книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

промежутке (а, Ь), дифференцируема в каждой точке внутри этого промежутка и имеет равные значения на кон­

цах этого промежутка, то внутри промежутка существует, по крайней мере, одно такое значение х, при котором производ­

ная обращается в нуль.

Следовательно, если

f(a)=f(b)

и если в каждой точке внутри промежутка (а, Ь) имеется производная f'(x), то существует такое значение х=с, лежа­ щее между а и Ь, что

f'(c) = O.

Черт. 73 Черт. 74 Черт. 75

Непрерывная функция f(x) с равными значениями на кон­ цах промежутка (а, Ь) может внутри этого промежутка или сохранять одно и то же значение (черт. 73), или колебаться в нем (черт. 74, 75).

Обозначим наименьшее и наибольшее значения, которых достигает непрерывная функция f(x) в промежутке (а, Ь), соответственно через т и М, так что

/и < f(x) < М.

Вообще т<^М. Но если бы оказалось, что наименьшее и наибольшее значения одинаковы, т. е.

т = М,

то отсюда следовало бы, что функция на всем рассматривае­ мом промежутке сохраняет постоянное значение, равное т или At т. е. при всяком х

f(x) — т = М.

Но так как производная постоянной равна нулю, то мы приходим к выводу, что в рассматриваемом частном случае

во всякой точке внутри промежутка производная будет равна нулю.

110 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, т. е. по­

ложим, что

m <С М.

Так как значения функции на концах промежутка по усло­

вию равны, т. е.

f(a) =f(b),

то, по крайней мере, одно из чисел m или М отличноот этого общего значения на концах.

Положим, например, что таким значением будет М, т. е. в точке х=с внутри промежутка (а, Ь) имеется наибольшее значение функции (черт. 74). Тогда по теореме Ферма полу­

чим

f'(c) = O,

что и доказывает теорему Ролля.

Это положение вполне очевидно. Действительно, в силу

того, что на концах промежутка, т. е. в точках а и Ь, f(a) = f(b),

мы заключаем, что, по мере возрастания х от а до Ь, функ­ ция f(x) не может постоянно возрастать или постоянно убы­

вать. Следовательно, по крайней мере при одном значении

х между а и Ь, функция f(x) должна перейти от возрастания

кубыванию, т. е. достигнуть максимума, или же от убывания

квозрастанию, т. е. достигнуть минимума. А при таком зна­ чении х = с согласно теореме Ферма

f'(c) = 0.

В частном случае, если f(a)=f(b)=Q,

т. е. на концах промежутка функция f(x) обращается в нуль, можно теорему Ролля изложить кратко следующим образом: между двумя корнями функции заключается по крайней мере один корень первой производной. Поэтому теорему Ролля называют также теоремой о корнях производной.

Рассмотрим, например, функцию

f(x) — х2— 10%+ 16.

Ее производная равна

f'(x) = 2х— 10.

Корни функции равны xt — Ц- 2, х2 = +8. В этих точках гра­ фик функции пересекает ось абсцисс. Корень производной равен х = 4-5; в этой точке график производной пересекает ось абсцисс (черт. 76).

ная, т. е. кривая имеет определенную касательную. Теорема Ролля утверждает, что' при этом внутри промежутка будет существовать по крайней мере одна такая точка, в которой производная будет равна нулю, т. е. в которой касательная будет параллельна оси ОХ (черт. 77).

Черт. 76

Действительно, предполагая, что f(x) изменяется непре­ рывно при изменении х от а до Ь, мы можем эту функцию представить непрерывной кривой, касательная которой непре­ рывно поворачивается. В таком случае, по крайней мере при

одном значении х — с, лежащем между а и Ь, касательная будет параллельна оси ОХ, т. е. тангенс угла наклона каса­ тельной, равный f'(x), обращается в нуль.

В промежутке (а, Ь) первая производная может обра­ щаться в нуль не один, а несколько раз (черт. 78). Отсюда следует, что теореме Ролля можно дать такую геометриче­

скую форму: у всякой дуги существует по крайней мере одна касательная, параллельная хорде, стягивающей дугу.

Заметим, что если не будет выполнено условие теоремы

Ролля о существовании производной f'(x) во всех точках

внутри промежутка, то теорема может оказаться неверной.

§ 3*. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА

Теорема Ролля дает некоторое указание на свойство зна­ чений производной, а именно: она утверждает, что в том случае, когда значения функции равны на концах промежут­

на в промежутке (а, Ь) и дифференцируема в каждой точке внутри этого промежутка, то разность между значениями функции на концах промежутка равна длине промежутка, умноженной на значение производной в некоторой внутрен­

ней точке промежутка.

Другими словами, при условии, что непрерывная функция имеет производную в каж­ дой точке внутри промежут­ ка (а, Ь), всегда имеет ме­ сто равенство

может быть не выполнено. Поэтому для доказательства тео­ ремы составим при помощи данной функции f(x) новую функцию

F(x)=f(x) + \х,

где % —постоянная, которую определим так, чтобы новая функция F(x) удовлетворяла условию теоремы Ролля, т. е.,

чтобы значения этой функции на концах промежутка были равны:

F(a) = F(b),

или

f(a) -irXa = f(b)

Отсюда находим

ftb)-f(a) b — а

Теперь мы можем применить к функции F(x) теорему

Ролля, т. е. можем утверждать, что между а и b будет нахо­ диться такое значение х = с, при котором

F'(c) = f'(c) + % = О

114 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

вает, что конечное приращение f(x-]-h)—f(x) функции f(x)

равно соответственному конечному приращению h независи­ мой переменной, умноженному на величину производной

важного предложения анализа.

Как известно, производная постоянной равна нулю. Вы­ ведем теперь обратное предложение: если производная f'(x)

во всех точках промежутка (а, Ь) равна нулю, то функция }(х) постоянна в этом промежутке.

Действительно, взяв произвольное значение х из проме-.

жутка (а, Ь) и применяя формулу Лагранжа к промежутку

(а, х), получим:

f(x)—f(a) = (х — a)f'(l)

(a<g<x),

но по условию

следовательно

f(x)—f(a)=O,

т. е.

f(x) = f(a) = постоянной.

Заметим, что формула Лагранжа не дает возможности

точного вычисления приращения функции через производную,

так как относительно величины с, входящей в формулу (10),

нам известно только то, что она заключается между а и Ь. Однако с помощью этой формулы можно произвести оценку той ошибки, которую мы делаем, заменяя приращение функ­

ции ее дифференциалом.

Выясним геометрическое значение формулы Лагранжа

(а<^с<^Ь).

Рассматривая график функции y = f(x) (черт. 79), мы ви­

есть тангенс угла наклона касательной в некоторой точке М дуги АВ кривой. Таким образом, формула Лагранжа равно­

§ 4*] Теорема Коши 115

сильна следующему утверждению: если кривая имеет в каж­

дой точке единственную и определенную касательную, то на дуге АВ кривой найдется по крайней мере одна такая точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей эту

Дугу.

Частным случаем этого утверждения, когда хорда парал­ лельна оси ОХ, т. е. f(a)=f(b), является теорема Ролля.

В этом случае получим

0= (b'-a)f'(c),

откуда

f'(c) = 0. ■

Теорема Лагранжа дает возможность аналитически уста­ новить признаки возрастания и убывания функции.

Положим, что внутри некото­ рого промежутка первая произ­

водная существует и везде поло­ жительна,

и пусть х и х 4- h — две точки

этого промежутка. Тогда из фор­

мулы Лагранжа (13) следует, что

при положительных h разность

f(x + h) -f(x)> О,

так как оба множителя в произведении, стоящем в правой части (13), в этом случае положительны. Следовательно, если первая производная в некотором промежутке положительна, то функция в этом промежутке возрастает. Точно так же из

вует такая точка, что отношение разностей значений функций на концах промежутка равно отношению значений их произ­

водных в этой точке. 8*

§ 4*] Теорема Коши 117

Принимая во внимание (12) и (13), мы можем эту фор­ мулу написать в виде:

(o < e< i)

или

+= f (as + Aft)

—f (с)

или

f(b)—f(a) =

= (b-a)f'(c). (17)

Таким образом, формула

Лагранжа является частным случаем формулы Коши.

Если, далее, будет дано

f(a)=f(b),

то из (17) следует, что при некотором с

Г(с)=О. (18)

Таким образом, теорема Ролля Лагранжа.

Выясним геометрический смысл теоремы Коши.

Положим, что кривая АВ дана при помощи параметриче­

ских уравнений х = <р(7) и у — f(t) (черт. 80). Пусть коорди­ наты точек А, В, С будут соответственно ср(а) и f(a), гр(Ь) и f(b), q(c) и f(c). Тогда полученное из треугольника ABD ра­

венство

DB = ADtg £DAB

примет вид:

/(79 - f(a) = [ф(Ь) - ,

[см. гл. III, (39)], или

f(b)-f(a) = Г (с)

118 Основные теоремы дифференциального исчисления [гл. VII

§5*. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

Теорема Коши лежит в основе вывода правила Лопиталя, служащего для раскрытия неопределенностей.

Неопределенными называются такие выражения, которые

предела выражения в точке неопределенности, если он суще­ ствует.

деленность вида -q- . Предположим, что рассматриваемые

функции являются непрерывными и имеют первую производ­

ную вблизи значения х — а, причем производная ty'(x) при значениях, близких к а (но не равных а), в нуль не обра­ щается.

При сделанных предположениях можно доказать тео­ рему: если при х -> а отношение

<_(®) 'У (®)

стремится к некоторому определенному пределу, то к тому же пределу стремится и отношение функций

ф(о?)

Так как, по предположению,

—О,

то можно написать, что

При сделанных предположениях относительно <р(х) и ty(x) мы можем к правой части равенства (19) применить

теорему Коши (16); имеем

где £ заключается между х и а; так что если х стремится к а, то к тому же пределу будет стремиться и Отсюда следует