книги из ГПНТБ / Косенко Б.Ф. Многоэтапная транспортная задача монография

Т а б л и ц а 3

Получили две области определения функций LA и LB (рис. 5)г соответственно многоугольники Мj и М2.

Рис. 5. Сопряжение в жесткой цепи.

20

Единственная точка L2, удовлетворяющая этому условию принадлежит одновременно пятиугольнику М х и четырехуголь­ нику М2 (рис. 6).

Таким образом, при нахождении совмещенного оптимального*

Рис. 6. Сопряжение в жесткой цепи.

принадлежит обоим многоугольникам. Если же общая точка* обеих областей существования функции не определяет оптималь­ ности одного из звеньев, то в этом случае для нахождения! совмещенного оптимального плана необходимо отойти от опти­ мального решения в обоих звеньях.

Т а б л и ц а б

'

Пример 5. Сохранив систему неравенств (34), видоизменим неравенства (35) с таким расчетом, чтобы области определения^ функций La и Lb не имели общих точек (рис. 7).

22

Рис. 7. Сопряжение в предельно жесткой цепи.

— Системы линейных уравнений высекают для каждого звена области определения (Мг и М2) линейной формы, которые не тождественны. В этом случае оптимальное решение по цепи

находится в вершине (рис. 8,6) многоугольника (ЛТ), образован-

виям выхода). Так как Ж3< М 1 и МН< М 2, а М3 ф 0, то 0<а<Т,

что соответствует полу гибкому двузвеннику.

Рис. 8. Геометрический смысл коэффициента гибкости:

а—гибкий двузвенник; б—полугибкий двузвенник; в—жесткий двузвенник.

—Системы линейных уравнений высекают в каждом звене

24

Таким образом, геометрический анализ позволяет сделать следующие выводы:

— максимум (минимум) линейной формы совмещенного опти­ мального плана, как правило, меньше (больше) максимума (ми­ нимума) хотя бы одной из линейных форм звеньев, составляю­ щих цепь; это объясняется тем, что для получения сопряжен­ ного оптимального распределения необходимо в плане, по крайней мере одного из звеньев, отойти от экстремального решения;

С1Х\ + С2Х2+. . . + скхк = L ( —оо < L < оо),

иметь общих точек с многогранником Л. Следовательно, экстре­

лишь одну общую точку, совпадающую с вершиной много­ гранника.

При наличии г -f 1 звена в цепи оптимальное решение двух сопряженных звеньев будет находиться в области, образованной пересечением соответствующих многогранников. Размеры этой области будут определяться гибкостью цепи.

25

Если звенья гибкие, то многогранник звена А , образованный ограничениями (29), и многогранник звена В, образованный ограничениями (30), в силу того, что

ного решения нет, вследствие того, что у множеств А и В нет общих точек, так как

2 Л = о.

е=1

ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МНОГОЭТАПНОЙ ТРАНСПОРТНОЙ

ЗАДАЧИ

Из постановки и геометрической интерпретации задачи много­ этапного линейного программирования нетрудно заметить, что оно во многом опирается на линейное программирование, его теоремы и утверждения, но, имея более широкую постановку, требует доказательства ряда положений.

Теорема 1. Основное свойство многоэтапного программирова­ ния заключается в том, что совпадение в транзитном пункте коммуникаций с экстремальными показателями линейной формы, принадлежащих двум смежным звеньям, возможно, но маловеро­ ятно.

Действительно, в звене AOF выбор входных коммуникаций определяется условиями экстремальности линейной формы, ко­ торая, в свою очередь, является функцией показателя линейной формы Cie, но число возможных коммуникаций равно тк.

этого числа избираются только те, которые удовлетворяют усло­ виям экстремальности линейной формы. Практически из тк ком­ муникаций выбирается не более т -Т k — 1 (условие опорности),. так как даже при наличии равных Cie случайным образом выби­

входных и выходных коммуникаций в избранном транзитном пункте определяется вероятностью

1

P(mkn) = mkrti ’

а вероятность совпадения коммуникаций в одном из транзитных пунктов будет равна

Из этого основного свойства следует:

- При достаточно большом числе транзитных пунктов мало­ вероятно совпадение оптимального распределения по цепи с рас­ пределениями, полученными независимо по звеньям. Следователь­ но, для сопряжения звеньев требуется балансировка, а это неиз­ бежно приводит к необходимости отхода от оптимального рас­ пределения, хотя бы в одном из звеньев цепи транспортировки.

— Сумма максимумов (минимумов) линейных форм, определен­ ных для каждого последующего звена цепи с учетом получен­ ного распределения в предшествующем звене, меньше (больше} или равна сумме максимумов (минимумов) линейных форм, опре­ деленных для этих же звеньев независимо, т. е.

2J

max L ( A Q F Q B ) < max L (A © F) + max L( BQ F);

min L ( A Q F Q B ) > min L (A © F) + min A (BQF).

— Сумма максимумов (минимумов) линейных форм,определеншых последовательно для каждого звена цепи, меньше (больше) линейной формы для цепи в целом

min L ( A Q F , F Q В) > min L (A Q F Q В).

-Cie... у можно воспользоваться методом потенциалов [7] или ал­ горитмом теории графов [9], с помощью которых можно уста­

L (А © F Q В) = СтХт -\- • • • + CiejXiejA- * * *+ cmknxmkn'i

^ ==(Xlll' * * *» Xiej>* ’ *> Xmkn)’

a план будет опорным.

Выбор X с набором Ck будет оптимальным, если каждый из элементов c-iej, не входящих в Ck, имеет неотрицательную оценку

•коммуникации; это следствие совершенно очевидно;

— отсутствие ограничений по пропускной способности в тран­ зитных пунктах ( а >1) сводит задачу определения оптимального плана в гибкой цепи многоэтапной транспортной задачи к оты­ сканию экстремальных значений показателя линейной формы с последующим решением матрицы ||А£|| одним из методов ли­

28

составляет оптимальное решение для цепи, если Д*>0, Д е > 0 ,----

а если это так, то достаточно доказать справедливость его для' одного звена, показав, что оптимальный план, определенный независимо для одного звена, есть сопряженная часть оптималь­ ного плана цепи.

Рассмотрим любой план первого звена

X = (х1у • • • , X/, • • • , хт) ф X .

Как и компоненты всякого плана, составляющие х* должны, удовлетворять условиям задачи:

единственным образом представлен как линейная комбинация. этих векторов. Сравнивая уравнения (44) и (45), получим

А\Хг А 2х 2-\-• • • -\-Amxm — В,

откуда заключаем, что

ТП ‘— '

£ xAei = Хе.

/=1

29;