Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.18 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

§ 9]	Производная неявной функции	29
Проведем	к этой кривой касательную в точке	М(х;у).

Эта касательная образует с осью ОХ угол а, а с осью ОУ — угол р. Для данной функции имеем

для обратной же функции получим
		d®	, о
Но
			— и,
,а	потому			1
	tg = tg	— а	— ctg а	1
	tg = tg	— а	— ctg а	tga ’
т.	е.	dx___ 1_
		dx___ 1_
		d#	dy ’
			dx

§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

Неявными функциями называются функции, удовлетво ряющие нерешенным уравнениям

F(x,y)=0.

Чтобы найти производную от неявной функции, надо диф

ференцировать то уравнение, которому удовлетворяет эта функция, рассматривая у как функцию от переменной х, и за тем из полученного нового уравнения, содержащего производ ную в первой степени, найти эту производную.

ГЛАВА ТРЕТЬЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ

Процесс дифференцирования можно провести для всех

важнейших функций.

Найдем производную степенной функции

где и есть некоторая функция от х, а показатель п — целое положительное число.

Дадим независимой переменной х приращение Ах. Тогда переменная и получит приращение Au, и функция у — прира щение Аг/. Таким образом, наращенное значение функции будет

у + \у=

Вычитая из наращенного значения функции ее прежнее значение, найдем приращение функции

Аг/= (u-j-Au)”— ип.

Разлагая по формуле бинома, имеем

\у = ип 4- пип~^и 4- —ип~2 (Au)2 4-- . . Д-(Аи)я — ип=

■= пи"-1 &и -|- п (п~ ПилЛ (Au) 2 4- . . ,4-(Ди)л.

Таким образом, при Ах бесконечно малом будет бесконеч но малым и Ду, следовательно,

z/ = u"

есть непрерывная функция.

§ 1] Дифференцирование степенной функции 31

Отношение приращения Аг/ функции у к приращению Ах независимой переменной х равно:

-Д-= пи"-1-г---- ---- —-ип~2 х— -Ьи 4- .					1	.	.-к-г—(Ди)”-1 .
Дж	Дж 1	2	Дж		1		1 Дж 1	'
Переходя к пределу, получим
		d(un)	„ .	du				(1)
		dx	= nun~l	dx				(1)

т. е. производная степени некоторой переменной равна пока зателю степени, умноженному на степень переменной с пока

зателем, на единицу меньшим, и на производную данной пе ременной по независимой переменной.

Производная степени выведена для целого положительно го показателя. Но легко убедиться, что эта формула справед лива для любого показателя — положительного, отрицатель

ного, целого или дробного. Пусть

п = — т.

Тогда

у =.- и ~т = —~ . J ит

Применяя правило дифференцирования частного, находим

,ит^-\-тит~хд^-

d\u	)	=	х	dx	—	—	т л du
—j------		=	х		—	—	тит-1-2т -у- —
dx			и2т				dx
				т 1		du
			= — ти~т~1-г-,
						dx
что совпадает с формулой (1),				если заменить —т через п.

Пусть, далее,

п = —, Q

где р и q — целые положительные числа. Тогда

У = и ■

Возводя обе части в степень q, имеем

уч = ир.

Левая и правая части этого равенства представляют сложные функции независимой переменной х.

32 Дифференцирование функций [гл. III

Применяя формулу производной степени с целым положи тельным показателем и правило дифференцирования сложной

функции,	находим	„ ,	dy			„	du
		„ ,	dy			„	du
Откуда		dy		p
		dy		p	up	1 du
		dx		q	yt>~1 dx ’
или, подставляя вместо у его выражение через и, имеем
р_		ир du	__		р ^p-i-p+£-du _ р л10.-Т~лЛи
d(uq) _ р		ир du	__		р ^p-i-p+£-du _ р л10.-Т~лЛи
dx	q	dx	q				dx	q	dx ’
	и 4
■что совпадает с формулой (1), если заменить									через п.
Итак,	при всяком рациональном показателе
		d (ип)			„	,	du
		\	' =		пи"	‘-у- .
		dx				dx
В частности, если				и = х,
то				и = х,
то		d (xn)				„ .
		d (xn)				„ .			(2)
		dx		■ = nxn~',					(2)
		dx					’
т. е. производная		степени хп			равна показателю степени п,
умноженному на степень х с					показателем, на				единицу мень
шим.
Из формулы (2) при п—1 получим (х)'=1,
		при п — 0 получим						(х°)' = 0,
		при п — —1 получим (х~1У =—
Подобным же образом
							л у	ди

т. е. производная квадратного корня равна единице, деленной на удвоенный квадратный корень (см. гл. I, § 4).

Вообще,

§ 1]

Дифференцирование степенной функции

Примеры. 1. Определить наклон касательных к кривым,

у= х2, у=У х,

вточках пересечения этих кривых (черт. 8).

Черт. 8

Решая уравнения совместно, находим точки пересечения кривых (0; 0) и (+1; +1). Подставляя значения х в форму лы производных, получаем тангенсы углов наклона касатель ных:

tg di = 0, tg а2 = оо , tg а3 = 2, tg а4 = .

2. Найти уравнения касательной и нормали к кривой,

#= (х—1) (х —2) (х —3), (*)

в точках пересечения этой кривой с осью абсцисс (черт. 9).

Дифференцирование функций

[гл. Ш

Найдем сначала точки пересечения кривой с осью ОХ. Для этого надо совместно решить уравнение (*) с уравнением оси абсцисс г/ = 0. Имеем

0= (х— 1) (х — 2) (х — 3),

откуда находятся три точки, абсциссы которых
Х1 = Д-1, Х2=z	х3 = Д-З.
Для определения касательной и нормали к кривой в этих
точках надо найти производную от	функции	(*);	для этого
	уравнение	(*)	представим

в виде:

у = х3 — 6х2 Д- Их — 6.

Откуда

^L=3X2— 12хД- 11 = CLOD

= f'M.

Подставляя найденные

значения абсцисс, имеем

/'(+1)=+2, Г(+2)=-1, Г (4-3)= 4-2.

Следовательно, уравнения касательной будут [см. гл. I, (8)]:

1)у = 2х—2,

2)у-—х-\-2,

3)у = 2х — 6;

уравнения нормали будут [см. гл. I, (9)]:

1)хД-2г/—1=0,

2)х — у — 2 = 0,

3)х Д- 2у — 3 = 0.

§2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ

Пусть

?/=log„£.

0<[х<[Д-оо).

Давая независимой переменной х приращение Дх, получим

г/Д- Ду= loga (х Д-Дх).

§ 2] Дифференцирование логарифмической функции 35.

Следовательно,

АУ = log а (х + Ах) — loga х = loga				= logjl +			•
		\	viz	f	\	«А/	/
Составим отношение Ау к Ах:
	,	.	Дж\
	_ 1°g41 +		^)
	Дж	Дж
Положим здесь — = а, откуда Ах = ха;				при этом ясно,			что
если Ах ->0, то и а ->0. Имеем
Ак = м.(1+») =2_ ! ц+а)4
Дж	Жа	Ж	Ьа 4	1	'
Переходим к пределу:		1			j_
=		1			j_	>
=		=^1°gJIim(1 +а)в				>
Дх-0 Л	а-0		Х	L а-0
ИЛИ	d (10ga
	d (10ga	“log«C					(3)
	dx	“log«C					(3)

т. е. производная произвольного логарифма х равна—, умно

женной на модуль рассматриваемой системы логарифмов.
Если а = е, то logee= 1, и,	следовательно,
d In х	1	(4)
'dx	х ’	(4)

т. е. производная натурального логарифма независимой пере менной х равна обратной величине независимой переменной.

Наконец, если

у = In и,

то

d In и	1	du	, .
dx	и	dx ’	' '

или

d In и	и’	,
dx	и '	' '

Таким образом, в случае натуральных логарифмов фор

мула производной оказывается наиболее простой. Это и яв ляется основанием того, что в теоретических исследованиях

предпочитают натуральные логарифмы. 3*

36	Дифференцирование функций	[гл. III
	Отношение производной любой данной	функции к самой

функции называется логарифмической производной данной функции.

Из (6) видно,	что логарифмическая производная
	dlnf(x) _ f (х) , ,		'
	dx	f(x)	'
есть производная	натурального	логарифма функции,	когда

последняя >■ 0.

Логарифмическая производная дает возможность очень

легко находить производные функций.					Обозначим логариф-
мическую	производную	Г М	через	V	е. пусть
мическую	производную		через	У; т.	е. пусть
		ГМ	= У.
		ГМ

Тогда производная будет равна

Отсюда следует, что для отыскания производной надо проло гарифмировать функцию, найти логарифмическую производ ную и умножить последнюю на данную функцию.

Найдем производную степенной функции
	=	(*)
где п — какое угодно число.	равенства (*),	получим
Логарифмируя обе части	равенства (*),	получим
In I у \|= п In \| х\|.
Дифференцируя левую и	правую части	этого равенства,
имеем

(1пМ)'=-у> (и1п|ж| )' = — ■

Следовательно,

у’ _

Ух

Откуда

У = У — = Хп• — = пхп~х .

Таким образом, формула (1) верна при каком угодно по казателе п.

Формула

dlnx	1	.
	(4	bls)

§ 2] Дифференцирование логарифмической функции 37

показывает, что скорость изменения логарифма данного числа обратно пропорциональна этому числу; т. е. логарифмическая кривая

			у — In х
(черт. 10) имеет		в	точке х=1 наклон, равный 1, в точке
о	1	у,	о	1
х = 2 —	наклон	у,	в точке х =	3 — наклон-g- и так далее.
Таким образом,		при	возрастании	переменной х скорость из

менения функции 1пх убывает, стремясь к нулю.

Примеры.				1.	Продифференцировать функцию
Эту	сложную			функцию		можно		разложить в цепь из трех
звеньев:				у — In w; и —У V, V— *						.

Таким		образом,			для	отыскания производной от					у надо
взять	производную					,		л Г1 4- х
					от логарифма			и — у	1	, умножить ее
на производную от квадратного корня из									1	4-х	произ-
									}	_ - и на
водную от дроби }					.	Это разложение			в	цепь делается в
уме;	запись же производится непосредственно в следующем
виде:	dy _			1____________ 1			.	(1-х)-1-(1+х)(-1)

	dx	-\|Л 1		х	l\fc l-j-x
		У	1—х		У Т~

38	Дифференцирование функций					[гл. III
что после сокращений дает:
		dy _		1
		dx	1	— х-
2. Продифференцировать функцию
		у - In (х+/Т+^).
Имеем
dy =	1	•	Л 4-	х	=	1
dX	Х _\|_/1 4-		-Т" /14-Л2/			/Т+х2 ’
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ
Найдем производную показательной					функции

У = аи,

где основание а есть некоторое положительное число, а пока затель и — некоторая дифференцируемая функция незави симой переменной х:

u = f(x).

Логарифмируя (*), имеем

In у — и In а.

Применяя затем формулу производной сложной функции, ходим

1	dy	,	du
—= In			а—г,
у	dx		dx
откуда
d (au)		,,,	du
-4-4 = au In a-j—.
dx			dx
В частности, если	а = е,
то	а = е,
то
d(eu) = е„ du_
	dx		dx

Наконец, если в (9) положим

на

(8)

(9)

и = х.

то получим

d(ex)

(Ю)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ