книги из ГПНТБ / Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений

где (rot/l)„ означает проекцию вектора rot Л на направ­ ление нормали пп к S, и предполагается, что направле­ ние «о и направление обхода L выбраны положитель­ ными.

Согласно известной теореме о среднем значении ин­

Но при Z)(S)->0, когда область стягивается к точке М, очевидно, и внутренняя точка С -> М, и в силу непрерыв­ ности функции (го1Л)п, мы имеем:

lim (rot Л (С) )п = (rot Л (2И))-.

Рис. 31 Рис. 32

ф Adr

Из формулы (26) и из физического смысла Нт - -----

D(S)-0 S

легко усмотреть физический смысл вихря (rotЛ) поля.

59

Тогда:

ф Adr

lim —-------= пр~ rot A~ | rot A | .

D(SbO S

Для_ других направлений na. не параллельных вектору rot Л, величина

<§Adr

lim ------= 7Z/7- rot A = I Г01Л I COS (rt0 rot Л) < I rotA |-

£>(£)-•■ О S

Следовательно, вектор rot А направлен no перпендику­ ляру к плоскости, в которой вращательная способность поля наибольшая. Численное значение (модуль) векто­

ра rot Л характеризует вращательную способность поля в точке плоскости Р, перпендикулярной вектору rot Л.

Пример (см. рис. 32). Пусть твердое тело Т враща­

ется с постоянной угловой скоростью со около непод­ вижной точки. Требуется определить вихрь поля скоро­ стей точек этого тела.

г; у; £

®Х> шу>

х; у; z

= I (г о)у — у <ог) 4 / (х о>2 - z шх) -|- k (у шх — z Шу).

Согласно определению:

При вычислении написанного здесь определителя мы

60

предполагали u> =;const. Поэтому, например,

лярного поля; скаляра div4 и вектора rot А, характери­ зующих плотность источников и вращательную способ­ ность векторного поля. Были указаны формулы для вы­ числения этих величин в декартовых координатах:

операции можно записать кратко при помощи следую­

Сам вектор у? не имеет реального смысла, но ре­ зультат применения его как оператора к скалярным или векторным функциям дает вполне реальную физи­

ческую величину. Так, например, произведение v на

61

скалярную функцию ср (х; у, z) дает вектор:

т. е. векторное поле 'grad <р не имеет вихрей.

Действительно, применяя формулы (27) и (29), полу­ чим:

rot grad ? = rot yz ср = [yz yz p]

* Символический вектор v часто называют дифференциальным оператором Гамильтона.

62

div rot Л = v rot А = у [V Л ] •

Векторное произведение [ уЛ] есть вектор, перпендику-' лярный каждому из сомножителей, так что [уЛ] _!_ у.

как скалярное произведение двух взаимно перпендику­ лярных векторов.

Приведенные здесь рассуждения нельзя считать строгими доказательствами. С символическим вектором

умы обращались здесь как с обычным вектором,

а это, вообще говоря, неверно. Так например, если на у смотреть как на обычный вектор, то можно заключить,

На самом деле, не всегда гоМ±Л. Поэтому обращение

с символом у требует известной осторожности. Приве­

денные нами выводы формул надо считать точнее мне­ моническими правилами, а не доказательствами. Обос­ нованные выводы этих формул можно привести, напри­ мер, непосредственным подсчетом в проекциях.

Так, формула (30) получается следующим образом:

63

функций:

(UV)' = U'V-]-UV'

можно записать в виде:

(UV)'= (UVC yy-(Ucvy,

где индекс с у функции указывает на то, что при диф­ ференцировании этот множитель считается постоянным.

Например, [UVc y = U'Vс = U'V. А так как у есть оператор дифференцирования, то применение его к про­ изведению [АВ] подчиняется правилу дифференцирова­

ния произведения:

V [АВ] = v [АВ с] + v [АСВ] = v [АВС] - у [^Ас] ■

В векторной алгебре доказывается, что смешанное произведение трех векторов перестановочно', т. е.

А[ВС] = [АВ] С.

Применим эту формулу к правой части последнего ра­ венства и затем воспользуемся формулой (29), тогда получим:

div [АВ]= v [АВ] = v [АВС] — у [£AC] = = [у А] В — [ у В] А = В rot A — A rot В,

что и доказывает нашу формулу.

В .векторном анализе и в приложениях наряду с век­

тором у важную роль играет так называемый оператор Лапласа или Лапласиан, обозначаемый, обычно; бук­

64

(см. форм. 14, с) и формулы (27), (28) и (34), получим:

rot rot А ==; rot [ v А] = [ v [v Л]] = v (V Л) — (v v)А =

= v div А — ДА = grad div А «Д А.

Упражнения

1)Вычислить вихрь поля вектора

А=' ср г,

где ср — скалярная функция.

Ответ, rot ср г — [grad <р - г].

Указание. Воспользоваться методом вывода формулы для div [4BJ; учесть, что rot г = 0.

2)Доказать:

Непосредственным вычислением показать, что поле вихря А не имеет источников и стоков (div rot А = 0).

5)Дано скалярное поле:

ср = 6х3у — 2xz/4 -ф- z4.

66

§ 8. Потенциальные и соленоидальные поля

Определение. Поле вектора А называется потенци­ альным, если существует такая скалярная функция <р (х; у; г), что во всех точках поля выполняется равен­ ство:

тенциалом поля. Например, поле напряженности точечного заряда q:

является потенциальным полем, так как градиент функ­

напряженности. Потенциальное поле имеет ряд прису­ щих ему особенностей.

1) Из определения (36) видно, что потенциальное поле вполне определяется одной лишь скалярной функ­ цией, в то время как произвольное векторное поле опре­

ным свойством потенциального поля. Мы сейчас пока­

жем, что именно всякое безвихревое поле является по­ тенциальным.

Действительно, пусть поле вектора А безвихревое,

т. е. во всех точках поля rot /1=0. Тогда проекция rot А на любое направление равна нулю. Поэтому согласно формуле (28) при любом замкнутом контуре L, лежа­ щем в поле:

Adr

Um - -------= 0,

D(S)-0 s

а это возможно только в случае, когда Л=0 или когда

подынтегральная функция есть полный дифференциал некоторой функции ь (х, у, Z), т. е. существует такая

Таким образом, отсутствие вихрей является необходи­ мым и достаточным условием потенциальности поля-

4) Достаточным условием потенциальности поля яв­ ляется равенство нулю -циркуляции поля по любому замкнутому контуру, лежащему в поле. Действительно,

что было показано (в конце пункта 3), A—grad<f>, т. е.

поле А потенциальное.

Условие f Adr = 0 не является необходимым для по-

L

тенциальности поля. В потенциальном поле может быть

J Ad г =£ 0. L

Так, например, поле магнитной напряженности линей­

нике). Во всех других точках это поле потенциально; для него:

<P = 2/arc tg-J-.

Действительно,

Но циркуляция по окружности х?-\-у2 — г2 не будет рав­ на нулю. В самом деле, в точках окружности имеем:

68