книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

проходит под прямым углом к оси ОХ. График функции и ее дифференциальная кривая ясно показывают эти выводы

(черт. 38).

§ 7. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ КРИВОЙ

Первая производная дает возможность исследовать ско­ рость изменения функции, ее возрастание и убывание и нахо­ дить максимум и минимум функции.

Более подробное изучение хода изменения функции дости­ гается в том случае, если наряду с вычислением первой про­

изводной будет найдена также вторая производная. В этом случае, кроме выяснения скорости изменения функции, будет

Черт. 39 Черт. 40

изучено также и ускорение изменения функции при различных значениях независимой переменной. При этом предполагается,

что рассматриваемая функция является по крайней мере

дважды дифференцируемой при критических значениях неза­ висимой переменной.

Исследование ускорения изменения функции сводится

к определению характера изгиба кривой, изображающей изу­ чаемую функцию, т. е. к установлению признаков направле­ ния вогнутости рассматриваемой кривой.

О направлении вогнутости можно составить представление из следующего примера. Положим, что под дождь выставлены две чашки, одна из которых поставлена прямо, а другая опро­

кинута (черт. 39). В первой чашке будет набрана вода; что же касается второй чашки, то вода прольется мимо нее. В таком

случае говорят, что кривая, изображающая разрез первой чашки, вогнута вверх (Ч~), а кривая, изображающая разрез второй чашки, вогнута вниз (—) (выпукла вверх).

Положим, что графиком функции y = f(x)

будет кривая, изображенная на чертеже 40. На участке АВ

эта кривая вогнута вверх, на участке ВС — вогнута вниз.

Легко заметить, что если кривая вогнута вверх, то она расположена над касательной; если же кривая вогнута вниз, то она расположена под касательной. При переме­ щении точки по участку кривой, вогнутому вверх, касатель­

ная к кривой в этой точке вращается против часовой стрел­

ки, т. е. в положительно^ направлении; а при переме­ щении по участку, вогнутому вниз, касательная вращается по часовой стрелке, т. е. в отрицательном направлении.

§8. ПРИЗНАКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОГНУТОСТИ ВВЕРХ

ИВОГНУТОСТИ ВНИЗ

Найдем признаки для определения вогнутости вверх и вог­ нутости вниз в данной точке кривой.

Напомним сначала два положения:

1. По знаку первой производной f(x) мы делаеТл заклю­ чение о возрастании или убывании функции /(х) в некоторой

точке:

если /'(х) >0, то /(х) возрастает;

если /'(х) <0, то /(х) убывает. 2. Так как производная функции

f(x) =tgx

равна

cos2 ж ’

т. е. при любом значении угла х производная больше нуля, то, каким бы ни был угол, с увеличением угла тангенс его будет увеличиваться.

Рассмотрим теперь участок вогнутости вверх (черт. 41).

Пусть точка М будет передвигаться по кривой в направле­ нии положительных значений х, т. е. слева направо, и будет

занимать последовательно положения в точках А, В, С, D, Е. Через каждую из этих точек проведем касательную и обозна­

будет ли кривая вогнута вверх или вогнута вниз: если в не­

которой точке

№)>о,

то кривая в этой точке вогнута вверх; если же Г(х) <0,

то кривая вогнута вниз.

Черт. 42

§9. ВТОРОЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА

ИМИНИМУМА ФУНКЦИЙ

Выяснив, что при вогнутости вверх вторая производная положительна, а при вогнутости вниз — вторая производная

имеет максимум; а при х3 — 0 и Х} = 4~2 функция имеет ми­ нимум (черт. 44).

§ 10. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

При помощи второй проивбодной можно определить точки

перегиба. Точкой перегиба называется точка, отделяющая

участок вогнутости вверх от участка вогнутости вниз.

Так как при вогнутости вверх, кривая находится над каса­

от участка вогнутости вниз, если мы передвигаемся по кривой

слева направо. С левой стороны точки А, на участке вогну­ тости вверх, имеем f"(x)^>0; справа же от точки А, на участ­

ке вогнутости вниз, имеем f"(x) <0. Следовательно, в самой точке А должно быть f"(x) = O. Подобным же образом, с ле­ вой стороны точки В на участке вогнутости вниз, /"(х) <ф0; а с правой стороны, на участке вогнутости вверх, /"(х)>0; следовательно, в самой точке В должно быть f"(x)=O. Итак, в точках перегиба /"(%) = 0, причем при переходе через эти точки вторая производная меняет знак.

При отыскании признака, определяющего точки перегиба, можно рассуждать иначе.

Если кривая в какой-нибудь точке непрерывно изменяет характер изгиба, то в точке перегиба угол наклона касатель­ ной переходит от возрастания к убыванию или наоборот. Следовательно, в этой точке первая производная достигает своего максимума или минимума, а потому вторая производ­ ная в этой точке равна нулю. Обратно, если при каком-нибудь значении независимой переменной вторая производная обра­

§ 111 Пример исследования функции 85

щается в нуль, перехода от положительных значений к отри­ цательным или наоборот, т. е. изменяя знак, то кривая при данном значении независимой переменной имеет точку пере­

гиба.

(черт. 46).

§ 11. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

Рассмотренные способы исследования функции приводят нас к следующим выводам:

а) по знаку первой производной мы заключаем о возра­ стании или убывании функции, а исследуя корни первой про­ изводной находим максимальные и минимальные значения функции;

изгиба кривой — вогнутость вверх и вогнутость вниз, а иссле­ дуя корни второй производной, находим точки перегиба.

При более полном исследовании функции, когда для ис­

следования привлекаются первая и вторая производные, очень

ценным является применение дифференциальных кривых.

Исследуем, например, функцию

f(x) = х4 — 6х2 + 8.

Для определения точек пересечения графика этой функ­ ции с осью абсцисс находим корни уравнения f(x)=0. Эти

корни равны:

Xi = —2; %2 — — 1^2; х3 = -|-]/<2; х4 = -]-2.

Найдем затем максимальные и минимальные значения функции. Дифференцируя f(x) два раза, имеем:

f'(x) = 4х3 — 12х = 4х(х2 — 3),

Г(х) = 12х2—12= 12(х2 — 1).

Приравнивая первую производную нулю и решая полученное

уравнение, находим критические значения:

X) = — ф/ 3', х2 = 0; х'з = —|— "j/" 3.

Подставляя эти значения во вторую производную, находим, что при х = + ]/” 3 функция имеет минимум, а при х=0 функ­ ция имеет максимум.

Приравнивая вторую производную нулю и решая полученйое уравнение, находим, что точки перегиба кривой будут при значениях х = +1.

Для построения графика функции и дифференциальных кривых составим таблицу значений f(x), f'(x) и f"(x) для найденных критических значений х (табл. 4).

Дифференциальные кривые f'(x) и f"(x) дают наглядное представление об изменении функции f(x) (черт. 47). На участках, где f'(x) >0, функция f(x) возрастает; на участках,-

где f'(x)<^0, функция f(x) убывает, в точках, где кривая f'(x) пересекает ось абсцисс, функция имеет экстремумы; на участках, где f"(x)> 0, кривая Дх) вогнута вверх; на участ­ ке, где 1"(х)<®, кривая вогнута вниз; при значениях, где кривая f"(x) пересекает ось абсцисс, кривая f(x) имеет течки перегиба.

Черт. 47

§ 12. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ

Установленные выше способы нахождения максимальных и минимальных значений применяются при решении задач практического характера, в которых требуется определить

наибольшее или наименьшее значение функции в некотором промежутке.

88 Исследование функций [гл. V

При решении таких задач прежде всего на основании условий задачи составляется аналитическое выражение той функции, для которой требуется определить наибольшее или

наименьшее значение. Затем применяются описанные ранее способы нахождения максимальных и минимальных значе­ ний.

Рассмотрим некоторые примеры.

Задача 1. Разделить отрезок длины I на две части так, чтобы площадь прямоугольника, построенного на них, была наибольшей.

Обозначим длину одной части отрезка через х; тогда длйна другой части будет (I — х). Замечая, что площадь прямо­ угольника равна произведению его соседних сторон, мы ви­ дим, что задача сводится к нахождению тех значений х, при которых функция

f(x) = х(1 — х)

достигает наибольшего значения в промежутке (0, /) измене­ ния х.

Составим первую и вторую производные: f'(x) = (I — х) 4-х(—1) = I — 2х,

f"(x) = —2 < 0.

Приравнивая первую производную нулю и решая получен-

1

ное уравнение, находим единственное решение х=-2- ;так как

вторая производная постоянно отрицательна, то найденному значению соответствует максимум функции. Таким образом, наибольшая площадь будет у квадрата со стороной-^-.

Задача 2. Из квадратного жестяного листа, сторона кото­

рого равна а, требуется сделать открытый сверху ящик воз­ можно большего объема, вырезая равные квадраты по углам,

удаляя их, а затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика (черт. 48). Какова должна быть длина стороны у вы­ резаемых квадратов?

1)f(x) — (а — 2х)2х,

2)f'(x) — (a— 2х)(а— бх),

3)f"(x) = —8а4-24х,

4) (а—2х)(а— бх) = 0, х, = х2 = ~,

5) f" (-yj = + 4аСледовательно, при х = ~2-будет мини­

мум. Действительно, при этом вся жесть будет вырезана и удалена, и материала для ящика не останется.