Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

5.18 Mб

Скачать

☆

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР

ВСЕСОЮЗНЫЙ ЗАОЧНЫЙ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Проф. А. к. МИТРОПОЛЬСКИЙ

ЛЕКЦИИ

по

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ

ИСЧИСЛЕНИЮ

ИЗДАНИЕ В 3 Л Т И ЛЕНИНГРАД

1960

В этой книге дается изложение вопросов диф

ференциального		исчисления, изучаемых в тече
ние первого полугодия			на	всех факультетах		ин
ститута.	Параграфы		и	задачи,	отмеченные
звездочкой, не		входят	в	программу	лесохозяй
ственного	факультета.
I960					А.	М.

'V- л')*/".	‘-\|~-
. J.XT»'	•• ;		17327
'-• гивтеи*	сг . _\|	Со
		Со

Ответственный редактор: профессор, доктор физико-математических наук К. С. Шифрин

Рассмотрено и рекомендовано к изданию Методической комиссией лесомеханического факультета ВЗЛТИ 19/Х 1959 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Стр.

Введение...........................................................................................................

Глава

первая. Производная

Механический смысл производной................................................

Геометрический

смысл

производной..........................................

Аналитический

смысл

производной........................................

§ 4.

Общий

способ

дифференцирования........................................

Глава

вторая.

Общие

правила

дифференцирования

Производная постоянной

..............................................................

Производная переменной по самой переменной

... 21

Производная произведения функции на

постоянный мно

§ 4.

житель ................................................................................

Производная алгебраической суммы .......

................................

Производнаяпроизведения..........................................................

§ 6.

Производная частного...................................................................

Производнаясложной

функции.................................................

Производная обратной

функции..............................................

Производнаянеявной

функции..................................................

Глава т р е т ь я.

Дифференцирование функций

Дифференцирование степенной функции . .

§ 2.

Дифференцирование

логарифмической

функции

. ..

Дифференцирование показательной

функции .

Дифференцирование тригонометрических

функций

. .

Дифференцирование обратных тригонометрических

,45

функций.....................................................................................

Дифференцирование гиперболических функций

... 49

Уравнения кривой в параметрической форме

... 52

Последовательное

дифференцирование

.... 58

Глава

четвертая. Дифференциал

Дифференциал

функции.....................................................

смыслдифференциала

§ 2.

Механический и

геометрический

функции.....................................................................................

идифференциалов

Таблица производных

.... 67

Глава пятая.

Исследование функций

§1.

Приложение понятия производной к изучению

функций

Возрастание и

убывание

функций.......................................

—

Признаки возрастания

убывания функций .

... 72

Максимумы и

минимумы

функций......................................

Содержание

Первый способ нахождения максимума и минимума

функций........................................................................

Дифференциальные кривые..........................................

.77

§ 7.

Направление вогнутости

кривой........................................

§ 8.

Признаки для определения вогнутостивверх

и вогнуто

сти вниз

нахождения максимума

Второй способ

иминимума

•

10.

функций..............................................................................

Точки перегиба............................................................

функции

•

11.

Пример исследования

12.

Наибольшее и наименьшее значения функции

... 87

Глава шестая. Кривизна кривой

Длина дуги....................................................................................

Дифференциал

дуги

.......

.............................................................

§ 3.

Кривизна кривой.....................................................................

................................................. >

.97

§ 4.

Радиус кривизны .

100

102

* Координаты

центра

кривизны......................................

. ,

. .

§ 6.

* Понятие

об

эволютах

и эвольвентах

104

Глав1а

седьмая.

Основные теоремы дифференциального исчисления

* Теорема Ферма........................................................................

. .

„

107

§ 2.

* Теорема Ролля....................................................

109

§ 3.

* Теорема Лагранжа......................................................................

111

§ 4.

Теорема Коши.............................................................................

115

§ 5.

Раскрытие неопределенностей.............................................

118

§ 6.

Асимптоты.................................................................................

120

§ 7.

Полное исследование функций и эскизное построение их

графиков..........................................................

122

127

Упражнения............................................

ВВЕДЕНИЕ

Приступая к изучении) дифференциального исчисления, приведем кратко некоторые положения теории пределов.

1. Бесконечно малой величиной называется такая перемен ная величина х, которая в процессе своего изменения, начи ная с некоторого момента, становится и при дальнейшем из менении остается поабсолютному значению меньше любого наперед заданного сколь угодно малого положительного

числа е:

|х|<е. (1)

Бесконечно малые величины обладают следующими свой ствами: 1) алгебраическая сумма ограниченного числа беско нечно малых величин есть величина бесконечно малая; 2) произведение ограниченного числа бесконечно малых ве личин есть величина бесконечно малая; 3) произведение огра ниченной величины на величину бесконечно малую есть вели чина бесконечно малая.

2. Пределом переменной величины х называется такое по стоянное число а, что разность х — а есть величина бесконеч но малая:

|х — а|<^е.

(2)

Отсюда следует, что предел бесконечно малой величины равен нулю.

Когда а есть предел переменной величины х, т. е. когда х стремится к а, то это записывается в виде

limx = а

или

ха.

(Знак lim — от французского слова limite — читается по-рус ски «предел»; знак -> означает «стремится к . . .»).

Если х -> а, то разность

х — а = а

6	Введение
есть величина бесконечно малая, и		мы можем написать
	х = ct —сс.		(3)
3.	Представление переменной величины х в		виде суммы ее
предела а и бесконечно малой а		(3), вместе	со свойствами

бесконечно малых, дает возможность доказать следующие теоремы относительно пределов: 1) предел алгебраической

суммы ограниченного числа переменных равен такой же алге браической сумме их пределов; 2) предел произведения огра ниченного числа переменных равен произведению их преде лов; 3) предел частного двух переменных равен частному их

пределов, если только предел знаменателя	не равен нулю;
4) если две переменные величины остаются	всегда равными

между собой, и если одна из них стремится к некоторому пре делу, то и другая будет стремиться к тому же самому преде лу; 5) если переменная величина остается все время заклю ченной' между двумя переменными величинами, стремящи мися к одному и тому же пределу, то она необходимо стре

мится к тому же самому пределу.

4. Положим, что переменная, величина выражается значе ниями функции

У = 1(х),

соответствующими значениям независимой переменной х. По

ложим, что если задано какое-либо положительное число 8,

то можно найти такое положительное число т|, что \f(x) —

— 6|<Т] при условии |х — а | <С 8.Тогда говорят,что функция f(x) стремится к пределу b при стремлении х к а, и записы вают так:

lim/(x) = &.	(4)
х -+■ а
Примером может служить предел отношения синуса	ма

лой дуги к самой дуге, когда величина дуги стремится к нулю. Применяя теорему 5 относительно пределов, можно показать,

что

hm r-—==i.	(5)
х
5. Непрерывной функцией называется такая функция, ко
торая при изменении независимой переменной на	величину

бесконечно малую сама изменяется на бесконечно малую ве личину.

На основании этого определения можно доказать следую

щую общую теорему относительно пределов: предел непре

Введение

рывной функции равен функции предела независимой пере менной.

Пусть имеется непрерывная функция

f(*)>

причем

limx = tz,

или

х ~ а -|- а,

где а — бесконечно малая величина. Следовательно,

f(x) =f(a + а).

Тогда, по свойству непрерывной функции, будем иметь:

/(а + а) —/(а)

есть величина бесконечно малая, так как отличается

от а на величину бесконечно малую. Следовательно,

lim f(a -J- а) = f(a).

Но	а — х,
а	а — х,
а = lim х.
Таким образом,		(6)
limf(x) = f(limx).		(6)
Отсюда следует, что знак	предела и	знак непрерывной

функции можно менять местами.

6. Достаточным, но не необходимым, признаком существо

вания предела является следующий: если переменная вели

чина ограничена и изменяется	монотонно, то она	стремится
к пределу.
Применяя этот признак, можно показать, что
lim (1	= е,	(7)
п -> оо
где

е = 2,718 . . ..

Полагая

и замечая, что а -> 0, когда п -> оо , получим

lim (1 + а)“ = е.	(8)
аО

8	Введение
Число е принято за	основание натуральных логарифмов,.

1пЛЛ

7. В зависимости от величины пределов отношений беско нечно малых величин различаются бесконечно малые разных порядков.

Бесконечно малые величины аир называются бесконечно

малыми одного и того же порядка, если отношение й стре

мится к пределу, конечному и отличному от нуля. Если этот предел будет равен нулю, то р называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с а; если же этот предел ра вен бесконечности, то р называется бесконечно малой низ шего порядка по сравнению с а. Наконец, если этот предел равен единице:

lim—- — I,

то бесконечно малые величины аир называются эквивалент ными:

а ~ р.

При отыскании предела отношения двух бесконечно малых величин, каждую из них можно заменить эквивалентной бес

конечно малой величиной, не изменяя этого предела.

1 / 141 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ