книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

Дифференцируя гиперболический тангенс (черт. 18)

Дифференцируя обе части равенства, имеем

и, следовательно,

Черт. 19

т. е. производная гиперболического ареасинуса равна едини­

т. е. производная гиперболического ареакосинуса равна еди­

§ 7] Уравнения кривой в параметрической форме 53

[так же, как уравнение «/ = /(•*)] могут служить для построе­

ния и исследования кривой, так как при каждом значении t

эти уравнения определяют положение соответствующей точки кривой.

Переменная t называется параметром, а уравнения (-34) называются параметрическими уравнениями кривой.

Переход от уравнений кривой в параметрической форме к обычному — явному или неявному —• виду уравнения кривой делается путем исклю­ чения из двух уравне­

ний (34) параметра t, что можно сделать, напри­ мер, решив одно из этих уравнений относительно t и подставив, получен­ ный результат в другое.

Параметрические урав­

Определив эти функции, мы и получим параметрические уравнения траектории.

Параметрические уравнения окружности.

Всякая точка окружности может быть определена как точка пересечения этой окружности с радиусом, проведенным из центра окружности. Положение же радиуса определяется

Таким образом, параметрическими уравнениями окружности будут

х = х0 + г cos t,

(35)

У — Уо + r sin t-

Для перехода к обычному уравнению возведем урав нения (*) в квадрат и сложим. Имеем

(х — х0)2+ (у — i/o)2 = r2cos4 4-r2sin2^ = r2.

вается кривая линия, описываемая некоторой точкой окруж­

ности круга, катящегося без скольжения по данной прямой.

Из этого определения очень просто получается парамет­ рическое изображение циклоиды.

Пусть дан круг радиуса а и прямая, по которой катится круг слева направо (черт. 22). Положим, что в некоторый момент замеченная на окружности точка М оказалась точ­ кой О касания окружности с прямой. Эту точку примем за

начало координат, данную прямую — за ось абсцисс и пря­ мую, перпендикулярную к данной прямой,— за ось ординат. Замеченная на окружности точка М по мере того, как круг катится по прямой, будет описывать циклоиду.

Возьмем какое-нибудь положение катящегося круга, и пусть для этого положения точка М, описывающая циклоиду, будет иметь координаты х и у, а точка А будет точкой каса­

и так как

sin(— а) = — sin а,

то

sin (t - -у) = — sin f-y- — t\= — cos t,

и

DM = — a cos t.

Таким образом,

у = a (1 — cos t).

Черт. 23

Совокупность двух выведенных уравнений

х = a(t — sin t),

(36}

y = a(\ — cos t)

и представляет собой параметрическое изображение цик­ лоиды.

Исключая t из уравнений (36), мы можем, получить урав­ нение циклоиды в обыкновенном виде, дающее непосредствен­ ную связь между х и у.

Астроида (от слова «астрон» — звезда). Внутри непод­ вижного круга радиуса а катится без скольжения по окруж­

Производная f'(x) функции f(x) есть тоже некоторая функ­ ция от х (см. гл. I, § 3). Дифференцируя ее, получим новую функцию, которая называется второй производной, или про­ изводной второго порядка, и обозначается через у" или f"(x).

В связи с этим производная f'(x) называется первой произ­ водной, или производной первого порядка. Дифференцируя вторую производную, получим третью производную у"' или f"'(x). Продолжая дифференцирование подобным же обра­ зом, получим производную любого п-го порядка, или и-ую производную г/(л) или /<л) (х).

Например, для степенной функции

У = хп

имеем:

у' = пхп~г, у" — п(п—1)хл2 , . .

Для логарифмической функции

у = 1пх

имеем:

Для показательной функции

У = ех

имеем

у№ = ех.

Если же

У = еах,

то

у№ = апеах.

Для функции

у = sin х

имеем:

у = cosx, у" =— sinx, у'" = — cosx, r/IV=sinx, z/'v= cosx,...,

т. e. последовательные производные образуют периодический ряд с периодом 4, так что для любого п

2/(4z!) = sinx, г/(4л+1> = cos х, т/(4л+2) =_ sinx, у^+Ъ= - cos ж.