книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

ГЛАВА ВТОРАЯ

ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способ дифференцирования, можно найти производную любой функции.

Однако для облегчения труда, чтобы не выполнять всякий раз предельного перехода, указанного в общем способе диф­

ференцирования, на основании этого способа устанавливают­

ся общие правила дифференцирования и выводятся формулы производных элементарных функций. При этом предпола­ гается, что данные функции дифференцируемы в рассматри­ ваемом интервале.

Установим сначала общие правила дифференцирования.

§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ПОСТОЯННОЙ

Пусть у будет такой функцией от х, которая сохраняет все время одно и то же численное значение С, как бы ни изменя­

лась независимая переменная х; тогда будем иметь равенство

У = С.

Когда х получает приращение Ах, функция у не изменяет своего значения, т. е. ее приращение равно нулю,

Аг/ = О.

Но в таком случае будет всегда, каким бы ни было прираще­ ние Ах, равно нулю и отношение Аг/ к Ах, т. е.

£*=0.

Дж

Если же какая-либо величина всегда равна нулю, то и ее

предел равен нулю:

= 0.

Дл-О^

22 Общие правила дифференцирования [гл. II

' есть уравнение прямой, проходящей через начало координат

к

под углом, равным -j-.

Но так как касательная к прямой всегда совпадает с ней самой, то касательная к рас­ сматриваемой линии

всегда наклонена к оси ОХ

под углом, равным-^-, тан­

генс 'которого равен едини­ це: '

tH- = 1-

А так как тангенс угла наклона касательной ,и есть

dy

производная^2-, то

ах

d (х) _ dx ’

что и найдено выше (черт. 6).

§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ НА ПОСТОЯННЫЙ

МНОЖИТЕЛЬ

Пусть

у = си,

где с есть некоторый постоянный множитель, а

и — <р(х).

Если независимая переменная х получит приращение Лх, то функция и получит приращение Ли; поэтому наращенное значение функции у будет:

у-\- Лу = с(и-\- Ли),

откуда

Лу = сЛи,

следовательно,

ку_ с&и

24 Общие правила дифференцирования [гл. II

т. е. производная алгебраической суммы ограниченного числа функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.

Из формулы (4) следует, что действие дифференцирова­

ния и действие сложения можно переставлять между собой.

§ 5. ПРОИЗВОДНАЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Пусть

y — uv,

где

ы = /(х), ц = ср(х).

Дадим переменной х приращение Ах, тогда

у -ф Ау = (и + Аы) (ц Аи).

Следовательно,

Ау = цАи -}- иАи + АнАу.

Из этого равенства следует, что если и и v — функции непрерывные, то и произведение их y — uv представляет так­

же непрерывную функцию, так как если Ах есть бесконечно малая величина, то в силу непрерывности функций пин, Ани

по определению, являются производными функций у, и, я по переменной х. Наконец, последний член

Д® ’

содержит бесконечно малый множитель Ау при Ах -> 0 и по­

§ 61 Производная частного 25

т. е. производная произведения двух функций равна второй

функции, умноженной на производную первой, плюс первая функция, умноженная на производную второй.

На основании формулы (6) легко вывести формулу про­

изводной произведения любого числа функций. Пусть

у = uvw.

Считая произведение uv за одну функцию, мы можем приме­ нить формулу (6), установленную для производной произве­ дения двух функций:

Разделив левую и правую часть этого равенства на произве­ дение uvw, получим

Из равенства (8) легко видеть закон образования членов формулы для выражения производной произведения какого угодно числа функций; производная произведения нескольких функций равна сумме произведений производных каждой из. этих функций на все остальные функции.

§ 6. ПРОИЗВОДНАЯ ЧАСТНОГО

Пусть

где

одной из наиболее важных формул дифференциального ис­ числения. Применяя эту формулу и зная формулы производ­ ных простейших элементарных функций, мы можем продиф­

ференцировать любую элементарную функцию.

§ 8. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть

y = f(x) и х = ф(г/).

На основании формулы производной сложной функции (16) имеем: