книги из ГПНТБ / Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие]

Справедливость такого предположения основывается на малости величин а и (3, входящих в исходное уравнение ( 1 0 0 ). Если допустить, что а= 0 л р = 0 , то уравнение (1 0 0 ) превращается в линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по­ стоянными коэффициентами, решение которого является чисто гармоническим. Если же « и Р близки к нулю, то и решение уравнения (100) должно быть близким к гармоническому. При больших значениях а и р указанное предположение сделать нельзя. В реальных автогенераторах синусоидальных колебаний а и р являются величинами действительно малыми, в силу чего решение в виде (1 0 1 ) справедливо.

В выражении (101) A(t) (в дальнейшем просто А) есть мед­ ленно меняющаяся во времени амплитуда колебаний. Термин „медленно меняющаяся" означает, что изменения „амплитуды" за период колебаний незначительны. В общем случае некото­ рая функция /j (t) считается медленной по сравнению с функ­ цией / 2 (t), если скорость изменения первой много меньше ско­ рости изменения второй:

80

Итак, дифференцируя (101), получаем:

и' A' COS (at—Лев S in (at;

ll" - A" COS (at—A 'to Sin (at— A’vi s in <o t—Avr c o s u>t~-

— A" c o s u)t--2A'(i> s in w/- -Лю2 c o s at.

Подставим значения и и его производных в уравнение (100), тогда

A" COS (at2А'<а Sin (at—Am2COS io/i+(a р Л 2 c o s 2 (at)Yc

Х (Л ' COS (at—Л to s in 0)£) г и>02Л COS (at -().

Преобразуем полученное выражение, для чего сначала рас­ кроем скобки:

Л" cos (at—2А'(о sin (at—Лш2 cos wt :-аЛ' COS (at—aA(o sin (at—

— р Л 2Л ' COS3 (at- ф Л 3ш COS2 (at s in Ю ^-уо)02Л COS (ot—0.

и отбрасывая члены, содержащие cos и sin тройного аргумента (Зю£), как противоречащие допущению о гармоничности коле­ баний, сгруппируем члены, содержащие только cosai^ и только sin (at

Поскольку cos (at и sin (at не равны нулю тождественно (т. е. при всех значениях (at), то для выполнения равенства (103) необходимо приравнять нулю коэффициенты при cosa>£ и sinutf, т. е.

A "A -L -^ -P A s )A '~ I(ю02 - ю2 ) ЛЛ) ;

Первое из полученных уравнений можно упростить, если учесть условие медленности ( 1 0 2 ) и пренебречь производной второго порядка (А"). В результате будем иметь

].( а)о9 _ а>9)Д -.0 ;

(105)

2 А/+ ( а - - | - 8 A2j А --0 .

Уравнения (105) называют укороченными, так как они по­ лучились путем пренебрежения членами, содержащими высшие гармонические составляющие. Укорочение уравнений (104) по­ зволило понизить их порядок и несколько упростить.

Система уравнений (105) является системой нелинейных уравнений, так как коэффициенты уравнений зависят от неиз­ вестной амплитуды А.

Решение этой системы позволяет определить не только ам­ плитуду и частоту колебаний в установившемся режиме, но и закон их установления.

Найдем сначала амплитуду и частоту установившихся коле­ баний.

Поскольку в установившемся режиме амплитуда есть вели­

жение (8 8 ) принимает вид:

т. е. полностью совпадает с выражением (108).

82

Чтобы найти закон установления амплитуды колебаний, вос­ пользуемся вторым уравнением системы (105), которое не за­ висит от частоты (ш):

Домножим его на. Л и, учитывая, что

гЛ'ЛтДЛ2)',

*

введем новую переменную /?= Л2. Тогда уравнение (109) запи­ шется так:

ИЛИ

В полученном уравнении переменные легко разделяются. Действительно,

dB

-adt. ( 110)

В ^1— \ - — В

4 а

Преобразуем несколько левую часть уравнения (ПО), для чего разложим дробь в левой части на простейшие следующим образом:

Чтобы убедиться в справедливости такого разложения, до­ статочно правую часть равенства (1 1 1 ) привести к общему зна­ менателю и получить очевидное тождество. С учетом” (111) уравнение (ПО) принимает вид:

и легко может быть проинтегрировано почленно. Действительно,

*dB

In В С,-

I В

1 __р

4 а

В |-f С.)

| adt- --zt г С3,

где Cj, С2 и С8— постоянные интегрирования.

Таким образом, интеграл уравнения (112) есть

InВ — In (1 —-i- я] —at— С

или, меняя знаки на обратные и учитывая, что In a —in b~\n получаем:

или

Принимая во внимание, что согласно (107)

где Н —постоянный множитель (Н ~ е~с), определяемый началь­ ными условиями.

Разрешая равенство (114) относительно А, получаем

V'\ + HA2y(.Te*

или, вводя обозначения А/'=ЯЛ2уСТ и подставляя значения а*; ю02 (гС—а1/'И), окончательно будем иметь:

А уСТ

А

У 1 + NeЩг'г рс-м*) t ’

84

Выразим произвольную постоянную интегрирования N через начальную амплитуду Л0 колебаний, имеющих место при t —0:

и окончательное выражение для амплитуды колебаний прини­ мает вид:

Проанализируем полученное выражение. Из (115) следует, что

так как в противном случае колебания будут затухать (при t-+ °о знаменатель (115) стремится к бесконечности и Л-*0). При

85

смотренных случаях, независимо от начальных условий, ампли­ туда установившихся колебаний оказывается одной и той же. определяемой равенством (108).

Независимость амплитуды в стационарном режиме от на­ чальных условий является характерным свойством автоколеба­ тельной системы.

Решая первое уравнение системы (105) относительно ша, по­ лучаем следующее выражение для частоты автоколебаний:

а--- - - - йЛ2) А '

~ ' ~А~

или, подставляя значение А' из второго уравнения той же системы (105), получим:

Так как в процессе установления колебаний А меняется, то, казалось бы, должна меняться и частота, потому что она зависит от А, и, следовательно, исходное предположение, что to—const, несправедливо. Однако величина

пренебрегли (см. получение укороченных уравнений). Поэтому в первом приближении следует считать «(£)■=0 , тогда ш—ш0, т. е. в процессе установления частота колебаний практически не меняется.

Таким образом, решение нелинейного дифференциального уравнения автогенератора позволило получить ответ не только

случай применения метода медленно меняющихся амплитуд для анализа нестационарных процессов в ламповом автогенераторе. При более строгом рассмотрении допущение о постоянстве частоты генерируемых колебаний недопустимо. Если бы мы учли,

86

что и частота колебаний является медленно меняющейся функ­ цией времени, то зто несколько усложнило бы промежуточные выкладки |в частности, дифференцирование решения уравне­ ния (1 0 0 )], но зато позволило бы установить закон изменения частоты в процессе установления колебаний.

§3.5. Основные схемы автогенераторов

Впредыдущих параграфах в основном была рассмотрена схема автогенератора с трансформаторной обратной связью и колебательным контуром в анодной цепи (см. рис. 3.5).

Рассмотрим теперь некоторые дру­ гие схемы автогенераторов синусо­ идальных колебаний, широко приме­ няемых па практике.

87

ротности колебательного контура может быть представлено в следующем виде:

(117)

где х ак, x ug и ^ — реактивные сопротивления контура, вклю­ ченные соответственно между анодом и катодом, между ано­ дом и сеткой и между сеткой и катодом.

Все величины, стоящие в правой части равенства (118), за­ ведомо положительны, поэтому условие (118) выполняется, если

£>().

Выразим коэффициент обратной связи через параметры ко­ лебательной системы:

кJ h :_ _____

11a I(Xag+ X eK) '

Принимая во внимание условие баланса фаз (117). имеем

(^ag Хаи-

I огда

ХаК

и должен быть положительным, т. е.

х

^ак

Это значит, что для возникновения колебаний в рассматри­ ваемой схеме необходимо, чтобы сопротивления, включенные между сеткой и катодом, а также между анодом и катодом, имели одинаковый знак (характер реактивности один и тот же), а сопротивление x ag -обратный.

Требование (119) выполняется в следующих двух случаях:

а) x gK >0 ; А' а ; . > 0 и а^ с О;

б) х„к < 0 ; х ак<0 и x ag > 0 .

Схема автогенератора, соответствующая первом)’ случаю, представлена на рис. 3.19 и называется трехточечной с авто­ трансформаторной обратной связью. Коэффициент обратной

88

катод лампы (рис. 3.19), представляет собой контур второго

На рис. 3.20 представлена схема авто­ генератора, соответствующая второму случаю и называемая трехточечной с емкостной обратной связью. Коэффициент обратной связи в этой схеме определяется формулой:

;u)C2

Колебательный контур, включенный между анодом и катодом, является кон­ туром третьего вида, и его эквивалентное сопротивление равно

Условие самовозбуждения приобретает следующий вид:

Следует отметить, что в схеме с емкостной обратной связью всегда приходится применять параллельное питание анодной

89