книги из ГПНТБ / Величко К.Ф. Основы теории полета управляемых баллистических ракет учебное пособие
.pdf
|
|
- |
170 |
- |
|
|
|
|
Л ~ |
m coSoC~ % |
~ *T s ' i n |
9 |
|
||||
v J $ =£ sin D i- 7 t |
|
|
a o s 9 |
|
||||
*Пак как углы атаки малы, |
|
то можно для упрощения фор |
||||||
мул принять|что costoL* 1 , a |
|
sin otcL , |
с учетом |
этого и |
||||
поделив второе уравнение |
на |
V .получим |
|
|
||||
d v ^ |
Р _ |
£* - Jg. |
Sin & |
|
|
|
||
d t |
m |
m |
m |
|
|
|
|
|
d § - 2 _ |
oL + |
|
- 4 - |
CoS Q |
(4 .9) |
|||
c l t |
'J m |
|
y/r> |
Vm |
|
|
|
|
Первое уравнение характеризует изменение скорости по абсолютной величине,- а второе - угловую скорость поворота вектора скорости / V / . В совокупности полученные выраже ния описывают изменение скорости, как векторной величины, в
стартовой системе координат, величину скорости |
/ V / |
в |
|
этой оистеме координат можно выразить как проекцию на |
оси |
||
Х0 и У0 /р и с .4 .8 / |
|
|
|
\ / x = 4 j - V c O S 0 |
(4.10) |
||
Vs z^T^Vsind |
|||
|
|
||
Совместно записанные уравнения систем 4 .9 , |
4.10 |
и |
|
являются системой дифференциальных уравнений продольного поступательного движения ракеты по траектории.
В уравнениях систем 4.9 и 4-10 величины сил тяги <Р, веса 6 и аэродинамических сил R* и /?у изменяются с изме нением высоты. Кроме того, масса ракеты /М - изменяется с течением времени работы двигателей и высоты. Поэтому точное интегрирование этих уравнений-невозможно и их реша ют различными приближенными методами.
Понятие о приближенном методе решения дифференциаль
ных уравнений продольного движения ракеты.Метод численного интегрирования
С целью решения дифференциальных уравнений, записан-
- 171 -
ных в сиотемах 4.9 и 4.10, |
их предварительно записывают в |
||||
конечных ревностях. |
Для |
втого задаются некоторыми небольши |
|||
ми интервалами времени |
/например |
т 1 сек/ |
и с учетом |
||
того, что Ry-RvoLj |
%*-&- |
система |
записывается |
в Следующем |
|
' виде: |
|
|
|
|
|
4У = |
|
- £ |
siп в |
|
|
W -U )
a t - V Sin Q
= У cosQ
Отсюда получается приращение параметров скорости,на правления и координат для выбранного интервала времени
|
*V - |
т |
— |
д, sin |
£ j |
s i |
|
|
|
|
sQ -- |
л л / - * " |
* " |
' 5'*] s i |
|
U.12) |
|||
|
|
|
|||||||
|
&у = |
мs in e |
Л |
|
|
|
|
|
|
|
бХ = V с о зв |
&{ |
|
|
|
|
|
||
Бели взять ва начальные условия полета момент старта |
|||||||||
ракеты, то, следовательно,будут |
известны скорость |
Vo ** О* |
|||||||
в о - т ~ 9 0 * “веса - |
/По, |
|
Ха , |
Уо и тяга ракеты £> . |
|
||||
За |
время sir |
легко |
определить |
<jX i и л!/* затем |
sVt, |
||||
Hjсуммируя их о начальными условиями,получить значения |
|||||||||
скорости |
\Л и угла |
|
через |
момент |
времени s t i . |
» |
в |
||
первой расчетной точке.
Таким образом; для расчета параметров движения произво
дят следующие действия:
1. Задаются определенными /обычно постояншми/ проме жутками времени /шагом интегрирования/.
2* По известным начальным условиям /на старте/ вычис ляются правые части уравнений Х.З.З^систбмы 4-11•
|
- |
172. - |
|
3» Результат умножения правых частей уравнений на д { ; |
|||
дает приращение параметров |
д / , й в |
и/-)Х,дУна первом рассма |
|
триваемом интервале времени |
д / 0/соглаоно уравнений 4.12/. |
||
4 . |
Прибавляя полученные приращения параметров к их на |
||
чальным значениям, получаем |
значения параметров к концу пер |
||
вого рассматриваемого интервала времени. |
|||
5* Приняв полученные значения |
параметров за начальные |
||
для следующего интервала времени, следует проделать операции
2»3»4,5
Последовательно выполняя расчетыпо описанному циклу, будем получать значения параметров движения в различные вре мена полета. Расчет производится до времени выключения двига
тельной уотановкм |
t « . Параметры Ух.-» в * , |
Ум;,, |
X * ,\ соответ |
|||||
ствующие времени выключения двигательной |
установки |
/ * , на |
||||||
зывают параметрами конца активного участка траектории /в |
||||||||
точке' "к"/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
При этих расчетах массу ракеты П) ( t ) |
определяют |
по из |
||||||
вестному секундному массовому расходу топлива |
йШ , поль- |
|||||||
у зуясь формулой |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Г П о - J T |
t i |
, |
|
|
(4,13) |
где 171 о |
- |
начальная масса ракеты, |
|
|
|
|
|
|
h |
- |
время работы двигателей |
до рассчитываемого момен |
|||||
|
|
та. |
|
|
|
|
|
|
Угол,атаки |
не определяют, считая, |
что его |
значение |
|||||
нввестно, т .к . он изменяется в соответствии с заданной про граммой тангажа. Эта сдома раочета определяет сущность мето да численного интегрирования оисгемы дифференциальных урав нений /4 .9 , 4.10/, описывающих продольное движение ракеты.
На практике обычно испольвуются более сложные методы чиоленного интегрирования, позволяющие получить большую точ ность результатов, однако они не имеют принципиальных отли- , чий от I»осмотренного выше метода.
Пример: расчета представлен в п.4 настоящего параграфа.
- 1 7 3 -
Уравнение вращения ракеты по углу тангажа при ее продольном движении______
Дифференциальное уравнение движения получим на основании второго 8аконв механики, записанного для вращательного движе ния.
|
U zi |
|
- И |
M i l , |
14.14) |
||
где Он - |
момент |
инерции |
ракеты относительно оси ~Zi ; |
|
|||
$ - |
угловое |
ускорение по углу |
тангажа; |
|
|||
Z . Мп - сумма моментов |
внешних сил |
относительно оси |
Z j . |
||||
Раскроем сумму, |
стоящую в |
правой |
части уравнения 4 |
.14 . |
|||
Напомним правило знаков: момент будем считать положительным, если вектор, определяющий данный момент, совпадает с положи
тельным направлением оси, |
относительно которой он действует. |
В рассматриваемом случае |
нас интересуют моменты, действующие' |
относительно оси 2 i . На рисунке 4.9 изображена схема сил ж моментов, действующих на ракету /вид обоку/ •
|
Рио.4.9 |
|
Подставим в правую часть |
уравнения /4*14/ выражения |
|
• для отдельных |
слагаемых, тогда |
уравнение врадательного двж |
_жения ракеты |
примет вид |
|
174 -
|
|
# = |
м К - м , 7 - м # . > м * |
( 4 -15) |
||
Представляя значения моментов, выраженные черев |
их части в |
|||||
производные и параметры, получим уравнение |
|
|||||
- |
0 |
+ Ми |
|
3 |
М и , |
U .16) |
где |
■и ** |
частная |
производная демпфирующего момента по угло |
|||
|
||||||
|
|
вой скорости поворота, т .е . величина момента при |
||||
|
|
единичной угловой |
скорооти |
поворота ракеты; |
||
. ^ ^ |
- |
угловая |
скорость |
поворота; |
|
|
М и * M g- частные производив управляющего и статического моментов по углу поворота рулевых органов управ ления и по. углу атаки;
- суммарный момент от действия во8мущающих сил. При исследовании движения ракеты возмущающий момент
считается известным. Если М и - предотавляет собой неслу чайную функцию времени, то он может быть ведан в виде этой
функции. Еоли возмущающий момент является случайной величи ной ,то он задается соответствующими статистическими харак теристиками - математическим ожиданием и дисперсией .
Уравнение 4*16 является дифференциальным уравнением, описывающим вращение ракеты при ее продольном движении в плоскости стрельбы.
Исследование етого уравнения позволяет сделать вывод о том, что для устойчивого движения ракета должна иметь спе
циальную систему, обеспечивающую ее устойчивость - |
автомат |
|
угловой отабиливации, так как |
при М и > 0 » т .е . |
когда |
статический момент увеличивает |
угол атаки /р и с .4 . 9 / , полу |
|
чается опрокидывающий момент, что имеет место у современных
ракет |
движение неустойчивое. |
Следовательно, ракета должна |
иметь автомат, осуществляющий ее |
угловую стабилизацию. |
|
|
|
|
- 175 - |
п»3. Уравнение |
продольного движения ракеты 9 |
||
|
автоматом |
угловой стабилизации . |
|
Чтобы иметь возможность производить расчет параметров |
|||
движения ракеты методом |
численного интегрирования, необходи |
||
мо рассчитать |
вначение |
бр |
в функции полетного времени или |
в функции |
параметров движения ракеты, вошедших в систему |
||
уравнений движения. Для етого необходимо рассмотреть работу той части оистеыы управления полетом ракеты, которая опреде ляет изменение угла поворота рулевых органов управления в под лете.
Система управления продольным движением ракеты /канал тангажа автомата угловой стабилизации/ представляет собой ммжвутуп систему автоматического регулирования, обеспечива ющую веданный 8акон изменения угла тангажа.
Рассмотрим оущнооть работы системы с цель» получения необходимых уравнений для расчета угла поворота рулевого ор гана бр>
В рассматриваемой задаче объектом управления /регулирования/ является сама ракета, параметром управления /регулиро вания/ является угол тангажа ’д '.Принципиальная охема управ ления по каналу тангажа предотавлена на рисунке 4 .10 . Сущ
нооть работы охемы заключается в следующем. Для того;' чтобы иметь строго программный раеворог ракеты по тангажу с опре
деленным углом |
атаки |
o l и углом бросания &к , |
на |
ракете, |
||
согласно зависимости |
гд ‘-=6+<£, |
ведается во времени |
програм |
|||
мное значение |
угла тангажа |
. |
|
|
|
|
В полете |
программный элемент для каждого |
момента време |
||||
ни, отсчитанного от момента отарта, |
выдает на |
срввнявапдее |
||||
устройство программные значения |
угла |
тангажа |
|
/ и б о в |
||
виде |
определенных перемещений обмотки |
потенциометра, |
либо в |
виде каких-либо иных механических или |
влахтрических |
парамет |
|
ров /, |
вадавая тем оамым углы 6 и оС . |
Чувствительный вла- |
|
мент |
производит измерение действительного значения угла тан- |
||
- 176 -
\ в |
измерительный |
П р оарам нЬ ш |
||
|
элемент |
|
элемент |
|
|
|
|
и * |
|
g О/лоЗой элемент |
и |
Усилитель |
|
|
/рулебая машинв]" |
|
преобразоват ель |
||
|
Рио.4.10 |
гажа |
в процессе полете ракеты / в тех же самых механиче |
ских или электрических параметрах и тоже подает их на сравни
вающее устройство/. Таким образом,в течение |
всего времени по- |
|||||
~ лета на активном участке траектории действительное |
и про |
|||||
граммное |
i%f> значения угла |
тангажа |
сравниваются и вырабаты |
|||
вается сигнал рассогласования |
|
|
|
|
||
|
иС - |
- |
тУ'пр |
|
|
|
В последующем сигнал рассогласования U |
после |
соответ |
||||
ствующего усиления и преобразования |
Ц = КИ* поступает на ' |
|||||
силовой элемент /рулевую машинку/, |
который воздействует на |
|||||
регулирующий орган /рулевую камеру/ |
ракеты, |
поворачивая его |
||||
на угод |
5 р , пропорциональный рассогласованию по углу тан- |
|||||
гажа; |
_ |
. |
|
|
|
(4.17) |
|
Op - |
K i ( и |
- |
тУпр} |
|
|
Коэффициент Kj называется статическим коэффициентом оистемы управления по каналу тангажа. Он покавывает, ка сколько угловых единиц повернется рулевая камера при единич ном рассогласовании по .тангажу /например, для ракеты, имею щей в системе управления по каналу тангажа коэффициент
* 5 прш рассогласовании по углу тангажа в 1° рулевая ка мере повернется на 5°/>
- 17? -
Уравнением два §р /4 .1 7 / и намыкается система уравне ний продольного движения ракеты с автоматом угловой стабили зации. Действительно, величины, входящие в правую часть форму
лы, |
являются либо |
заданными / А ^ ,^ ,/ , |
либо выраженными че |
||
рев |
параметры, |
для |
которых ранее были |
подучены выражения |
|
/ г ? " / , так |
как |
по определению имеем |
2 ^ 6 W . |
||
|
Таким |
обравом, окончательно имеем следующую систему |
|||
уравнений продольного движения центра массы ракеты с автома том угловой стабилизации.
|
1. |
a t |
|
tn |
_о 5in Q |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Z. |
a t |
% ^ - d - |
&r |
cosQ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
V rn |
V |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 ’ |
|
= |
^ sLn в |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4 * |
- f f i - V c o s Q |
|
|
|
|
|
|
(4.18) |
|||||
|
б* оL - — К&ал. ■Sp |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
6 . |
5 p - |
к i |
( iT- i?hp) |
|
|
|
|
|
|
|
||
7 . |
^ |
- |
Q |
+ cd- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Считая, |
что |
tfnP=A , |
(t) |
в а д а н а в а д а н а |
или |
|||||||
определяется |
по формуле 4.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Независимой переменной, т .е . переменной величиной,ко |
|||||||||||||
торой |
ведаются /аргументом |
системы/, |
является |
полетное |
время |
||||||||
t .. |
. Переменные, |
подлежащие |
определению: |
\J |
, |
в , |
У |
, х , |
|||||
o i , |
S P |
, |
• |
Две. переменные величины |
тР'пр |
|
и т |
являются |
|||||
заданными функциями |
полетного' |
времени |
t |
. Итого шеем си |
|||||||||
стему |
семи уравнений с семью неиввестными, |
т .е . |
система урав |
||||||||||
нений замкнута и параметры движения ракеты могут быть опреде лены одним из методов численного интегрирования, например, рассмотренным нами методом Эйлера.
Для удобства выполнения расчетов можно "овернутьн/т.в * уменьшить число уравнений /систему уравнений до четырех урав нений, последовательно подставляя 7 -е уравнение в 6-е и эа-
тем в 5-е уравнение.
- 1 7 8 -
Начальные условия для расчета при вертикально*! пуске
о неподвижной |
стартовой |
установки |
будут / при t 0* 0 / 1 |
1% - 9 0°', |
0о~ я" ; |
Х о ~ О ; |
У о - О • |
п. 4- Решение числового примера
Определить методом численного интегрирования параметры продольного движения центра масс американской ракеты - "минитуян" ва первые 10 оек. полета в покавать их графиками
v--v(t); x--x(t) |
i |
y--y(t)* |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Щ о .1 М J |
1 |
Go 9 29600 |
|
|
|
|
|
|||
- |
стартовый |
вео |
|
Krj |
|
|
|
|
|||
- |
вес |
1 ступени |
|
Gr * 23000 |
к г ; |
|
|
|
|
||
- |
диаметр |
ракеты |
ф » 1,7 |
м |
( |
£ |
■ 2,27 |
м ^); |
|
||
- |
тяга |
первой ступени |
* 77000 кг; |
|
|
||||||
- |
время работы двигателя 1 |
ступени |
Т ■ 60 оек; |
|
|||||||
- |
коэффициент заполнения ракеты |
топливом |
J * 0 , 6 |
; |
|||||||
- |
ускорение оилы тяжести в точке |
старта д,а * 9,81 |
м/сек? |
||||||||
|
и ва |
первые 10 |
сек полета |
остается |
постоянным; |
|
|||||
- угол |
атаки на этом учвстке/для |
упрощения расчетов]отоутот- |
|||||||||
|
вует |
oL • 0 , |
поэтому S -V 'npl |
|
|
|
|
||||
- |
угловая программа ведана |
в таблице |
4 .1 ; |
|
|
||||||
-управление проивводитоя путем поворота оопел основного двигателя на угол . Причем можно считать,что ось ракеты отклоняется
Рио.4.11
|
|
|
|
|
- |
17V - |
|
|
|
|
от векторе |
скорости |
на угол |
б |
мгновенно, т .е . |
KgaЛ- 1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
||
Время t |
! |
ТГлр |
6 ° |
i |
? |
|
j |
C x |
! |
? C x |
полета; |
|
|
1 |
C M * |
f |
|||||
1 |
! |
90 |
0 |
! |
|
8 |
i |
0,1 |
|
0 ,8 |
2 |
1 |
90 |
16 |
l |
0,1 - |
|
1,6 |
|||
о |
i |
i |
|
|||||||
3 |
! |
90 |
0 |
! |
25 |
|
0,12 |
|
3,0 |
|
4 |
! |
90 |
--2 • |
j |
40 |
i |
0,12 |
|
4 ,8 |
|
8 |
! |
09,5 |
- з |
; |
60 |
j |
0,12 |
i |
7,2 |
|
89 |
-4 |
1 |
00 |
i |
0,12 |
i |
9 ,6 |
|||
в |
1 |
i |
||||||||
7 |
! |
8 8 ,5 |
- 4 |
j |
100 |
j |
0 ,1 4 |
! |
1 4 ,0 |
|
88 |
-3 |
' |
120 |
i |
0 ,1 4 |
j |
1 6 ,8 |
|||
в |
! |
i |
||||||||
9 |
j |
8 7 ,5 |
- з |
i |
135 |
!I |
.0 ,1 6 |
i |
21,6 |
|
10 |
1 |
78 |
-2 |
j |
150 |
! . |
0 ,1 6 |
! |
24,00 |
|
! |
! |
|||||||||
.Согласно схеме действия сил /р и с .4 .1 1 / составляем урав нения продольного движения^предварительно ваметив, что пос-^
кольну о£» 0 |
и €>= |
, |
то |
2-ое уравнение выпадает. |
||
|
|
- !P c eS § ~ G t i n |
— R X |
• |
||
|
A t |
~ |
|
т о - т |
t ' |
|
|
- j Y |
- |
CoS' |
iflnp |
|
|
^= M Sin 1?np
При условии равномерного горения секундный массовый
расход топлива определяется
m i |
т т 6i 1Г _ г з о о о о.б _ « / |
/гг с?кг |
||
T ~ = J r |
" 981:60 |
. М |
||
|
||||
Запишем эти формулы в более удобной для расчетов форме
АХ - ]/с03 iflnP ■A t
А У - V 5 in тАпр A t