книги из ГПНТБ / Сивый В.Б. Метод множественной корреляции в анализе и планировании угольных предприятий

Из расчетной таблицы видно, что каждому значению х соответствует определенное зна­

чение ух, т. е. ух = / (х). Для наглядности дан­ ные функции ух = / (ж) приведены ниже:

Аналогично может быть представлена ре­

грессия Х у по у.

Как указывалось выше, линия, связывающая на корреляционном поле найденные средние

значения ухху в интервалах изменения х (у),

называется эмпирической линией регрессии.

Линия регрессии показывает, как в сред­

нем изменяется функция у с увеличением или уменьшением значения аргумента х.

В нашем примере теоретическую линию ре­

грессии можно считать прямой и искать ее

уравнение в виде ух = а + Ъх. Для определе­ ния коэффициентов а и Ь уравнения большей

частью применяется метод наименьших квадра­ тов. При этом каждая точка (х, ух) учитывается столько раз, сколько данных было использова-

64

йо для ее вычисления. Другими словами, если ух является средней из т х данных, соответ­

ствующих значению х, то ухучитывается т х раз. Принцип наименьших квадратов требует,

чтобы сумма квадратов отклонений условных

средних величин от расчетных значений по фор­

муле регрессии была наименьшей. Это означает,

что параметры уравнения регрессии прямой ух= = а + Ьх надо выбрать так, чтобы было вы­ держано условие

2 т х (ух — у)2 = 2 т * (Ух — Ьх — а)2 = минимум. (19)

Суммирование производится по всем значе­ ниям х.

В наших расчетах величина b выступает в

Решив эту систему уравнений относительно

Qx/y, ПОЛУЧИМ

2 * у - 2 * - 2 *

2 - 2—( v - ) a

Упростим полученное выражение, разделив

числитель и знаменатель формулы на /г2:

Числитель формулы (21а) называется кова­

(см. табл. 7) на общее число наблюдений п ми­

нус произведение средних значений ху.

Аналогично определяется коэффициент ре­ грессии х по у.

Геометрический смысл коэффициента регрес­

сии Qy/X в случае линейной зависимости заклю­

чается в том, что он определяет собой угловой

коэффициент прямой. Реально коэффициент b

уравнения регрессии ух = а + Ъх показывает, на сколько в среднем изменяется у при измене­

нии признака х на единицу. Чем больше число­

вое значение коэффициента регрессии, тем бо­ лее значителен прирост функции при том же увеличении аргумента.

Свободный член а определяется путем под­

становки известных значений регрессии в си­ стему уравнений (2 0 ).

Пользуясь данными табл. 7 и формулами (21) и (2 2 ), определяем Qx/y и ду/я:. Значение хуср

определяется делением данных, взятых из стро­

ки яСр 2 (яг* г/Ср) или из столбца ycpLmx xcv,

на объем выборки п. Среднее значение аргумен­

та х рассчитывается по формуле (3); аналогично

рассчитывается среднее значение функции у.

Вычисленные дисперсии рассмотренных пока­ зателей равны: Оу = 18,8089 и ох — 16 814,88

66

посредственно около линии регрессии, а у прак­ тически полностью зависит от х.

Если точки корреляционного поля распола­

гаются на значительном расстоянии от линии

регрессии, т. е. связь слабая, то действие како­

го-либо аргумента на функцию можно пред­ сказать лишь ориентировочно.

Таким образом, степень тесноты связи яв­ ляется весьма важным свойством корреляцион­ ной зависимости.

В экономических исследованиях с помощью

корреляции, как правило, исследуются зави­

симости между отдельными переменными, имею­

щими неодинаковые единицы измерения. По­ этому для оценки тесноты связи между призна­ ками разной природы пользуются коэффициен­ том корреляции (гху), который представляет

собой коэффициент регрессии у по г в стандар­

тизованной системе единиц. Стандартизован­

ный коэффициент регрессии (коэффициент кор­ реляции) показывает, на какую часть своего квадратического отклонения ау изменяется у при изменении х на величину своего квадрати­ ческого отклонения ах, когда остальные факто­

ры, не связанные с х, остаются неизменными, а

связанные с х — изменяются неопределенно.

Коэффициент корреляции может иметь как по­ ложительное, так и отрицательное значение в

пределах (—1 ) ^ Гух < 1 .

Теснота связи в случае линейной корреля­

ционной зависимости определяется по формуле

rvx — Qy/xQx/y (23)

Сопряженные коэффициенты регрессии бе­ рутся при этом со своими знаками ( + или —).

69

Рис. 7. Корреляционные поля и линии регрессии для зависимости между производи­ тельностью труда рабочего П и скоростью проведения подготовительных выработок Уподг (“)> относительной протяженностью основных выработок на 1000 т месячной до­

бычи угля Lnp0B (б), скоростью подвигания очистной линии забоев Роч (в), относи­ тельной протяженностью ремонтируемых выработок на 1000 т месячной добычи угля

£рем (®)*

а знак коэффициента корреляции совпадает со

знаком коэффициента регрессии и показывает

характер зависимости между показателями — возрастающий или убывающий.

Рис. 8. Рассеивание опытных точек (наблюде­ ний) при различной тесноте связи между слу­ чайными величинами у и х:

а — тесная связь; б — слабая связь; в — отсутствие связи.

Коэффициент линейной корреляции можно

также определить, пользуясь формулой

т. е. как частное от деления ковариации на произведение среднеквадратичных отклонений (сгжи ау) . Эта формула может быть представлена в ином виде:

При выполнении расчетов вручную более

удобна формула (23а), а на счетных машинах — формула (236).

П