книги из ГПНТБ / Невский, Александр Сергеевич. Применение теории подобия к изучению тепловой работы нагревательных печей

выраженные в безразмерном виде, будут во всех подобных систе­ мах тождественными.

Величины в уравнении (24) не меняются при переходе от одной подобной системы к другой. Поэтому их называют инва­ риантами подобия. Очевидно, что произвольная функция инва­ риантов будет также инвариантом.

Возьмем в группе подобных систем сходственные точки 1, 2, 3

и составим линейный многочлен

преобразуется подобно, с тем же множителем подобного преобра­ зования, что и для самой скалярной величины. Это положение справедливо, в частности, и для 'Случая разности двух величин

Если точки, для которых взяты значения q\ и q2, неограничен­ но сближать, то выражение (29) превратится в дифференциал q.

5. Подобие полей векторных величин

Возьмем две геометрически подобные системы с полями век­

тора в каждой из них. Установим, какие признаки характеризу­ ют подобие этих полей.

Вектор можно рассматривать или как направленный отрезок, определенной длины, или как совокупность трех величин — проек­ ций вектора на оси координат. Если исходить из первого опреде­ ления, то подобные поля вектора должны характеризоваться

одинаковой его направленностью в сходственных точках относи­ тельно осей координат и подобием полей его модуля. Если исхо-

дить из второго определения, то подобие полей вектора должно заключать в себе подобие полей трех его проекций на оси коор­ динат. Если при этом условии коэффициенты подобного преобра­ зования для всех трех полей будут одинаковы, то оба рассмотрен­ ных условия будут тождественны.

Наличие первого условия влечет за собой необходимость второго. Наоборот, подобие полей проекций вектора на оси коор­ динат влечет за собой одинаковую ориентацию вектора в сходст­ венных точках и подобие полей модуля вектора. Множитель подобного преобразования для модуля вектора и для проекций один и тот же.

6.Степенные комплексы

Втеории подобия большую роль играют степенные комплексы первичных величин. Представим себе, что в группе геометрически подобных систем поля величин а, Ь, с... подобны. Множители

где а, Ь, с... и а', Ь', с'...—значения величин в сходственных точ­ ках обеих систем.

Отношение величин (32) и (31)

т. е. в подобных системах имеет место подобие степенных комп­ лексов первичных величин, и множитель подобного преобразова­

20

чин, составленный по какой-нибудь одной группе сходственных точек, отличается от степенного комплекса, составленного по другой группе точек, постоянным множителем. Если при состав­ лении степенного комплекса одни величины будут приниматься по одной группе сходственных точек, а другие по другой, то вывод

о подобном преобразовании величины У остается в силе. Разви­ вая эти мысли дальше, приходим к общему выводу, что в группе

подобных систем степенные комплексы, в которых разные вели­ чины берутся по разным группам сходственных точек, отличаются друг от друга постоянными множителями.

7. Подобие усредненных величин

.При анализе явлений, происходящих в промышленных агре­

гатах, часто приходится иметь дело с усредненными значениями величин. Такое усреднение выполняется или по объему или по

поверхности. Рассмотрим как преобразуются усредненные вели­ чины в группе подобных систем.

Самый простой случай усреднения — получение среднего интегрального значения величины по поверхности или по объему. Возьмем две геометрически подобные системы с подобными по­

21

т. е. средняя по поверхности величина t преобразуется с тем же множителем подобного преобразования, как и локальные ее

значения.

Рассмотренный простейший способ усреднения величины по

поверхности часто встречается на практике, в частности, при определении средней температуры поверхности нагрева при ее теплообмене с окружающей средой. Вместе с тем такое усредне­ ние зачастую не соответствует физическому существу рассматри­ ваемых явлений, и процесс усреднения должен производиться по принципу определения среднеинтегрального значения осредняе-

мой функции с различным удельным весом ее в различных точ­

ках поверхности или пространства. В этом случае имеем формулу

усреднения

jA/d/

где t — осредняемая величина.

Применим формулу (42) к группе подобных систем и будем считать, что А является функцией точки и представляет собой степенной комплекс некоторых величин, подобных в группе рас­ сматриваемых систем. В предыдущем параграфе было показано,

что такой комплекс будет подобной величиной, т. е. его значения

где СА — множитель подобного преобразования комплекса.

Записав формулу (42) для двух подобных систем и применив соотношения (40) и (43), можно легко найти, что коэффициент подобного преобразования среднего значения величины t и для случая усреднения по формуле (42) будет равен коэффициенту подобного преобразования для локальных значений этой вели­ чины. Если величина А не подобна в рассматриваемых систе­ мах, то правило это не будет соблюдаться.

Примером усреднения по формуле (42) может служить опре­ деление средней температуры жидкости или газа при их движении вдоль трубы. В этом случае вместо величины А следует подста­ вить произведения локальных значений скорости среды на соот­ ветствующие значения плотности и теплоемкости.

Усреднения величин по объему особо не рассматриваются, так

как этот случай совершенно аналогичен случаю усреднения по

поверхности. Усредненные по объему значения усредняемой величины для систем, в которых соблюдаются условия геометри­ ческого подобия, подобия полей усредняемой величины и полей коэффициента, определяющего удельный вес этой величины, пре­ образуются как и локальные ее значения.

22

В теории лучистого теплообмена часто встречается усреднение температуры по объему с удельным весом

Пусть поля величин коэффициента k подобны в рассматривае­ мых системах. Переходя от одной системы к подобной ей, полу­ чим соотношение

где Cz — множитель геометрического подобного преобразования. Соотношение (45) показывает, что функция А преобразуется при этом не подобно, поэтому множитель преобразования средних температур, определяемых формулой (42), не будет в этом слу­

чае равен множителю подобного преобразования для локальных значений температур.

Пусть величина q представляет собой локальные значения плотности какого-нибудь свойства. Тогда количество этого свой­ ства в элементарном объеме

23

Рассуждениями, аналогичными только что приведенным, най­ дем, что множитель подобного преобразования для количества

Возьмем в нескольких подобных системах две группы сходст­ венных поверхностей Slt 8] ... и 32, Зг--.Согласно полученному результату, отношения количеств рассматриваемого свойства в различных системах

Получены соотношения, аналогичные соотношению (24). Из них видно, что в группе подобных систем отношения количеств какого-нибудь свойства*для двух поверхностей, сходственных в группе систем, одинаково во всех системах. Такие же соотноше­ ния могут быть записаны и для отношения количеств какого-ни­ будь свойства в объемах.

8. Временное подобие

Рассмотренные выше понятия геометрического подобия, подо­ бия скалярных величин и векторов достаточны при рассмотрении стационарных процессов. При нестационарных процессах поля изучаемых величин переменны, поэтому, чтобы иметь возможность

сравнивать наличие подобия в группе систем, необходимо усло­ виться, в какие моменты времени будет производиться такое сравнение. Моменты времени, принятые для сравнения, будем называть сходственными моментами времени.

Условимся, что сходственные моменты времени для различных подобных систем удовлетворяют соотношениям

момента для системы 2.

24

Если в геометрически подобных системах в сходственные мо­ менты времени, определяемые соотношениями (56), поля всех рассматриваемых величин подобны с постоянными по времени коэффициентами подобного преобразования, то о таких системах

говорят, что они удовлетворяют пространственно-временному подобию.

Возьмем сходственные точки в двух системах, удовлетворяю­ щих пространственно временному подобию. Пусть значения вели­ чины q в первой системе для моментов времени т i и г г соответ­

ственно^ и qTg, ее значения для второй системы в сходственные

где Cq—по условию одинаков для обоих соотношений. Деля одно соотношение на другое, получаем:

сматриваемых систем, одинаковы.

Рассмотрим вопрос об усреднении по времени переменной ве­ личины в подобных системах. Возьмем две подобные системы и будем считать, что поля величин q в них меняются, но множи­ тель подобного преобразования остается постоянным. Для какой-

V = Ст т.

25

ГЛАВА III

УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ПРОЦЕССЫ

ВНАГРЕВАТЕЛЬНЫХ ПЕЧАХ

10.Характер явлений излучения

Врезультате горения освобождается, химическая энергия топлива и переходит в физическое тепло продуктов горения, кото­ рое передается лучевоспринимающим поверхностям. Тепло в

камере передается как излучением, так и конвекцией. Так как основная доля тепла передается излучением, то обычно при ана­ лизе теплообмена в высокотемпературных камерах тепло, пере­ данное конвекцией, не учитывается или учитывается дополни­ тельно корректирующими коэффициентами.

Каждый элементарный объем внутри камеры излучает энер­

гию во все стороны; эта энергия частично поглощается массами

газа, а частично проходит через них и попадает на лучевоспринимающие поверхности и кладку. Лучевоспринимающие поверх­ ности поглощают часть падающей на них энергии, другая же часть отражается назад. Кроме того, поверхность металла сама излучает энергию внутрь объема. Разность между энергией,

поглощенной металлом, и собственым излучением его поверхно­

сти составляет полезное тепло нагрева металла. Эту величину называют результирующим теплообменом на поверхности. Ког­ да говорят о результирующем теплообмене единицы поверхно­ сти, пользуются понятием плотности результирующего теплооб­

мена.

Те же явления повторяются и с излучением, падающим на поверхность кладки, только здесь, вместо полезно переданного тепла, результирующий теплообмен покрывает потери тепла клад­ кой в окружающее пространство. В большинстве случаев эта величина бывает много меньше результирующего теплообмена на лучевоспринимающей поверхности. Отраженная от поверхно­ стей энергия возвращается в объем вместе с энергией, излучаемой поверхностью, частично поглощается объемом, частично же опять попадает на поверхности вместе с энергией излучаемой газами, претерпевает процесс вторичного поглощения и отражения, пока

в процессе бесконечного ряда последовательных отражений и поглощений не поглотится полностью.

27