книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

Зная формулу производной показательной функции, мож­ но показать, что формула производной степенной функции имеет место и для иррационального показателя.

Так как

ц _ glnu ,

где и и v — функции независимой переменной х. Логарифмируя данную функцию, получим

In у — v In и.

Дифференцируя левую и правую части этого равенства по х,

находим

Таким образом, чтобы получить производную сложной пока­

зательной функции, надо сначала дифференцировать ее, пред­ полагая показатель постоянным, потом надо дифференциро­ вать, предполагая основание постоянным, и, наконец, оба эти результата сложить.

Формула

быстрее в этот момент она растет, т. е. показательная кривая

У = ех

(черт. 11) имеет в точке х = 0 наклон, равный 1, в точке

Черт. 11

х— 1 — наклон, равный е = 2,718 . . ., в точке я = 2, — на­ клон е2 — 7,389 . . ., и так далее.

Примеры. L Продифференцировать функцию

§ 4] Дифференцирование тригонометрических функций 41

Имеем

dy __ (ехе~х) (ех+ е~х) — (ех— е~х} (ех — е~х}

желой нити, подвешенной на концах. Имеем

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

При выводе производной функции y = sinx

(черт. 13) применим общий способ дифференцирования функ­ ций.

Давая независимой переменной х приращение Дх, полу­ чим наращенное значение функции

у -ф \у = sin (х + Дх).

Вычитая из наращенного значения функции ее прежнее значение, найдем приращение функции

Дг/ — sin (х -f- Дх) — sin х.

§ 4] Дифференцирование тригонометрических функций 43

второй же множитель стремится к 1:

т. e. производная функции z/ = sinx равна cosx.

Так как все тригонометрические функции могут быть вы­ ражены через одну какую-нибудь из них, то, найдя производ­ ную синуса, легко получить производные остальных тригоно­ метрических функций.

т. е. производная функции у = cosx равна — sin х. Производная тангенса (черт. 14) находится по формуле

§5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Найдем производную от функции

у — arc sin х

(причем-----1-< arc sinx<-y) (черт. 15).

Согласно определению этой функции, имеем

sin у — х.

Взяв производные от обеих частей по х, получим

cos у' ^7 1;

Но

cos у = 4- V1 —.sin2 у = 4- V 1 — х2,

где перед корнем берется знак +» так как Для главных зна­

т. е. производная арксинуса равна единице, деленной на квад­ ратный корень из единицы минус икс квадрат.

Пусть теперь

у — arc cos х.

Тогда

х = cos у = sin (-J- — у}

и, следовательно,

----- У — arc sin х,

или

arc cos х arc sin х = .

Откуда

arc cosx = —— arc sin х.

§ 5] Дифференцирование обратных тригонометрических функций 47

Таким образом,

(21)

iZ 1 — X2 ’

Черт. 16

т. e. производная арккосинуса равна минус производной арк­ синуса.

Если

т. e. производная арккотангенса равна минус производной арктангенса.

Применяя формулу производной сложной функции, полу­ чим