книги из ГПНТБ / Сивый В.Б. Метод множественной корреляции в анализе и планировании угольных предприятий

ко установить, какая зависимость имеет место

между переменными — функциональная или

корреляционная.

Как видно из рис. 4, с возрастанием среднеди­

намической производительности пласта себе­ стоимость 1 т угля снижается-, а производи­

тельность труда растет.

В основе метода корреляции лежит вырав­

нивание, позволяющее определить усредненное

влияние отдельных факторов на результаты

производственно-хозяйственной деятельности предприятий. Методика соответствующих под­ счетов показана ниже в табл. 7 (в таблице пред­ ставлены средние значения у и ж в интервалах).

На рис. 4—7 на поле корреляции изобра­ жены графически результаты подсчетов значе­

ний средних арифметических по формуле (3).

Ординаты ?/, последовательно соединяются пря­

мыми линиями. Полученная ломаная линия, вы­ ражающая форму связи между у и х, называется

эмпирической линией регрессии у по х. Линия ре­

грессии показывает, как в среднем изменяются

(смещаются) ряды распределения у с увеличе­ нием или уменьшением х. Поступательный ход

линии регрессии несколько нарушается зигза­

гами, которые имеют случайный характер и сильнее проявляются в интервалах с незначи­ тельным количеством наблюдений.

Аналогично строится эмпирическая линия

зависимости х от у.

Эмпирическую линию регрессии нужно рас­

сматривать в поле корреляции на фоне индиви­

дуальных точек, которые она усредняет.

На основании закона больших чисел можно

утверждать, что при неограниченном возраста-

5 3

Рис. 4. Корреляционные поля и линии регрессии для группы шахт с комбайновой выемкой угля:

а — себестоимость 1 m угля С и производительность пласта р; б — производительность труда П и производительность пласта р.

5 4

нии числа наблюдений случайные зигзаги эмпи­

рической линии будут сглаживаться и линия

будет принимать все более правильный, законо­

мерный характер. Нахождение предельного по­

ложения эмпирической линии регрессии состав­ ляет одну из основных проблем теории корре­ ляции — проблему формы связи.

Предельное положение эмпирической линии регрессии, к которому она стремится при неогра­ ниченном увеличении числа наблюдений, назы­

вается теоретической линией регрессии.

Корреляционное поле и нанесенные на него

эмпирические линии регрессии показывают на­ личие корреляционной связи. Если бы у не за­

висел от х или наоборот, то линия регрессии

у по х была бы параллельна оси абсцисс, а линия

регрессии х по у — оси ординат, т. е. они пере­

секались бы под углом, близким к 90°. Приме­

ром этого могут служить приведенные на рис. 5 зависимости между производительностью труда рабочего П , с одной стороны, скоростью прове­ дения откаточных штреков КПОДг и средней дли­ ной лавы /л, с другой, для группы шахт, на которых преобладает выемка угля комбай­ нами.

Следует подчеркнуть, что во всех случаях использования корреляционного метода ото­

бранные факторы необходимо подвергать

экономическому анализу. Математическая стати­ стика в данном случае является одним из ору­ дий экономического исследования и должна контролироваться с точки зрения законов эконо­ мики. Сочетание математического анализа с логи­

ческим освобождает от излишней расчетно­ графической работы и дает возможность избе­

55

жать ложных выводов, помогает наилучшим

образом познать закономерности формирования

экономики предприятий.

Процесс нахождения теоретической линии

регрессии заключается в выборе и обосновании

типа кривой и расчете параметров ее уравнения.

Рис. 5. Корреляционные поля и линии регрессии для группы шахт с комбайновой выемкой угля:

а — производительность труда П и скорость проведения отка­ точного штрека УПОдГ; б — производительность труда Я и сред­

няя длина лавы 1„

Предельная теоретическая линия регрессии изо­

бражается, как правило, плавной кривой. Поэ­ тому процесс нахождения теоретической линии

регрессии называется выравниванием эмпири­

ческой линии регрессии.

Наиболее часто для выравнивания эмпири­

ческой линии регрессии пользуются уравнением

прямой

56

Для выравнивания эмпирической линии ре­ грессии, отражающей криволинейную зависи­

мость, пользуются уравнением параболы

Для обратно пропорциональной зависимос­

ти пользуются уравнением гиперболы

грессии;

а,Ь,с — неизвестные параметры уравнений.

Уравнение (18) простым преобразованием

может быть приведено к линейному виду: вы-

1

ражая — через z, получаем у = а + bz. Урав­

нение кривой подбирают так, чтобы оно отве­ чало теоретической характеристике изучаемого процесса, не противоречило логическим поло­

жениям и в то же время позволяло использо­

вать упрощающие методы расчета.

Из математического анализа известно, что если анализируемая совокупность подчиняется закону нормального распределения, то теоре­ тическая линия регрессии выражается прямой.

Кроме того, в достаточно малых промежутках

изменения аргумента криволинейные зависи­

мости могут быть воспроизведены приближенно

с достаточной точностью линейной зависимо­ стью. О линейной (или близкой к линейной)

зависимости между рассматриваемыми перемен­

ными свидетельствует характер эмпирических

линий регрессии и расположение точек.

Найти уравнение регрессии — значит вы­ разить формулами (17, 18, 19) связь между сред­

57

ними значениями у (в интервалах изменения х) и соответствующими значениями х. Решение этой задачи усложняется тем, что средние ве­

личины у в разных интервалах имеют неодина­

ковый удельный вес частот. Ввиду большого и

неизбежного разброса точек метод средних ве­

личин и графический метод в данном случае не­

приемлемы.

Из бесчисленного множества прямых линий, которые можно провести на плоскости, следует выбрать одну, наилучшим образом соответ­

ствующую экспериментальным данным. Для

этого требуется, чтобы сумма квадратов расстоя­

ний всех экспериментальных точек от ординат, вычисленных по уравнению прямой, была ми­ нимальной.

Для облегчения вычислительной работы, а также для быстрого отыскания погрешностей и своевременной их ликвидации составляется ра­

счетная таблица, полностью отражающая ход

действий над цифрами.

Пример. Определим корреляционную зависимость между производительностью труда и относительной протяженностью откаточных выработок на 1000 т месячной добычи по шахтам с выемкой угля отбойными молотками.

Эмпирическая линия регрессии и все взве­ шенные суммы, которые необходимы для опре­ деления углового коэффициента при неизвест­ ном и свободного члена в уравнении парной

регрессии, рассчитываются в порядке, пока­

занном в табл. 7. В таблице по вертикали записываются интервалы значений у и их сред­ ние значения, по горизонтали — интервалы

значений х и их средние значения. В результа­

58

те пересечения вертикального и горизонталь­

ного рядов образуется клетка. В левой половине

клетки фиксируется частота т , т. е. количество случаев с данным значением х и у; в правой

верхней части клетки приводится резуль­ тат умножения частоты на среднее значение ин­

тервала по жср; в правой нижней части клетки

записывается произведение частоты на среднюю

величину интервала по уср. Суммарное количе­ ство случаев х в данном интервале заносится в

Заполнение таблицы начинается с умноже­

ния количества случаев на средние значения

интервалов изменения показателей. Сумма про­

изведений частот на среднее значение хср в ин­

марные величины двух произведений должны

чаются путем перемножения средних значений

интервалов на соответствующие им частные сум­ мы количества случаев по столбцам и строкам. Величины ух и х„ определяются делением зна­ чений I,(mxycp) или ЩгПуХСр) на частные сум­

мы частот по интервалам.

Полученные в результате расчета средние

значения у по каждому интервалу изменения х являются соответствующими ординатами эм­ пирической линии регрессии.

5 9