ |
15 |
, |
. |
|
|
|
|
= “ 6 Г = |
2 ~бГ |
(цзиня)- |
|
|
|
|||
Следовательно, х = 2 цзиням |
3 ланам 18 чжу. |
|
|||||||
Вес слитка серебра определяется очень просто. Для |
|||||||||
этого делимое |
143 |
надо |
разделить |
на |
произведение |
||||
делителя 64 |
и знаменателя |
Тогда |
получаем |
|
|||||
х |
143 |
|
13 • 9 |
117 |
, |
53 |
, |
. |
|
|
|
|
64 |
|
I T “ |
1 |
64 |
<ЦЗИНЯ>- |
|
Следовательно, окончательно г = 1 цзиню 13 ланам
6чжу.
69.Составитель трактата для решения этой задачи
предлагает такое правило: «Предположим, что через 15 дней, тогда недостаток равен 337 с половиной ли.
Предположим, что |
через 16, |
тогда |
избыток равен |
140 ли. Избыток и |
недостаток |
умножь |
крест-накрест |
■160
на предположенные количества, сложи — это делимое. Сложи избыток и недостаток — это делитель. Объеди ни делимое и делитель, получишь искомое количество дней. Если разделится не до конца, то сократи на общий делитель и обозначь делитель».
За л целых дней рысак пробежит
|
193 + (193 + 13) + (193 + |
2 • |
13) + |
... + |
||||||
+ |
[193 + (л — 1) 13] = |
193л + |
|
13 + 2 • |
13 + ... + |
|||||
+ (п — 1) 13 = |
193л + |
13 [1 + 2 |
+ |
... + ( п — 1)] = |
||||||
|
= 193л + 13 • |
п(п~ |
1)- |
(ли). |
|
|
||||
За это же число дней |
кляча пробежит |
|
|
|||||||
|
97 + (97 - |
4 - ) |
+ |
(97 - |
2 • -1-) + |
. . . + |
||||
+ |
97 — (л — 1)—g—J = |
97/г---- ^ - [ 1 + 2 |
+ . . . + |
|||||||
|
+ (п — 1)] = 97л — 4 |
• |
П(П2 1)- |
(ли)- |
||||||
За указанное число дней рысак |
и кляча |
пробегут |
||||||||
вместе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193 п+ 13 . |
|
|
+ 97л — 4~ • --(п2 |
1} |
||||||
= 290л + 6 -j- (л2 — л) (ли),
что должно составить 6000 ли.
К И Т А И
161
Далее, придерживаясь указанного выше правила, задачу продолжаем решать методом двух ложных по ложений.
При я = 15 недостаток равен 6000 — 5662 ~ —
= 337 у (ли); при л = 1 6 избыток составляет 6140 —
— 6000 = |
140 (ли). |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
время |
встречи |
через х |
и предполагая, |
||||
что на протяжении дня скорости |
не менялись, |
полу |
||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
135 |
|
||
X = |
15 • 140 -f- 16 • 337 - у |
|
|
|||||
---------------------;--------- = |
15 ш |
|
(дня)- |
|
||||
|
|
140 + |
337 у |
|
|
|
|
|
Теперь |
не |
составляет большого труда найти, |
столь- |
|||||
ко ли пройдут рысак и кляча |
за |
, с 135 |
дня. |
|
||||
15 щ |
|
|
||||||
Из анализа решения рассматриваемой задачи видно, что составитель трактата должен владеть формулой суммирования арифметической прогрессии 1 -f 2 -f- 3 -f-
(1 4- п) п
-f я = v— —, хотя в самом трактате она не
упоминается.
70. Эта задача в трактате решается правилом «фанчэн», с которым мы познакомимся дальше.
Очевидно, вопрос сводится к системе уравнений
5х + 2у = 10;
2х + Ъу = 8.
6 В. Д. Чистяков
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•162 |
71. |
|
Задача взята из восьмой книги трактата. Для ее |
||||||||||||||
решения |
(решение в трактате |
не приводится) |
состави |
|||||||||||||
тель рекомендует применять правило «фан-чэн»: |
«Рас |
|||||||||||||||
положи |
3 |
снопа хорошего |
урожая, |
|
2 |
снопа |
среднего |
|||||||||
урожая, |
1 |
сноп |
плохого |
урожая, |
составляющие |
их |
||||||||||
39 доу зерна с |
правой стороны. Расположи посередине |
|||||||||||||||
и слева количество снопов урожаев в таком же поряд |
||||||||||||||||
ке, как |
и с правой стороны. |
Числа |
среднего |
столбца |
||||||||||||
умножь на количество снопов хорошего урожая в пра |
||||||||||||||||
вом столбце и |
образуй остатки. |
И |
еще |
раз так жа |
||||||||||||
образуй |
остатки до тех пор, пока |
не |
исчерпается |
все |
||||||||||||
до количества снопов среднего урожая в среднем |
||||||||||||||||
столбце. |
И снова |
образуй |
остатки |
|
до тех пор, пока |
|||||||||||
не исчерпается все до количества снопов плохого уро |
||||||||||||||||
жая в левом столбце. |
Верхнее |
число есть |
делитель, |
|||||||||||||
нижнее число есть делимое, делимое для искомого |
||||||||||||||||
количества снопов плохого урожая. |
|
Чтобы |
найти |
де |
||||||||||||
лимое для среднего урожая, нижнее составляющее |
||||||||||||||||
среднего |
столбца |
умножь |
на делитель |
и |
вычти |
дели |
||||||||||
мое для плохого урожая. |
Остаток |
|
объедини |
с |
коли |
|||||||||||
чеством снопов среднего урожая, это и будет делимое |
||||||||||||||||
для среднего урожая. |
Чтобы найти делимое для хоро |
|||||||||||||||
шего урожая, нижнее составляющее количества право |
||||||||||||||||
го столбца также умножь на делитель, исключи дели |
||||||||||||||||
мые для плохого урожая и среднего урожая, объедини |
||||||||||||||||
остаток с |
количеством |
снопов |
хорошего |
урожая, |
это |
|||||||||||
и будет делимое для хорошего урожая. |
Все |
делимые |
||||||||||||||
объедини с делителем, |
получатся |
искомые количества |
||||||||||||||
в доу». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача |
сводится к |
решению системы |
|
|
|
|
|
|||||||||
К И Т А И
163
2>х -(- 2у -(- z = 39; 2х + Зг/ + г = 34; х + 2 у -f- Зг = 26.
В китайской записи |
это |
выглядит так: |
1 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
1 |
1 |
26 |
34 |
39 |
Далее, согласно правилу, проводятся следующие преобразования этой таблицы:
)) числа среднего столбца умножь на количество снопов хорошего урожая в правом столбце и образуй остатки:
/ 1 |
6 |
|
3 \ |
) |
2 |
9 |
|
2 |
|
3 |
3 |
1 |
3 9 / |
|
\2 6 |
102 |
|
||
2) и еще раз также образуй остатки до тех пор, пока не исчерпается все до количества снопов сред него урожая в среднем столбце:
/ 1 |
3 |
3 \ |
/ |
1 |
о |
3 \ |
2 |
7 |
2 ) |
I |
2 |
5 |
2 1 |
3 21I |
1 3 1 1I |
|||||
\26 |
63 |
39/ |
\2 6 |
24 |
39/ |
|
6*