книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике

■124

перпендикулярные прямые т и п, пересекающиеся в точке О (рис. 19). На прямой т вправо от точки О отложим отрезок ОС = а (а — сторона куба, подле­ жащего удвоению). На прямой п вниз от точки О отложим отрезок 0D = 2а. Теперь возьмем два пря­ моугольных плотничьих наугольника (на чертеже за­ штрихованы) и расположим их так (см. рис. 19), чтобы сторона первого наугольника проходила через точ­ ку С, которая считается данной, а вершина его нахо­ дилась на прямой п; чтобы сторона второго науголь­ ника проходила через точку D, которая также счита­ ется данной, а вершина находилась бы на прямой т\ остальные две стороны наугольников должны соприка­ саться.

При таком расположении двух наугольников по данным точкам С и D найдем на прямых т и п точ­ ки Л и В. Тогда ОВ = х, а ОА — у. По лемме

составляет искомую сторону удвоенного куба. Мезолябий Эратосфена состоит из двух параллель­

но расположенных реек т и п , расстояние между

Г Р £ Ц И Я

123

которыми равняется удвоенной стороне куба, т. е. 2а.

Следовательно, х = NC и будет найденной величиной искомого ребра удвоенного куба. Делосская задача решена.

36. Древнегреческие ученые без особого труда де­ лили произвольный угол на три равные части с помо­ щью разного рода механизмов. Но перед ними всегда

'128

стоял вопрос: почему трисекция угла, легко выполни­ мая при помощи специально изготовленных механиз­ мов, не поддается разрешению при помощи циркуля и линейки. И' вообще разрешима ли эта задача в общем виде при помощи таких классических чертежных ин­ струментов?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, приведем некоторые рассуждения. Обозначим данный угол, ко­ торый требуется разделить на три равные части, через За. Рассмотрим cos За. По известным формулам три­ гонометрии

cos За = cos (я -f 2 а) = cos а cos 2 а — sin а sin 2 а =

=cos а (cos2 а — sin2 а) — sin а • 2 sin а cos а =

=cos3 а — cos а sin2 а — 2 sin2 а cos а =

=cos3 а —3 cos а (1 — cos2a) = cos3 а— 3 cos а -}-3 cos3 а =

=4 cos3 а — 3 cos а

или

cos 3 а = 4 cos3 а — 3 cos а.

Умножая левую и правую части полученного равенства на 2, получаем

Чтобы доказать, что задача о трисекции угла не­ разрешима в общем виде при помощи циркуля и ли­

Г Р Е Ц И Я

127.

нейки, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при помощи циркуля и линейки. Путем несложных рассуждений покажем, что таким свойством обладает, например, угол в 60°. Действи­

тельно, полагая 3 а. = 60°, получим cos 3 a —~j-, и урав­ нение (1) примет вид

то, ни другое указанному уравнению не удовлетворяет. Выходит, что уравнение (2) не имеет рациональных корней и, следовательно, по известной «теореме нераз­ решимости» угол в 60° нельзя разделить на три рав­ ные части при помощи циркуля и линейки. Заметим, из того, что угол в 60° не может быть разделен на три равные части при помощи циркуля и линейки, вытекает, что угол в 20°, а следовательно, и угол в 40° не могут быть построены с помощью указанных инструментов. Отсюда вытекает важное следствие: правильный девятиугольник, восемнадцатиугольник и т. д. не могут быть построены циркулем и линейкой.

Далее, для а уравнения (1) можно было бы ука­ зать еще бесчисленное множество значений, для ко­ торых уравнение (1) неразрешимо в квадратных ради­ калах, и, следовательно, существует бесчисленное множество углов, трисекция которых не может быть выполнена при помощи циркуля и линейки.

Итак, если пользоваться только циркулем и линей­

128

кой, задача о трисекции угла в общем виде неразре­ шима.

Древним ученым, как указывалось выше, была из­

дикалах. Следовательно, угол в 90° можно разделить циркулем и линейкой на три равные части.

Рассуждая аналогично, можно было бы показать, что теми же средствами и угол в 45° можно разде­ лить на три равные части.

Необходимо добавить, что трисекция при помощи циркуля и линейки возможна для бесчисленного мно­

жества углов, например для углов вида где п —

целое положительное число (рекомендуется доказать самостоятельно).

Оригинальное и вместе с тем чрезвычайно простое решение задачи о трисекции угла при помощи циркуля и подвижной линейки с двумя отметками дал Архи­ мед. Как это делается, покажем на конкретном при­ мере. Пусть требуется произвольно взятый острый угол АВС разделить на три равные части. Для этого из вершины данного угла В, как из центра, про­ извольным радиусом R опишем окружность (рис. 21).

-130

тесно примыкает к задачам алгебры и тригонометрии. Так, еще в XV в. самаркандский ученый ал-Каши применил трисекцию угла к составлению весьма точ­ ных тригонометрических таблиц, нужных для вычис­ лительной математики и астрономии. Применяя прием приближенного численного решения кубического урав­ нения, он по известному значению sin3° производит вычисление sin Г. Далее, в XVJ в. знаменитый фран­ цузский математик Ф. Виет на основе трисекции угла находит тригонометрическое решение кубического урав­ нения в так называемом неприводимом случае.

Другие весьма оригинальные, но довольно слож­ ные способы решения задачи о трисекции угла дали ученые Декарт, Ньютон, Клеро, Шаль и др. Все эти решения обычно основаны на отыскании точек пересе­ чения конического сечения с окружностью. Попытки найти новые решения задачи о трисекции угла про­ должаются и в настоящее время (например, при по­ мощи номографии).

37.Попытки древнегреческих ученых решить задачу

оквадратуре круга путем проведения прямых и окруж­

ностей так и не увенчались успехом. Дело в том, что задача о квадратуре круга, так же как и задачи об удвоении куба и трисекции угла, оказывается нераз- - решимой при помощи циркуля и линейки.

Еще в 1755 г. Парижская академия наук ввиду бесплодности усилий математиков, а еще более нематематиков, пытавшихся решить задачу о квадратуре круга, вынесла решение впредь не принимать на рас­ смотрение работы, касающиеся квадратуры круга, а

132

находится как сторона квадрата, вписанного в круг

радиуса R, a R \^ 2 — ] / 3 — как сторона правильного

двенадцатиугольника, вписанного в круг радиуса R, причем, как известно, правильный двенадцатиугольник

вкруг можно вписать довольно легко, после того как

вкруг вписан правильный шестиугольник.

Втеории геометрических построений установлено, что данный отрезок R можно умножить при помощи циркуля и линейки на вещественное число лишь толь­ ко в том случае, если это вещественное число может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радика­ лах. Число, которое не может являться корнем ни­ какого алгебраического уравнения с целыми коэффи­ циентами, принято называть трансцендентным числом. Следовательно, при помощи циркуля и линейки нельзя построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное. Таким образом, чтобы доказать не­ разрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозмож­ ность указанными средствами построить произведение

данного отрезка R на число ]/ гс, а для этого доста­ точно показать, что ]/" тс или число •к есть число транс­ цендентное.

Заслуга Ф. Линдемана как раз и заключается в том, что он впервые в мировой науке вполне строго доказал, что тс есть число трансцендентное, и тем самым окончательно установил невозможность реше­ ния задачи о квадратуре круга с помощью циркуля

Г Р £ U И Я

циально для нее расширить средства построения, если

данному кругу. Для этой цели воспользуемся соотно­ шением