книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

ГЛАВА ПЕРВАЯ

ПРОИЗВОДНАЯ

§ 1. механический смысл производной

Теория пределов является введением в дифференциаль­ ное исчисление. Умение находить пределы переменных ве­ личин дает возможность установить основные понятия диф­ ференциального исчисления — понятия производной и диф­ ференциала.

задаче Ньютона, решение -----------------------------------------

смысла производной.

Положим, что требуется определить скорость движения

поезда между Ленинградом (L) и Москвой (М) (черт. 1).Же­ лезнодорожный путь между этими городами почти не от­

личается от прямой линии. Для определения скорости движе­ ния надо знать величину пути, т. е. расстояние между этими пунктами, и время, т. е. число часов, потраченное на прохо­

ждение этого расстояния. Расстояние между Ленинградом и

Москвой будем считать равным 650 км; а время пробега все­ го пути пусть будет равно 10 часам. Тогда, если бы движение поезда было равномерным, мы нашли бы скорость — т. е.

путь, пройденный за единицу времени, — равной

650

—- = 65 км в час.

гаясь равномерно, за промежуток времени в 10 часов прохо­ дит путь в 650 км. Если же мы хотели бы найти скорость поезда в некоторый момент времени, то мы должны были бы наблюдать движение поезда в некоторый малый промежуток времени. Тогда, разделив величину пути, пройденного за этот промежуток времени, на этот промежуток, и перейдя к пре­ делу, когда величина промежутка стремится к нулю, мы на­ шли бы скорость движения поезда в данный момент.

Переходя к общей постановке вопроса, мы можем рас­

сматривать путь s, пройденный точкой, движущейся по пря­ мой, как функцию времени t:

s = f(t).

Возьмем два момента времени I и Л; тогда путь, пройден­ ный за промежуток

tx — t,

будет равен

Среднюю скорость оср за этот промежуток получим, разде­ лив путь, пройденный за этот промежуток времени, на этот промежуток:

Чем меньше будет промежуток времени Л •— t, тем с боль­ шим основанием мы можем считать движение рассматривае­ мой точки за этот промежуток равномерным. Предел же отношения (1) при стремлении ti к t даст скорость v в дан­

ный момент t:

Скорость v так же, как и путь s, есть функция от време­

ни t; эта функция, будучи произведенной из данной функции,

называется производной рассматриваемой функции f(t) по независимой переменной t; таким образом, скорость дви­ жения материальной точки по прямой выражается производ­ ной от пути по времени.

Определим, например, скорость свободно падающего тела в пустоте. При помощи опыта установлено, что путь, прой­

§ 2] Геометрический смысл производной 11

денный свободно падающим телом за время t, пропорциона­ лен квадрату времени, т. е. путь выражается функцией вида:

s = f (Q — at2,

где ti = 2“, причем g" = 981 см!сек2 есть постоянная величина

представляющая ускорение силы тяжести. По формуле (2)

имеем

приведет нас к выяснению геометрического смысла производ­ ной.

Положим, что дана функция

и из точки М проведем прямую МР, параллельную оси ОХ. Положение секущей, проходящей через эти точки, т. е. ее

12 Производная [гл. I

угловой коэффициент, определяется из прямоугольного тре­ угольника MPMi, а именно:

_PMi _f(Xi) — f{x)

нятию производной, которое было установлено выше при

решении задачи об определении скорости движущейся точки

по прямой.

Рассматриваемая с геометрической точки зрения произ­ водная является такой функцией, которая определяет угловой

коэффициент касательной к кривой, изображающей данную функцию.

Таким образом, существование производной связано с су­ ществованием касательной к кривой, изображающей данную функцию. Непрерывная кривая может в отдельных точках не иметь касательной или иметь касательную, параллельную оси ОУ, с бесконечно большим угловым коэффициентом (черт. 3), и при соответствующих значениях независимой пе­ ременной х функция f(x} не будет иметь производной.

§ 3] Аналитический смысл производной 13

Итак, для существования производной необходимым усло­

вием является непрерывность начальной функции; однако, это условие является недостаточным. Поэтому в дифференциаль­ ном исчислении рассматриваются только дифференци­ руемые функции, т. е. такие непрерывные функции, кото­ рые имеют производные по крайней мере почти повсюду, т. е. за исключением только отдельных точек внутри данного про­

межутка. Кроме того, изучаемые функции должны быть однозначными.

Таким образом, функции, изучаемые в дальнейшем, пред­ полагаются однозначными, непрерывными и диф­ ференцируемыми.

§3. АНАЛИТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Кпонятию производной мы приходим при изучении самых различных явлений. Так, скорость химической реакции в дан­ ный момент времени есть производная от количества веще­ ства, вступившего в реакцию к моменту времени, по времени;

теплоемкость тела при данной температуре, т. е. скорость, с которой изменяется количество тепла в зависимости от тем­ пературы, есть производная от количества тепла по темпера­ туре; сила переменного тока в данный момент есть производ­ ная от количества протекшего электричества по времени, и так далее.

Поэтому, нецелесообразно связывать понятие производной с каким-либо одним представлением. Мы можем говорить только о том или ином смысле производной; например, с ме­ ханической точки зрения производная выражает скорость прямолинейного движения тела в некоторый данный момент времени; с геометрической точки зрения производная пред­ ставляет тангенс угла наклона касательной к кривой в дан­ ной точке.

Единственно целесообразным является рассмотрение про­

изводной с аналитической точки зрения. В этом случае

мы получаем общий метод исследования того, каким

именно образом изменяется величина рассматри­ ваемой функции f(x) при изменении независимой перемен­ ной х. Этот общий метод может быть применен к каждому

конкретному случаю.

Основная задача дифференциального исчисления и со­

стоит в планомерной оценке этого изменения функции.

Эта оценка изменения величины функции, происходящего в зависимости от изменения величины независимой перемен­ ной, достигается путем сравнения приращения функции с приращением независимой переменной.

х-|-Ах, то приращение переменной х будет Ах («дельта икс»). Здесь греческая буква А есть только символ, обозначающий слово «приращение». Подобным же образом, приращение переменной у обозначается через Аг/. Буква А взята для обо­ значения приращения, чтобы отметить, что здесь мы имеем

дело с разностью (разность — по латыни — differentia).

Дадим начальному значению независимой переменной х приращение Ах. В зависимости от этого, вместо начального значения функции (*) будем иметь наращенное значение функции, соответствующее наращенному значению перемен­ ной х Ах;

Для сравнения приращения функции Аг/ с приращением

независимой переменной Ах возьмем отношение Аг/ к Ах, т. е. разделим Аг/ на Ах;

Л® ==2х + Ах-

Предельное значение этого отношения, когда Ах -> 0, и будет производной данной функции:

Если начальное значение будет

х = 3,

то

Чтобы проследить подробнее, каким образом изменяется отношение приращений Аг/ и Ах, когда приращение Ах будет становиться все меньше и меньше, рассмотрим таблицу 1.

Таким образом, по мере уменьшения \х, отношение

т. е. стремится к числу 6, которое, как указано выше, и есть

Производной функции по независимой пе­ ременной называется предел отношения при­ ращения функции к приращению независи­ мой переменной, когда это последнее стре­

мится к нулю.

Аналитически это означает следующее.

Пусть дана функция

соответствовать наращенное значение функции

У~\~ Ay = f (х-ф Ах),

иприращение функции будет

=+ Ах) — f(x).

Отношение этого прирйщения к приращению независимой переменной

будет, по аналогии с § 1, выражать среднюю скорость изме­ нения у по сравнению с х, при изменении х на величину Ах;

18 Производная [гл. I

мо, чтобы стремился к нулю и числитель этой дроби; а это и выражает непрерывность функции f(x) при данном значе­

нии х.

Итак, если производная существует, то функция непре­ рывна.

Но обратное утверждение неверно: из непрерывности функ­ ции нельзя делать вывода о существовании производной.

Другими словами, непрерывность функции есть необходимое,

но не достаточное условие дифференцируемости функции. Впервые отчетливое различие между непрерывностью и диф-

Черт. 4

ференцируемостью функции было указано великим русским математиком Лобачевским.

Выяснив понятие производной, мы можем написать урав­ нение касательной и нормали к кривой в некоторой точке (черт. 4).

Касательная представляет прямую, проходящую через точку касания М(х;у) к кривой под углом, тангенс которого равен производной /'(х). Поэтому, уравнение касательной будет

где X и У — текущие координаты.

Нормалью к кривой в некоторой точке называется прямая,