книги из ГПНТБ / Чистяков В.Д. Старинные задачи по элементарной математике
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
104 |
28. |
Vшар = |
- у * R 3', |
Кон |
= |
-g- Ъ r2h; |
|||
|
- у |
« R3= |
~ |
и r2h, |
||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
у ц = |
u r2h\ |
и |
|
= |
|
тг г2/г; |
R = |
|
|
(Задача |
взята |
из |
трактата Архиме |
||||
|
да «О шаре и цилиндре».) |
|||||||
|
29. |
|
Имея |
в |
виду условия задачи |
|||
|
получим |
для |
объема |
цилиндра (рис. 14) |
||||
|
|
V4 = k R2 - 2 R = 2 k R3 = |
||||||
|
|
= |
Т |
(~3~ U^ 3) = ~2~ Vшар• |
||||
|
Из тех же условий задачи полная по |
|||||||
|
верхность |
цилиндра |
|
|||||
|
= 2 *R • 2 ^ |
+ |
2 тг/?2==6 тг/?2 = |
|||||
|
= |
- §(4utf2) = |
| s |
map. |
||||
(Задача взята из трактата Архимеда «О шаре и цилиндре». Эта задача пользовалась у самого Архиме да особым вниманием и любовью. Согласно легенде, он даже завещал начертить шар, вписанный в цилиндр,
105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г Р £ ЦИЯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на камне своего могильного памятника, что и было |
||||||||||
выполнено его |
родственниками.) |
|
|
|
|
|||||
30. |
Приводим в |
современной |
символике |
решение |
||||||
Архимеда, данное им в трактате «О |
квадратуре |
па |
||||||||
раболы». |
|
|
|
|
|
сумму |
членов беско |
|||
Задача ставится так: найти |
||||||||||
нечно |
убывающей |
прогрессии |
a-\-b-\-c + d - \ - . . . t |
|||||||
знаменатель |
которой равен — . |
Из |
определения |
про- |
||||||
грессии |
со знаменателем |
|
1 |
|
|
|
|
|||
q = — имеем |
|
|
||||||||
|
, |
а |
|
Ь |
, |
с |
|
|
|
|
|
& |
= |
~ 4- ; |
с = — i ^ |
= j |
|
и т . д . |
|
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далее, |
a — Ab\ b — 4с; |
с — Ы и |
т. |
д. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ъ+ с + d |
. . . -(— g- (Ь с -)- d + . .. ) = |
|
||||||||
= {ь + - f ) + (с + Т " ) + {d + ‘Т ) + |
|
|||||||||
= |
+ |
+ |
+ |
- |
|
+ |
4с -f- 4d + ...) = |
|||
|
|
= |
(а + |
^ + |
с + |
• • •)> |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b -)- с -4- d -f-. . . = -g- cl. |
|
||||||
■106
Прибавляя к обеим частям полученного равенства пер вый йлен прогрессии а, получаем
ci-\-b-\-c~\-(l-\-... = —g- а.
Следовательно,
что и нужно было найти.
(Решите эту задачу обычным путем, применяя фор мулу бесконечно убывающей прогрессии.)
31. |
Результат, |
полученный |
Архимедом, записы |
||
вается в современных обозначениях формулой |
|||||
|
р _|_ 22 + З2 + . . . + п2 = -п |
|
^ -. |
||
Эта формула получается из очевидного тождества |
|||||
|
л3 — (л — I)3 = |
Зл2 — Зл + |
1. |
||
Действительно, давая для л значения |
1, 2, 3....... л, |
||||
получаем: |
|
|
|
|
|
|
Is — О3 = 3 • I2 — 3 -1 + 1; |
||||
|
23 — I3 = 3 • 22 — 3 - 2 + 1; |
||||
|
33 — 23= 3 • З2— 3 * 3 + 1; |
||||
|
„ 3 _ ( П _ |
1)3 = |
3 „ 2 _ |
3 r t + |
L |
После сложения будем иметь:
л3 = 3 (I2 + 22 + З2 + ... + л2) — 3(1 + 2 + 3 + 4- . . . -f- л) 4~ л;
Г Р £ Ц И Я
107
л» = 3 (1* + 2» + 3* + .. . + л*) — 3 {п+ 1}" + л;
3(12 + 22 + З2 + . . . + л2) = л3 — n + 3(” j~— ;
12 + 22 + 33 + . . . + л2 = - (-2"2 +63/г + 1};
1* + 22 + З2 + . . . + Л2 = Л ( я + ^ ( 2 я + 1 ) _
Архимед пришел к своему результату, исходя из геометрических соображений, выраженных им в сле
дующих |
словах |
(рис. |
15): «Если взяты |
|
||
линии в каком угодно количестве и каж- |
,. |
|||||
дая превосходит следующую на избы |
|
|||||
ток, равный меньшей |
из |
всех, и если |
|
|||
взяты в том же числе, как первые, |
дру |
|
||||
гие линии, из которых каждая равна |
|
|||||
большей из линий первого |
ряда, то сум |
|
||||
ма всех квадратов на линиях, равных |
|
|||||
большей, |
сложенная |
с |
квадратом |
на |
|
|
большей и сложенная |
с площадью, за |
|
||||
ключенной между меньшей из линий, и |
рис 15 |
|||||
линией, |
составленной |
из |
всех неравных |
|
||
линий, |
равна |
утроенной |
сумме квадратов, постро |
|||
енных на неравных |
линиях». |
|
|
|||
В современных обозначениях сказанное можно за писать так:
лл2 + л2 + (1 + 2 + 3 + . . . + л) = 3 (I2 + 22 + + З2 + . . . + л2).
Отсюда после некоторых упрощений получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■103 |
п2 (п + 1) + |
JL i^± i) |
= 3 (12 + 2* + |
3^ + . . . + л*) |
||||||
или окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
||
j 2 22 —|- З2 -f- |
-f- п2 = п |
|
^ ^ п ^ |
|
|||||
(Задача взята из трактата Архимеда «О спиралях».) |
|||||||||
32. |
Р е ш е н и е |
А р х и м е д а . |
«Ты знаешь, |
конеч |
|||||
но, — говорит |
Архимед, |
обращаясь к царю Гелону,—. |
|||||||
что под |
Вселенной большинство астрономов подразу |
||||||||
мевает шар, центр которого находится |
в центре Зем |
||||||||
ли, а радиус образуется расстоянием между центрами |
|||||||||
Земли и Солнца. В своем сочинении |
против астроно |
||||||||
мов Аристарх |
Самосский |
пытается |
опровергнуть это |
||||||
и доказать, что Вселенная составляет |
кратное этой |
||||||||
величины. Он приходит к выводу, что звезды и Солн |
|||||||||
це неподвижны, тогда как Земля вращается вокруг |
|||||||||
Солнца по кругу, в центре которого |
стоит Солнце. |
||||||||
Согласимся, что диаметр сферы неподвижных звезд |
|||||||||
относится к диаметру |
Вселенной, понимаемой в том |
||||||||
смысле, |
как |
это |
понимает |
большинство |
астрономов |
||||
(т. е. солнечной системы), как этот |
последний — к |
||||||||
диаметру Земли. |
Я утверждаю, что если бы сущест |
||||||||
вовала |
песочная |
куча |
даже величиной |
с |
Аристархову |
||||
звездную сферу, |
то и в этом случае я |
могу привести |
|||||||
число, даже превышающее число песчинок в такой |
|||||||||
воображаемой |
сфере. |
|
|
|
|
|
|
||
Предлагаю следующее. |
|
|
|
|
|
||||
1) |
Окружность |
Земли менее 3 |
миллионов |
стадий |
|||||
(стадия |
равна |
185 м). |
|
|
|
|
|
|
|
Г Р £ 1фИЯ
109
Как тебе известно, были попытки доказать, что окружность Земли составляет около 300 000 стадий, но я превзойду предшественников и приму для нее в десять раз большее число.
2) Солнце больше Земли, а Земля больше Луны.
Вэтом я согласуюсь с большинством астрономов.
3)Поперечник Солнца не более чем в 30 раз пре вышает поперечник Луны. (Здесь поперечник преумень
шен. На самом деле диаметр Солнца |
почти в 400 раз |
||||
больше диаметра Луны.) |
|
|
|
||
4) Диаметр Солнца больше, нежели сторона тыся- |
|||||
чеугольника, |
вписанного |
в наибольший круг |
небесной |
||
сферы. |
|
|
|
|
|
Это я принимаю |
по |
Аристарху, |
который |
считает, |
|
что видимые |
размеры |
Солнца составляют ^ |
разме |
||
ров зодиакального круга. Я и сам измерял угол, под которым видно Солнце, но точное измерение этого угла не легко произвести, ибо ни глаз, ни рука, ни измерительные приборы недостаточно надежны. Но здесь не место об этом распространяться. Достаточно
только знать, что |
этот угол меньше чем щ и |
больше |
чем щ1 прямого угла. |
|
|
На основании |
допущений 2 и 3 диаметр |
Солнца |
меньше чем 30 земных диаметров. Поэтому (по допу щению 4) периметр тысячеугольника, вписанного в один
из наибольших |
кругов |
небесной |
сферы, |
меньше |
чем |
|
30 000 земных диаметров. Но если это |
так, |
то |
диа |
|||
метр Вселенной |
(т. е., |
согласно |
Аристарху, |
солнеч |
||
110
ной системы) меньше 10 000 земных диаметров; ибо только для правильного шестиугольника диаметр ра
вен |
периметра, а для всякого многоугольника диа- |
1
метр меньше -д- периметра.
По первому предположению, окружность Земли меньше 3 миллионов стадий; стало быть, диаметр меньше 1 миллиона стадий, так как диаметр окруж
ности меньше |
длины ее. Стало быть, также и диа |
метр Вселенной меньше чем 10 000 миллионов стадий. Допустим теперь, что песчинки до того малы, что 10 000 таких песчинок составляют лишь величину
одного макового зерна. Я приму диаметр макового
зерна в дюйма. В одном из моих опытов уже
25 маковых зерен, положенных рядом |
по прямой, за |
||||||||
няли |
дюйм, но я желаю |
обеспечить |
все доказатель |
||||||
ство против всяких возражений. |
названия |
чисел |
лишь |
||||||
У |
нас (греков) существуют |
||||||||
до мириады (10000 = 104). Считаем мы, однако, |
и до |
||||||||
10 000 |
мириад (104104 = |
108). Чтобы пойти еще далее, |
|||||||
примем |
10 000 мириад |
(108) за |
единицу |
второго по |
|||||
рядка и возьмем ее снова |
10000 |
мириад раз, то полу |
|||||||
чим |
108 • 108 = 108'2, или |
единицу |
третьего порядка. |
||||||
Точно так же можем взять |
10 000 мириад раз получен |
||||||||
ную |
единицу третьего |
порядка |
и |
получим единицу |
|||||
четвертого порядка (108'3) |
и т. д. |
105в = |
108'7 |
будет |
|||||
представлять единицу |
восьмого |
порядка, |
1 же |
есть |
|||||
единица первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|||
1Н |
|
Г Р £ |
Ц И Я |
|
|
|
|
Теперь вычислим, сколько песчинок, |
мириада |
||
которых занимает объем |
макового |
зерна, |
поместит |
ся в шаре с диаметром, |
равным |
дюйму. |
По на |
шему предположению, диаметр макового зерна рав
няется дюйма, но по известному геометричес
кому положению объемы шаров относятся, как кубы
их диаметров, стало быть, |
как |
I3 : 403 = 1 |
: 64 000. |
||||||||||||
Итак, |
шар |
одного |
дюйма |
в |
диаметре |
содержит |
|||||||||
64 000 |
|
маковых |
зерен, |
или |
|
64 000 |
мириад, |
т. |
е. |
||||||
64 • |
10s, |
что меньше чем 10 • |
108 = |
109 |
песчинок. |
Шар |
|||||||||
100 |
дюймов в |
диаметре относится |
к |
шару |
1 |
дюйма |
|||||||||
в диаметре (по объему), как 1003 |
: I3 или 10е : 1. |
Итак, |
|||||||||||||
песочный шар 100 дюймов в |
диаметре, очевидно, со |
||||||||||||||
держит |
не более |
106 • 10 • 108 |
песчинок. |
|
|
|
|||||||||
|
Шар 10000 дюймов в диаметре содержит не бо |
||||||||||||||
лее |
1021 |
= |
10 • 104 • |
Ю16, |
т. |
е. |
десяти мириад единиц |
||||||||
нашего |
|
третьего порядка. |
|
|
10 000 |
дюймов, |
то яс |
||||||||
|
Но так как стадия меньше |
||||||||||||||
но, |
что песочный шар с диаметром в стадию содержит |
||||||||||||||
менее |
10 мириад единиц третьего порядка. |
|
с диа |
||||||||||||
|
Точно таким |
же |
образом |
найдем, |
что шар |
||||||||||
метром в 102 стадий содержит меньше чем 1000 |
-108'3 |
||||||||
песчинок: |
|
|
|
10 • 108'4 песчинок, |
|||||
в |
104 |
стадий содержит меньше чем |
|||||||
в |
106 |
» |
» |
» |
» |
106 • 10 |
• |
10s'4 |
» |
в |
108 |
» |
» |
» |
» |
10 • 104 |
• |
108'5 |
» |
в Ю10 |
» |
» |
» |
» |
1000 • 108'6 |
» |
|||
Но 1010 есть 10 000 миллионов стадий. А так как диаметр Вселенной меньше 10000 миллионов стадий, стало быть. Вселенная содержит песчинок менее,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■112 |
нежели |
1000 • |
108'6. Далее, диаметр Аристарховой |
|||||||||||
сферы неподвижных звезд заключает в себе столько |
|||||||||||||
раз |
диаметр |
Вселенной |
(10 000 |
миллионов |
стадий), |
||||||||
сколько в этом последнем содержится диаметр Земли |
|||||||||||||
(1 миллион стадий), |
то выходит, |
что |
сфера |
Аристарха |
|||||||||
(неподвижных |
звезд) |
относится |
к |
сфере |
Вселенной, |
||||||||
как |
1012:1, |
а |
стало |
быть, |
содержит |
песчинок |
|||||||
менее чем 1000 мириад единиц восьмого |
порядка |
||||||||||||
(1000 • |
104 • |
108 7 = |
10е3). |
|
|
|
|
|
|
||||
Это, царь Гелон, может показаться невероятным |
|||||||||||||
толпе |
и |
всем, |
не сведущим в математике, но те, ко |
||||||||||
торые обладают математическими познаниями и умеют |
|||||||||||||
размышлять о расстоянии и |
величине Земли, |
Солнца, |
|||||||||||
Луны |
и всего |
мироздания, |
признают это за |
доказан |
|||||||||
ное. Поэтому я счел не неуместным предпринять это |
|||||||||||||
исследование». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(Задача взята из трактата Архимеда «Исчисление |
|||||||||||||
песчинок».) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
33. |
|
Эта задача Архимеда о построении правильно |
|||||||||||
го семиугольника называется четвертой знаменитой за |
|||||||||||||
дачей |
древности. |
Кроме |
нее, есть |
еще три |
знамени |
||||||||
тые задачи древности: об |
удвоении |
куба |
(задача 35), |
||||||||||
о трисекции угла (задача 36), о квадратуре круга (за |
|||||||||||||
дача |
37). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Архимеду удалось построить правильный семиуголь ник с помощью циркуля и линейки, воспользовавшись леммой, выполнение которой приводит к решению ку бического уравнения, неразрешимого в квадратных радикалах; следовательно, корни его нельзя построить при помощи циркуля и линейки.
Г Р £ Ц И Я
113
Таким образом, еще Архимеду было известно, что задачу о построении правильного семиугольника нельзя полностью решить только при помощи циркуля и ли нейки, не прибегая к другим инструментам.
В том, что правильный семиугольник нельзя по строить при помощи циркуля и линейки, можно убе диться на основании критерия Гаусса. Этот критерий гласит, что если п — число простое, то для того, чтобы правильный n-угольник можно было построить с по мощью циркуля и линейки, необходимо и достаточно,
чтобы число п имело вид 22* -f 1.
Число 7 нельзя представить в форме 22* + 1, сле довательно, с помощью циркуля и линейки построить правильный семиугольник нельзя.
Выходит, что правильный семиугольник можно построить или приближенно с известной степенью точности (с помощью циркуля и линейки) или совер шенно точно, если, кроме циркуля и линейки, при влечь еще и другие чертежные инструменты (например, два прямых угла).
В качестве приближенного построения правильного
семиугольника |
можно, например, взять такое: поло |
||||
жить сторону |
правильного вписанного |
в |
окружность |
||
семиугольника |
равной половине стороны |
правильного |
|||
вписанного |
в |
ту же окружность треугольника. Дей |
|||
ствительно, при |
|
|
|
||
г = 1а 7 = |
2sin |
^ 0 ,8 6 8 , тогда к |
а |
к |
867. |
Погрешность такого приближения, как это видно, не превышает 0,3% (см. книгу Б. И. Аргунова и М. Б. Бал