книги из ГПНТБ / Лапицкий Е.Г. Радиопередающие устройства. Основы теории нелинейных цепей [учебное пособие]

Наконец, третье условие состоит в том, что в автогенераторе должен быть н е л и н е й н ы йэлемент, ограничивающий беспре­ дельное возрастание амплитуды колебаний в контуре. Роль

ходит установление стационарного режима, каковы должны быть параметры схемы, чтобы вообще было возможно само­ возбуждение, и т. д.

Ответы на все эти вопросы могут быть получены при коли­ чественном рассмотрении процессов в цепях лампового авто­ генератора. Однако этот анализ весьма затруднен в силу не­ линейности рассматриваемой системы. Единого метода анализа, пригодного для. решения всех возможных задач, не существует.

определенные методы анализа.

П е р в а я , з а д а чсостоита в определении условий возникнове­ ния колебаний. Так как самовозбуждение автогенератора, как правило, начинается при малых амнлитуДах токов и напряже­ ний, когда нелинейностью ламповой характеристики можно пренебречь, то эта задача может быть решена методами ана­

делении амплитуды и частоты установившихся колебаний. Эта задача является наиболее важной для практики, особенно для инженерного расчета схем автогенераторов. Для решения этой

процессов установления колебаний (переходных процессов).

Следует отметить, что решение последних двух задач свя­ зано с анализом нелинейных уравнений лампового генератора, точных методов решения которых нет, и поэтому все перечис­ ленные выше методы являются приближенными.

§ 3.2. Линейная теория лампового автогенератора

. Линейную теорию автогенератора рассмотрим на примере автогенератора с трансформаторной обратной связью (рис. 3.5).

60

Составим дифференциальноеуравнение для указанной схемы. При этом сделаем следующие допущения: сеточные токи отсут­ ствуют, потери в контуре сосредоточены в индуктивной ветви колебательного контура. При составлении дифференциального уравнения будем учитывать только переменные составляющие

Так как рассматривается линейная теория лампового авто­ генератора, то вольтамперную характеристику лампы можно считать линецной и представить ее в виде:

лиупр ' S (и?,-\rDua)-

Подставляя полученное выражение для 1а в равенство (57), производя группировку членов и освобождаясь от коэффи­ циента при производной второго порядка (деля все члены на этот коэффициент), получаем следующее дифференциальное уравнение относительно тока в индуктивной ветви контура:

Полученное уравнение является линейным -дифференциаль­ ным уравнением с постоянными коэффициентами.

Введем следующие обозначении для постоянных коэффи­ циентов:

9 1 ; SDr

~1 с

Тогда уравнение (61) можно вписать в виде:

Уравнение (62) аналогично дифференциальному уравнению, описывающему собственные колебания в контуре, известному из курса теории цепей. Отличие полученного уравнения от уравнения собственных колебаний в контуре заключается в том, что коэффициент затухания колебаний в контуре

г

зависит исключительно от параметров самого контура, тогда как эквивалентное затухание колебаний в автогенераторе

и от параметров лампы и цепи обратной связи. Наличие обрат­ ной связи уменьшает сопротивление потерь в контуре на вели­ чину, равную

S M " DSL S ( M - D L )

с " с ' ... С

внося в контур как бы некоторое отрицательное сопротив­ ление (т, е. сопротивление, которое не поглощает, а постав­ ляет энергию).

-82 -

Задача дальнейшего анализа сводится к нахождению реше­ ния дифференциального уравнения (62), которое и будет описывать поведение исследуемой автоколебательной системы.

Напомним метод решения дифференциальноголинейного уравнения с постоянными коэффициентами. Частное решение такого уравнения имеет вид:

Се,л. (63)

Подставляя это решение в исходное уравнение (62) и произ­

г д е ю --У «> оа— &э* .

Общее решение дифференциального уравнения (62) можно записать в виде суммы двух частных решений (63), соответ­ ствующих найденным значениям X, и Х2:

iL ^ : / ^ - r C2e4 l =C,e,<-Зэ+Л“Ч : СУ( - 3 э -ym) Ч .

начальных условий.

«

Представим равенство (68) в несколько ином виде, а именно:

63

В справедливости такого перехода от (6 8 ) к (69) легко убедиться, если раскрыть косинус суммы двух углов:

Сравнивая (70) и (6 8 ), видим, что

5=A cos® ;

Н ——А sin®.

Отсюда находим соотношения, позволяющие определить постоянные А и ®:

.4 | В- /Я;

Я

tg? Я

( Л и ® определяются начальными условиями).

Таким образом, решение дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

iL=Ae~bf>t-cos(u>/-j-®). (71)

Из полученной формулы следует, что в рассматриваемой системе (рис. 3.5) возможен колебательный процесс с изме­ няющейся во времени амплитудой

64

Неравенство (73) определяет не только необходимую вели­ чину коэффициента взаимоиндукции, но и его знак, при кото­ ром возможно возникновение незатухающих колебаний (в схеме рис. 3.5) с частотой, равной

Иными словами, неравенство (73) определяет не только ампли­ тудные условия самовозбуждения, которые зависят от вели­ чины М, но и фазовые условия самовозбуждения, которые зависят от знака М.

Амплитуда возникших колебаний нарастает во времени, стремясь при t-+ оо к бесконечности, и зависит от начальных условий.

Однако опыт показывает, что по истечении некоторого вре­ мени в автоколебательной системе устанавливаются колебания с вполне определенной амплитудой, которая имеет одну и ту же величину независимо от начальных условий. Такое противоре­ чие между опытом и теорией объясняется тем, что мы рас­ сматривали линейную теорию автогенератора, в которой не учитывается нелинейность ламповой характеристики.

Поэтому линейная теория автогенератора дает ответ лишь па вопрос, при каких условиях в автоколебательной системе могут возникнуть колебания, и не дает ответа на вопрос, ка­ кова будет амплитуда установившихся колебаний.

Выражение для частоты генерируемых колебаний (74) также является приближенным, так как оно получено па основе ли­ нейной теории и не учитывает влияния на частоту автоколе­ баний высших гармонических составляющих анодного тока.

Полученное выше условие самовозбуждения (72) для авто­ генератора с трансформаторной обратной связью может быть представлено в более общем виде и распространено на другие схемы автогенераторов. Для этого несколько преобразуем вы­ ражение (72).

Введем обозначение

:_ p m g _ и>/И _М

и"« Л " Т

( к — коэффициент обратной связи) и умножим обе части равен­ ства (72) на С. Тогда

S k > D s V - f - ■

Принимая во внимание, что

резонансное сопротивление колебательного контура, получаем

1

S ( k - D )

R^O

или окончательно

Неравенство (75) является условием самовозбуждения лам­ пового автогенератора.- Оно позволяет по известной крутизне анодного тока лампы (5) и параметрам колебательного кон­ тура (Л?9о) определить необходимую’ величину коэффициента обратной связи, при котором возможно самовозбуждение си­ стемы.

§ 3.3. Квазилинейная теория автогенератора. Условие стационарности

Сущность квазилинейной теории автогенератора состоит « том, что все переменные напряжения и токи, действующие в цепях лампового автогенератора, предполагаются изменяю­

66

щимися но гармоническому закону, а гармониками высших порядков пренебрегают. Такое предположение основывается на высоких избирательных свойствах колебательных систем автогенераторов.

равляющим напряжением некоторым эквивалентным парамет­ ром лампы, зависящим от величин

ляет для анализа установившегося режима применить метод комплексных амплитуд (символический метод), широко исполь­ зуемый в теории линейных цепей.

Дадим определение средней крутизны. Средней крутизной

В то же время амплитуда первой гармоники анодного тока может быть выражена через параметры линейной части схемы

В установившемся режиме амплитуда первой гармоники анодного тока через нелинейный элемент равна амплитуде в линейной части схемы, следовательно, должны быть равны правые части равенств (77) и (78), т. е.

^ - ^ p(Umg- D U m).

Z $

Разделив обе части полученного равенства на Uт и учнты-

Соотношение (79), полученное в предположении установившегося режима, носит название условия стационарности.

Если представить комплексные величины, определяющие условие стационарности, в показательной форме, т. е.

8 'ср - 5 срЦУ'5 ;

(k - D) = (k D) ei9b;

Zs--z3erf*y

то условие стационарности можно записать в следующем виде:

где Scp, k и z3—модули соответствующих комплексных величин.

Равенство (80) имеет смысл только в том случае, если ле­ вая часть равенства будет чисто вещественная (мнимая часть должна быть равна нулю) и равна единице.

Поэтому равенство (80) распадается на следующие два:

68

(81) зависит как от амплитуды (Scp), так и от частоты генери­ руемых колебаний (г,) и называется условием баланса ампли­ туд. Оно позволяет найти амплитуду генерируемых колебаний, если известна частота. Второе условие, зависящее в основном от частоты генерируемых колебаний, называется условием ба­ ланса фаз и позволяет определить частоту генерируемых ко­ лебаний.

Иногда условие баланса фаз выражают в несколько ином виде. Если предположить, что потери в схеме малы и выс­ шими гармониками можно пренебречь, го коэффициент обрат­ ной связи и среднюю крутизну можно считать величинами вещественными (т. е. ®k= f s :0 ) и условие баланса фаз прини­ мает вид:

(я 0 , 1 , 2 ...) ,

где Ухк сумма реактивных сопротивлений, образующих ко­ лебательную систему.

Отсюда

Для автогенератора, изображенного на рис. 3.2, это усло­ вие запишется так:

Отсюда

~_£iC7

т. е. частота генерируемых колебаний в стационарном режиме равна резонансной частоте колебательного контура, если k и Scp вещественны. При этом и условие баланса амплитуд при­ нимает несколько-иной вид, если учесть, что сопротивление контура на резонансной частоте

Поэтому, если Scp и k — вещественны, то условие баланса амплитуд принимает следующий вид:

Здесь уместно отметить, что выражение (84) по внешнему виду похоже на формулу (75) (см. § 3.2), но имеет совер­ шенно иной смысл. Формула (75) выражает условие самовоз­ буждения, а величина S, входящая в него, есть крутизна лам­ повой характеристики в рабочей точке'и не зависит от ампли­ туды колебаний.

6Э