книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

ГР £ ЦИЯ

135

Следовательно,

S2 — St = dn2,

вопросами геодезии. Герону принадлежит математический трактат «Метрика», где он дал правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубичес* ких корней, а в геометрическом отделе — формулы приближенных расчетов разных геометрических фигур (площадей и объемов), где между прочим приводится и знаменитая формула для вычис­ ления площади треугольника по его сторонам.

40. Обозначим стороны искомого треугольника че­ рез х — 1, х, х + 1. Тогда площадь SA найдется по формуле Герона:

SA = У р ( р - а ) (р — Ь) (р — с).

Для рассматриваемой задачи

р = -2~; р - а = -2— 1-1; р — Ь = Т ’

136

S- = V Ч ( x + O - s - i- r - 1)'

SA — f / з ( 4 - 1 ) ,

где ~y = m — целое число.

ГР£Ц,ИЯ

137

41.Действительно, непосредственной проверкой

Теперь установленному факту дадим общее доказа­ тельство. Число членов в п — 1 первых групп состав­ ляет

1 + 2 + 3 + ... + ( л — 1) = п{п2 1}-.

Последнее число в ( п — 1)-й группе равно п(п— 1)— 1. Тогда первое число в n-й группе будет

п(п — 1) — 1 + 2 — п{п — 1) + 1 = п2— п + 1,

а последнее число этой же группы

п2— п + 1 4- 2 (л — 1) = п2+ п — 1.

Следовательно, сумма членов п-й группы равна

■138

42. Надо доказать, что

ЛЯ • CD + AD • ВС = АС ■BD.

Построим угол КВС, равный углу ABD (рис. 23), тогда А АВК ю д BCD, так как Z АВК = Z DBC (равносоставленные) и Z ЯЛС = Z BDC (опираются на одну и ту же дугу). Отсюда

ЛЯ • CD + Л£> • ЯС = ЛС • fiD,

что и требовалось доказать.

140

Положим теперь

Сложив последние два уравнения, найдем

лг = 5 —{- z.

Произведя вычитание этих же уравнений, будем иметь

У = 5 — z.

Тогда

*2 + У2 = (5 + г)2 + (5 — г)2

или

х2 + у2= 50 + 2г2.

Принимая во внимание второе уравнение данной си­ стемы, получаем

142

После возведения в квадрат первого равенства, полу­ чим

или, прибавив по единице к левой и правой частям равенства, найдем, что

- * + * . = Ю

у2

откуда

х2+ у2 = Юг/2.

Тогда второе равенство системы можно представить так:

Юу2 = 5 х + у

или

Юг/2 = 5 (а: + у ) .

Имея в виду, что х = Зу (согласно первому равенству системы), получим

Юг/2 = 5 (3у + у);

Юу2 = 20у,

откуда у = 2. Следовательно, * = 6.

49. Вопрос сводится к решению системы

(х -(- у ) 2 = 3 5 ;

ГР £ Ц И Я

143

Вычитая второе уравнение из первого, находим xz — ху = 8.

Складывая полученное уравнение с третьим, будем иметь

xz = 20.

50.Представим первое число в виде произведения х

8ж (х2— 1) + 8х = 8х3.

Далее, по второму условию произведение искомых чисел, сложенное со вторым, должно равняться также кубу некоторого числа. Для этого требуется, чтобы

8х(х2 — 1 ) + * 2— 1

было кубом некоторого числа.